Наибольшее и наименьшее значение функции

21 ноября 2023
17 минут
12 184

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

На практике довольно часто приходится использовать производную для того, чтобы вычислить самое большое и самое маленькое значение функции. Мы выполняем это действие тогда, когда выясняем, как минимизировать издержки, увеличить прибыль, рассчитать оптимальную нагрузку на производство и др., то есть в тех случаях, когда нужно осуществить поиск и определить оптимальное значение какого-либо параметра или количество. Чтобы решить такие задачи верно, надо хорошо понимать, что такое наибольшее и наименьшее значение функции.

Обычно нами строится выражение этих значений в рамках некоторого интервала $x$ , который может в свою очередь соответствовать всей области определения функции или ее части. Это может быть как отрезок $[a; b]$ , так и открытый интервал $(a; b), (a; b], [a; b)$ , бесконечный интервал $(a; b), (a; b], [a; b)$ либо бесконечный промежуток $(- \infty; a), (- \infty; a], [a; + \infty), (- \infty; + \infty)$ .

В этом материале мы расскажем, как найти наибольшее и наименьшее значение явно заданной функции с одной переменной y=f(x) $y = f (x), чтобы вам не нужно было искать это самостоятельно онлайн$ .

Основные определения

Начнем, как всегда, с формулировки основных определений: какое значение называют максимальным и минимальным?.

Определение 1

Наибольшее значение функции $y = f (x)$ на некотором промежутке $x$ – это значение $\underset{x \in X}{m a x y = f (x_{0})}$ , которое при любом значении x $x \in X, x \neq x_{0}$ делает справедливым неравенство $f (x) \leq f (x_{0})$ .

Определение 2

Минимальное значение функции $y = f (x)$ на некотором промежутке $x$ – это значение $\underset{x \in X}{m i n} y = f (x_{0})$ , которое при любом значении $x \in X, x \neq x_{0}$ делает справедливым неравенство f(X $f (x) \geq f (x_{0})$ .

Данные определения являются достаточно очевидными. Еще проще можно сказать так: наибольшее значение функции – это ее наибольшее число, которое она может принимать на известном интервале при абсциссе $x_{0}$ , а наименьшее – это самое маленькое принимаемое значение на том же интервале при $x_{0}$ .

Определение 3

Стационарными точками называются такие значения аргумента функции, при которых ее производная обращается в $0$ .

Зачем нам нужно знать, что такое стационарные точки? Для ответа на этот вопрос надо вспомнить теорему Ферма. Из нее следует, что стационарная точка – это такая точка, в которой находится экстремум дифференцируемой функции (т.е. ее локальный минимум или максимум). Следовательно, функция будет принимать наименьшее или то, что больше всего, значение на некотором промежутке именно в одной из стационарных точек.

Еще функция может принимать наибольшее или наименьшее значение в тех точках, в которых сама функция является определенной, а ее первой производной не существует.

Первый вопрос, который возникает при изучении этой темы: во всех ли случаях мы можем определить наибольшее или найти наименьшее значение функции на заданном отрезке? Нет, мы не можем этого сделать тогда, когда границы заданного промежутка будут совпадать с границами области определения, или если мы имеем дело с интервалом, не имеющим конца. Бывает и так, что функция в заданном отрезке или на бесконечности будет принимать бесконечно малые или бесконечно большие значения (мало и много). В этих случаях определить или найти наибольшее и/или наименьшее значение не представляется возможным.

Более понятными эти моменты станут после изображения на графиках:

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Первый рисунок показывает нам функцию, которая принимает наибольшее и наименьшее значения ( $m a x y$ и $m i n y$ ) в стационарных точках, расположенных на отрезке $[- 6; 6]$ .

Разберем подробно случай, указанный на втором графике. Изменим значение отрезка на $[1; 6]$ и получим, что наибольшее значение функции будет достигаться в точке с абсциссой в правой границе интервала, а наименьшее – в стационарной точке.

На третьем рисунке абсциссы точек представляют собой граничные точки отрезка $[- 3; 2]$ . Они соответствуют наибольшему и наименьшему значению заданной функции.

Наибольшее и наименьшее значение функции на открытом интервале

Теперь посмотрим на четвертый рисунок. В нем функция принимает $m a x y$ (наибольшее значение) и $m i n y$ (наименьшее значение) в стационарных точках на открытом интервале $(- 6; 6)$ .

