Математическая логика: возникновение, развитие, методы

История возникновения логики

Логика появилась в культуре Древней Греции. Первое сочинение о логике, которое дошло до нас «Аналитики» Аристотеля в 384 – 322 годах н.э. Форма логики просуществовала более 20 столетий без существенных изменений. Б. Джордж (1815-1864) – математик английского происхождения, считается основоположником логики.

Математическая логика отличается от использования языка математики, поскольку она в принципе может в совершенстве заменять слова, используемые в обычном живом языке, и применяемые в обычной речи способы сочетания слов в предложениях. Особенности математического мышления  объясняются разнообразием его взаимосвязей и абстракций. Они отражают логику математики, доказательства математических теорий. В этой связи современная математическая логика является разделом математики, который посвящен изучению математики и вопросам оснований и доказательств в математике.

Математическая логика

Для аксиоматического построения математического анализа предварительно выбирают какую-то систему неопределенных понятий, а также взаимоотношения. Основными считаются эти понятия. Далее, без доказательств, принимается основная точка зрения рассмотренной теории – аксиома. Вся дальнейшая часть теории логически выводится из аксиом. Впервые Евклид предпринял аксиомическое построение математики в построении геометрии. Изложение данной теории не является безупречным. Евклид пытается определить исходные понятия точки, обоснования прямого, плоского. В доказательствах теорем применяются несформулированные точки зрения, считающиеся очевидными. Поэтому в данном построении нет необходимой логической строгости, хотя достоверность всех позиций теории никак не вызывает сомнения.

Примечательно, что подобный подход к теоретической аксиоматии остался единственным в XIX веке. В изменении этого подхода большую роль сыграли произведения Н. И. Лобачевского 1792–1856 гг. Впервые Лобачевский высказал свои убеждения о том, что невозможно доказывать пятый постулат Евклида, и поддержал это убеждение с помощью создания новой геометрии.

Позднее немецкий математик Фридрих Клейн (1849–1925 гг.) доказал, что геометрия Лобачевского непротиворечива, чем была фактически доказана, а также невозможность доказательства пяти постулатов Евклида. Так возникла и решена в трудах Н. И. Лобачевского с Ф. Клейном впервые в истории математики проблема невозможности доказать противоречивость в аксиомической теории невозможности. Непротиворечивости аксиоматических теорий являются одним из главных требований системы аксиоматических теорий. Она означает, что из данной системы аксиом нельзя логическим путём вывести два противоречивых друг другу утверждения.

Проверка непротиворечивости аксиоматических теорий может быть осуществлена различными способами.

Попытки избавиться от противоречий в множественной теории привели к тому, что необходимо построить аксиоматическую теорию множеств. Последующие изменения и совершенствования данной теории позволили создать современную теорию множества. Однако средства данной аксиоматической теории не могут доказать ее непротиворечивости.​​​​​​​

Другие математические методы были разработаны Д. Гилбертом 1862-1944 гг. и школой его последователей. Они основаны на построении математики как синтаксической теории, в которой все аксиомы записаны формулами в каком-то алфавите, и правильно указаны правила вывода одной формулы из другой, то есть в теорию как составная часть входит математическая логика.

Предмет математической логики

Основной идеей математики является формализация знания и мысли. Очевидно, что самые легко формируемые знания являются математикой. Поэтому математическая логика, по сути, является наукой математики, или метафизической наукой. Центральное понятие математики – математическое доказательство. Действительно, «доказательство» или, иначе, дедуктивное рассуждение является единственным видом признаваемых математикой рассуждений. Рассуждения математики изучаются не по форме, а по смыслу.

Еще говорят, что логика математики оперирует лишь синтаксическим понятием. Однако, как правило, важно, соотносится ли рассуждение с реальностью или нашим представлением. Поэтому надо всё же иметь в виду некоторый смысл формул и вывода. В этом случае используется термин «семантика» (синоним слова «смысл») и четко следует разделение между синтаксисом и семантикой. Когда действительно интересуются лишь синтаксисом, то часто используется термин «формальная система». Мы будем применять синоним этой терминологии – «исчисление» (используют еще термины «формальной теории» и «аксиоматики»). Объект формальных систем – строки текстовых последовательных символов, при помощи которых записывают формулы.

Формальная система определяется в том случае, если:

• алфавит содержит много символов, использованных для формирования формул;
• определено, какие строки будут считаться формулами, а остальные считаются лишь бессмысленными;
• выделено много формул, которые называются аксиомами. Это начальные точки в выводе;
• введено много правил для вывода, позволяющих из определенной формулы или из нескольких формул получить новый вариант формулы.

Отрицание

Это специальное логическое действие. В соответствии с местоположением различаются внешние и внутренние отрицания, свойства и роли которых существенно отличаются. Внешние отрицания являются пропозициональными, чтобы сформировать сложное высказывание из других высказываний. В них утверждается, что в отрицательном высказывании отсутствует положение дел, описанное в отрицательном высказывании.

Традиционно отрицательное высказывание считается истинным, если, и только если, отрицаемое высказывание ложно. В естественном языке отрицание обычно выражается оборотом «неверно, что», за которым следует отрицаемое высказывание.

Конъюнкция

Можно говорить о конъюнкции бесконечного числа высказываний (например, о конъюнкции всех истинных предложений математики). В логике конъюнкцией называют логическую связку (операцию, функцию). Образованное с её помощью сложное высказывание истинно только при условии одинаковой истинности его составляющих. В классической логике высказываний конъюнкция вместе с отрицанием составляют функционально-полную систему пропозициональных связок.

Дизъюнкция

В символической логике дизъюнкцией называют логическую связку (операцию, функцию), образующую из предложений А и В сложное высказывание, обозначаемое обычно как А V В, которое является истинным при истинности, по крайней мере одного из двух дизъюнктивных членов.

Классическая логика вместе с дизъюнкцией образуют функциональную и полноценную систему позиционных связок, позволяющую определить иные позиционные связки через него.

Традиционно считается, что рассмотренная нестрогая дизъюнкция отличается от строгой разделительной дизъюнкции, характерной для того, что соответствующие высказывания истинны при условии истинности одного и единственного дизъюнктивного члена.

Импликация

Логическая связка соответствует грамматической конструкции «если…, то...», с помощью которой из двух простых высказываний образуется сложное высказывание. В импликативном высказывании различают антецедент (основание) – высказывание, идущее после слова «если», и консеквент (следствие) – высказывание, идущее за словом «то». Импликативные высказывания представляют собой условные высказывания. В повседневных и научных дискуссиях последнее играет особенную роль, основная его функция – обосновать первую путем ссылок на что-то другое.

Связь, выражаемая условным высказыванием, предполагает, что консеквент с определенной необходимостью «вытекает» из антецедента и что есть некоторый общий закон, сумев сформулировать который, мы можем логически вывести консеквент из антецедента.