Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik
Непрерывность функции в точке, разрывы первого и второго рода
- 24 августа 2023
- 7 минут
- 8 411
Процесс исследования функции на непрерывность неразрывно связан с навыком нахождения односторонних пределов функции. Поэтому, чтобы приступить к изучению материала данной статьи, желательно предварительно разобрать тему предела функции.
Непрерывность функции в точке
Функция f(x)является непрерывной в точке x0, если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке x0, т.е.: limx→x0-0f(x)=limx→x0+0f(x)=f(x0)
Данное определение позволяет вывести следствие: значение предела функции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих точках.
Дана функция f(x)=16(x-8)2-8. Необходимо доказать ее непрерывность в точке х0= 2.
Решение
В первую очередь, определим существование предела слева. Чтобы это сделать, используем последовательность аргументов хn, сводящуюся к х0 =2·(хn<2). Например, такой последовательностью может быть:
-2, 0, 1, 112, 134, 178, 11516,..., 110231024,...→2
Соответствующая последовательность значений функций выглядит так:
f(-2); f(0); f(1); f(112); f(134); f(178); f(11516);...; f(110231024);...==8.667; 2.667; 0.167; -0.958; -1.489; -1.747; -1.874;...;-1.998;...→-2
на чертеже они обозначены зеленым цветом.
Достаточно очевидно, что такая последовательность сводится к -2, значит limx→2-0(16(x-8)2-8)=-2.
Определим существование предела справа: используем последовательность аргументов хn, сводящуюся к х0= 2 (хn>2). Например, такой последовательностью может быть:
6, 4, 3, 212, 214, 218, 2116,..., 211024,...→2
Соответствующая последовательность функций:
f(6); f(4); f(3); f(212); f(214); f(218); f(2116);...; f(211024);...==-7.333; -5.333; -3.833; -2.958; -2.489; -2.247; -2.247; -2.124;...; -2.001;...→-2
на рисунке обозначена синим цветом.
И эта последовательность сводится к -2, тогда limx→2+0(16(x-8)2-8)=-2.
Действиями выше было показано, что пределы справа и слева являются равными, а значит существует предел функции f(x)=16(x-8)2-8 в точке х0= 2, при этом limx→2(16(x-8)2-8)=-2.
После вычисления значения функции в заданной точке очевидно выполнение равенства:
limx→2-0f(x)=limx→2+0f(x)=f(2)=16(2-8)2-8=-2 что свидетельствует о непрерывности заданной функции в заданной точке.
Покажем графически:
Ответ: Непрерывность функции f(x)=16(x-8)2-8 в заданной части доказано.
Устранимый разрыв первого рода
Функция имеет устранимый разрыв первого рода в точке х0, когда пределы справа и слева равны, но не равны значению функции в точке, т.е.:
limx→x0-0f(x)=limx→x0+0f(x)≠f(x0)
Задана функция f(x)=x2-25x-5. Необходимо определить точки ее разрыва и определить их тип.
Решение
Сначала обозначим область определения функции: D(f(x))⇔D(x2-25x-5)⇔x-5≠0⇔x∈(-∞; 5)∪(5; +∞)
В заданной функции точкой разрыва может служить только граничная точка области определения, т.е. х0= 5. Исследуем функцию на непрерывность в этой точке.
Выражение x2-25x-5 упростим: x2-25x-5=(x-5)(x+5)x-5=x+5.
Определим пределы справа и слева. Поскольку функция g(x)=x+5 является непрерывной при любом действительном x, тогда:
limx→5-0(x+5)=5+5=10limx→5+0(x+5)=5+5=10
Ответ: пределы справа и слева являются равными, а заданная функция в точке х0= 5 не определена, т.е. в этой точке функция имеет устранимый разрыв первого рода.
Неустранимый разрыв первого рода
Неустранимый разрыв первого рода также определяется точкой скачка функции.
Функция имеет неустранимый разрыв первого рода в точке х0, когда пределы справа и слева не являются равными, т.е.: limx→x0-0f(x)≠limx→x0+0f(x). Точка х0 здесь – точка скачка функции.
Задана кусочно-непрерывная функция f(x)=open. Необходимо изучить заданную функцию на предмет непрерывности, обозначить вид точек разрыва, составить чертеж.
Решение
Разрывы данной функции могут быть лишь в точке или в точке .
Определим пределы справа и слева от этих точек и значение заданной функции в этих точках:
- слева от точки заданная функция есть , тогда в силу непрерывности линейной функции: ;
- непосредственно в точке функция принимает вид: , тогда: ;
- на промежутке заданная функция есть: . Опираясь на свойство непрерывности квадратичной функции, имеем:
- в точке функция имеет вид: и .
- справа от точки заданная функция есть . В силу непрерывности линейной функции:
Ответ: в конечном счете мы получили:
- - это означает, что в точке заданная кусочная функция непрерывна;
- - таким образом, в точке определён неустранимый разрыв первого рода (скачок).
Нам остается только подготовить чертеж данного задания.
Разрыв второго рода (бесконечный разрыв)
Функция имеет разрыв второго рода в точке , когда какой-либо из пределов слева или справа не существует или бесконечен.
Задана функция . Необходимо исследовать заданную функцию на непрерывность, определить вид точек разрыва, подготовить чертеж.
Решение
Запишем область определения функции: .
Найдем пределы справа и слева от точки .
Зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к слева. К примеру:
Ей соответствует последовательность значений функции:
Очевидно, что эта последовательность является бесконечно большой отрицательной, тогда .
Тепереь зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к справа. К примеру: , и ей соответствует последовательность значений функции:
Эта последовательность - бесконечно большая положительная, а значит .
Ответ: точка - точка разрыва функции второго рода.
Проиллюстрируем:
Сохранить статью удобным способом