Если мы возьмем интервал $[1; 6)$ , то можно сказать, что наименьшее значение функции на нем будет достигнуто в стационарной точке. Наибольшее значение нам будет неизвестно. Функция могла бы принять наибольшее значение при $x$ , равном $6$ , если бы $x = 6$ принадлежала интервалу. Именно этот случай нарисован на графике $5$ .

На графике $6$ наименьшее значение данная функция приобретает в правой границе интервала $(- 3; 2]$ , а о наибольшем значении мы не можем сделать определенных выводов.

Наибольшее и наименьшее значение функции на бесконечности

На рисунке $7$ мы видим, что функция будет иметь $m a x y$ в стационарной точке, имеющей абсциссу, равную $1$ . Наименьшего значения функция достигнет на границе интервала с правой стороны. На минус бесконечности значения функции будут асимптотически приближаться к $y = 3$ .

Если мы возьмем интервал $x \in (2; + \infty)$ , то увидим, что заданная функция не будет принимать на нем ни наименьшего, ни наибольшего значения. Если x стремится к $2$ , то значения функции будут стремиться к минус бесконечности, поскольку прямая $x = 2$ – это вертикальная асимптота. Если же абсцисса стремится к плюс бесконечности, то значения функции будут асимптотически приближаться к $y = 3$ . Именно этот случай изображен на рисунке $8$ .

Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на заданном отрезке

Как найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке?

В этом пункте мы приведем последовательность действий, которую нужно выполнить, чтобы найти наибольшее значение функции на некотором отрезке или как найти наименьшее значение функции.

Для начала найдем область определения функции. Проверим, входит ли в нее заданный в условии отрезок.
Теперь вычислим точки, содержащиеся в данном отрезке, в которых не существует первой производной. Чаще всего их можно встретить у функций, аргумент которых записан под знаком модуля, или у степенных функций, показатель которых является дробно рациональным числом.
Далее выясним, какие стационарные точки попадут в заданный отрезок. Для этого надо вычислить производную функции, потом приравнять ее к $0$ и решить получившееся в итоге уравнение, после чего выбрать подходящие корни. Если у нас не получится ни одной стационарной точки или они не будут попадать в заданный отрезок, то мы переходим к следующему шагу.
Определим, какие значения будет принимать функция в заданных стационарных точках (если они есть), или в тех точках, в которых не существует первой производной (если они есть), либо же вычисляем значения для $x = a$ и $x = b$ .
У нас получился ряд значений функции, из которых теперь нужно выбрать самое больше и самое маленькое. Это и будут наибольшее и наименьшее значения функции, которые нам нужно найти.

Посмотрим, как правильно применить этот алгоритм при решении задач.

Пример 1

Условие: задана функция $y = \frac{x^{3} + 4}{x^{2}}$ . Определите ее наибольшее и наименьшее значение на отрезках $[1; 4]$ и $[- 4; - 1]$ .

Решение:

Начнем с нахождения области определения данной функции. В этом случае ей будет множество всех действительных чисел, кроме $0$ . Иными словами, $D (y) : x \in (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ . оба отрезка, заданных в условии, будут находиться внутри области определения.

Теперь вычисляем производную функции согласно правилу дифференцирования дроби:

$y' = {(\frac{x^{3} + 4}{x^{2}})}^{'} = \frac{{(x^{3} + 4)}^{'} \cdot x^{2} - (x^{3} + 4) \cdot {(x^{2})}^{'}}{x^{4}} = = \frac{3 x^{2} \cdot x^{2} - (x^{3} - 4) \cdot 2 x}{x^{4}} = \frac{x^{3} - 8}{x^{3}}$

Мы узнали, что производная функции будет существовать во всех точках отрезков $[1; 4]$ и $[- 4; - 1]$ .

Теперь нам надо определить стационарные точки функции. Сделаем это с помощью уравнения $\frac{x^{3} - 8}{x^{3}} = 0$ . У него есть только один действительный корень, равный $2$ . Он будет стационарной точкой функции и попадет в первый отрезок $[1; 4]$ .

Вычислим значения функции на концах первого отрезка и в данной точке, т.е. для $x = 1, x = 2$ и $x = 4$ :

$y (1) = \frac{1^{3} + 4}{1^{2}} = 5 y (2) = \frac{2^{3} + 4}{2^{2}} = 3 y (4) = \frac{4^{3} + 4}{4^{2}} = 4 \frac{1}{4}$

Мы получили, что наибольшее значение функции $\underset{x \in [1; 4]}{m a x y} = y (2) = 3$ будет достигнуто при $x = 1$ , а наименьшее $\underset{x \in [1; 4]}{m i n y} = y (2) = 3$ – при $x = 2$ .

Второй отрезок не включает в себя ни одной стационарной точки, поэтому нам надо вычислить значения функции только на концах заданного отрезка:

$y (- 1) = \frac{(- 1)^{3} + 4}{(- 1)^{2}} = 3$

Значит, $\underset{x \in [- 4; - 1]}{m a x y} = y (- 1) = 3, \underset{x \in [- 4; - 1]}{m i n y} = y (- 4) = - 3 \frac{3}{4}$ .

Ответ: Для отрезка $[1; 4]$ - $\underset{x \in [1; 4]}{m a x y} = y (2) = 3$ , $\underset{x \in [1; 4]}{m i n y} = y (2) = 3$ , для отрезка $[- 4; - 1]$ - $\underset{x \in [- 4; - 1]}{m a x y} = y (- 1) = 3, \underset{x \in [- 4; - 1]}{m i n y} = y (- 4) = - 3 \frac{3}{4}$ .

См. на рисунке:

Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на открытом или бесконечном интервале

Перед тем как изучить данный способ, советуем вам повторить, как правильно вычислять односторонний предел и предел на бесконечности, а также узнавать основные методы их нахождения. Чтобы найти наибольшее и/или наименьшее значение функции на открытом или бесконечном интервале, выполняем последовательно следующие действия.

Для начала нужно проверить, будет ли заданный интервал являться подмножеством области определения данной функции.
Определим все точки, которые содержатся в нужном интервале и в которых не существует первой производной. Обычно они бывают у функций, где аргумент заключен в знаке модуля, и у степенных функций с дробно рациональным показателем. Если же эти точки отсутствуют, то можно переходить к следующему шагу.
Теперь определим, какие стационарные точки попадут в заданный промежуток. Сначала приравняем производную к $0$ , решим уравнение и подберем подходящие корни. Если у нас нет ни одной стационарной точки или они не попадают в заданный интервал, то сразу переходим к дальнейшим действиям. Их определяет вид интервала.

Если интервал имеет вид $[a; b)$ , то нам надо вычислить значение функции в точке $x = a$ и односторонний предел $\lim_{x \to b - 0} f (x)$ .
Если интервал имеет вид $(a; b]$ , то нам надо вычислить значение функции в точке $x = b$ и односторонний предел $\lim_{x \to a + 0} f (x)$ .
Если интервал имеет вид $(a; b)$ , то нам надо вычислить односторонние пределы $\lim_{x \to b - 0} f (x)$ , $\lim_{x \to a + 0} f (x)$ .
Если интервал имеет вид $[a; + \infty)$ , то надо вычислить значение в точке $x = a$ и предел на плюс бесконечности $\lim_{x \to + \infty} f (x)$ .
Если интервал выглядит как $(- \infty; b]$ , вычисляем значение в точке $x = b$ и предел на минус бесконечности $\lim_{x \to - \infty} f (x)$ .
Если $(- \infty; b)$ , то считаем односторонний предел $\lim_{x \to b - 0} f (x)$ и предел на минус бесконечности $\lim_{x \to - \infty} f (x)$
Если же $(- \infty; + \infty)$ , то считаем пределы на минус и плюс бесконечности $\lim_{x \to + \infty} f (x)$ , $\lim_{x \to - \infty} f (x)$ .

В конце нужно сделать вывод на основе полученных значений функции и пределов. Здесь возможно множество вариантов. Так, если односторонний предел равен минус бесконечности или плюс бесконечности, то сразу понятно, что о наименьшем и наибольшем значении функции сказать ничего нельзя. Ниже мы разберем один типичный пример. Подробные описания помогут вам понять, что к чему. При необходимости можно вернуться к рисункам $4 - 8$ в первой части материала.

Пример 2

Условие: дана функция $y = 3 e^{\frac{1}{x^{2} + x - 6}} - 4$ . Вычислите ее наибольшее и наименьшее значение в интервалах $(- \infty; - 4), (- \infty; - 3), (- 3; 1], (- 3; 2), [1; 2), (2; + \infty), [4; + \infty)$ .

Решение

Первым делом находим область определения функции. В знаменателе дроби стоит квадратный (квадратичный) трехчлен, который не должен обращаться в $0$ :

$x^{2} + x - 6 = 0 D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6) = 25 x_{1} = \frac{- 1 - 5}{2} = - 3 x_{2} = \frac{- 1 + 5}{2} = 2 \Rightarrow D (y) : x \in (- \infty; - 3) \cup (- 3; 2) \cup (2; + \infty)$

Мы получили область определения функции, к которой принадлежат все указанные в условии интервалы.

Теперь выполним дифференцирование функции и получим:

$y' = {(3 e^{\frac{1}{x^{2} + x - 6}} - 4)}^{'} = 3 \cdot {(e^{\frac{1}{x^{2} + x - 6}})}^{'} = 3 \cdot e^{\frac{1}{x^{2} + x - 6}} \cdot {(\frac{1}{x^{2} + x - 6})}^{'} = = 3 \cdot e^{\frac{1}{x^{2} + x - 6}} \cdot \frac{1' \cdot (x^{2} + x - 6) - 1 \cdot {(x^{2} + x - 6)}^{'}}{(x^{2} + x - 6)^{2}} = - \frac{3 \cdot (2 x + 1) \cdot e^{\frac{1}{x^{2} + x - 6}}}{{(x^{2} + x - 6)}^{2}}$

Следовательно, производные функции существуют на всей области ее определения.

Перейдем к нахождению стационарных точек. Производная функции обращается в $0$ при $x = - \frac{1}{2}$ . Это стационарная точка, которая находится в интервалах $(- 3; 1]$ и $(- 3; 2)$ .

Вычислим значение функции при $x = - 4$ для промежутка $(- \infty; - 4]$ , а также предел на минус бесконечности:

$y (- 4) = 3 e^{\frac{1}{(- 4)^{2} + (- 4) - 6}} - 4 = 3 e^{\frac{1}{6}} - 4 \approx - 0.456 \lim_{x \to - \infty} (3 e^{\frac{1}{x^{2} + x - 6}}) = 3 e^{0} - 4 = - 1$

Поскольку $3 e^{\frac{1}{6}} - 4 > - 1$ , значит, $\underset{x \in (- \infty; - 4]}{m a x y} = y (- 4) = 3 e^{\frac{1}{6}} - 4$ . Это не дает нам возможности однозначно определяться с наименьшим значением функции. Мы можем только сделать вывод, что внизу есть ограничение $- 1$ , поскольку именно к этому значению функция приближается асимптотически на минус бесконечности.

Особенностью второго интервала является то, что в нем нет ни одной стационарной точки и ни одной строгой границы. Следовательно, ни наибольшего, ни наименьшего значения функции мы вычислить не сможем. Определив предел на минус бесконечности и при стремлении аргумента к $- 3$ с левой стороны, мы получим только интервал значений:

$\lim_{x \to - 3 - 0} (3 e^{\frac{1}{x^{2} + x - 6}} - 4) = \lim_{x \to - 3 - 0} (3 e^{\frac{1}{(x + 3) (x - 3)}} - 4) = 3 e^{\frac{1}{(- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2)}} - 4 = = 3 e^{\frac{1}{(+ 0)}} - 4 = 3 e^{+ \infty} - 4 = + \infty \lim_{x \to - \infty} (3 e^{\frac{1}{x^{2} + x - 6}} - 4) = 3 e^{0} - 4 = - 1$

Значит, значения функции будут расположены в интервале $(- 1; + \infty)$

Чтобы найти наибольшее значение функции в третьем промежутке, определим ее значение в стационарной точке $x = - \frac{1}{2}$ , если $x = 1$ . Также нам надо будет знать односторонний предел для того случая, когда аргумент стремится к $- 3$ с правой стороны:

$y (- \frac{1}{2}) = 3 e^{\frac{1}{{(- \frac{1}{2})}^{2} + (- \frac{1}{2}) - 6}} - 4 = 3 e^{\frac{4}{25}} - 4 \approx - 1.444 y (1) = 3 e^{\frac{1}{1^{2} + 1 - 6}} - 4 \approx - 1.644 \lim_{x \to - 3 + 0} (3 e^{\frac{1}{x^{2} + x - 6}} - 4) = \lim_{x \to - 3 + 0} (3 e^{\frac{1}{(x + 3) (x - 2)}} - 4) = 3 e^{\frac{1}{(- 3 + 0 + 3) (- 3 + 0 - 2)}} - 4 = = 3 e^{\frac{1}{(- 0)}} - 4 = 3 e^{- \infty} - 4 = 3 \cdot 0 - 4 = - 4$

У нас получилось, что наибольшее значение функция примет в стационарной точке $\underset{x \in (3; 1]}{m a x y} = y (- \frac{1}{2}) = 3 e^{- \frac{4}{25}} - 4$ . Что касается наименьшего значения, то его мы не можем определить. Все, что нам известно, – это наличие ограничения снизу до $- 4$ .

Для интервала $(- 3; 2)$ возьмем результаты предыдущего вычисления и еще раз подсчитаем, чему равен односторонний предел при стремлении к $2$ с левой стороны:

$y (- \frac{1}{2}) = 3 e^{\frac{1}{{(- \frac{1}{2})}^{2} + (- \frac{1}{2}) - 6}} - 4 = 3 e^{- \frac{4}{25}} - 4 \approx - 1.444 \lim_{x \to - 3 + 0} (3 e^{\frac{1}{x^{2} + x - 6}} - 4) = - 4 \lim_{x \to 2 - 0} (3 e^{\frac{1}{x^{2} + x - 6}} - 4) = \lim_{x \to - 3 + 0} (3 e^{\frac{1}{(x + 3) (x - 2)}} - 4) = 3 e^{\frac{1}{(2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2)}} - 4 = = 3 e^{\frac{1}{(- 0)}} - 4 = 3 e^{- \infty} - 4 = 3 \cdot 0 - 4 = - 4$

Значит, $\underset{x \in (- 3; 2)}{m a x y} = y (- \frac{1}{2}) = 3 e^{- \frac{4}{25}} - 4$ , а наименьшее значение определить невозможно, и значения функции ограничены снизу числом $- 4$ .

Исходя из того, что у нас получилось в двух предыдущих вычислениях, мы можем утверждать, что на интервале $[1; 2)$ наибольшее значение функция примет при $x = 1$ , а найти наименьшее невозможно.

На промежутке $(2; + \infty)$ функция не достигнет ни наибольшего, ни наименьшего значения, т.е. она будет принимать значения из промежутка $(- 1; + \infty)$ .

$\lim_{x \to 2 + 0} (3 e^{\frac{1}{x^{2} + x - 6}} - 4) = \lim_{x \to - 3 + 0} (3 e^{\frac{1}{(x + 3) (x - 2)}} - 4) = 3 e^{\frac{1}{(2 + 0 + 3) (2 + 0 - 2)}} - 4 = = 3 e^{\frac{1}{(+ 0)}} - 4 = 3 e^{+ \infty} - 4 = + \infty \lim_{x \to + \infty} (3 e^{\frac{1}{x^{2} + x - 6}} - 4) = 3 e^{0} - 4 = - 1$

Вычислив, чему будет равно значение функции при $x = 4$ , выясним, что $\underset{x \in [4; + \infty)}{m a x y} = y (4) = 3 e^{\frac{1}{14}} - 4$ , и заданная функция на плюс бесконечности будет асимптотически приближаться к прямой $y = - 1$ .

Сопоставим то, что у нас получилось в каждом вычислении, с графиком заданной функции. На рисунке асимптоты показаны пунктиром.

Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на открытом или бесконечном интервале

Это все, что мы хотели рассказать о нахождении наибольшего и наименьшего значения функции. Те последовательности действий, которые мы привели, помогут сделать необходимые вычисления максимально быстро и просто. Но помните, что зачастую бывает полезно сначала выяснить, на каких промежутках функция будет убывать, а на каких возрастать, после чего можно делать дальнейшие выводы. Так можно более точно определить наибольшее и наименьшее значение функции и обосновать полученные результаты.