Область определения функции

Содержание:

17 ноября 2023
13 минут
2261

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Каждая функция имеет свою собственную область определения. Целью этого материала является объяснение этого понятия и описание способов ее вычисления. Сначала мы введем основное определение, а потом на конкретных примерах покажем, как выглядит область определения основных элементарных функций (степенной, постоянной и др.) Разбирать случаи с более сложными функциями мы пока не будем.

В рамках данной статьи мы рассмотрим область определения функций, включающих в себя только одну переменную.

Понятие и обозначение области определения функции

Самое простое определение этого понятия дается в учебниках тогда, когда впервые вводится понятие функции как таковой. На этом этапе термином «область определения» обозначают множество всех возможных значений аргумента.

По мере углубления знаний о функциях определение сужается и усложняется. Так, в одном из учебников можно встретить следующую формулировку:

Определение 1

Числовая функция с областью определения $D$ – это соответствие значений переменной $x$ некоторому числу $y$ , которое находится в зависимых отношениях с $x$ .

Используя это определение, охарактеризуем нужное нам понятие более четко:

Определение 2

Областью определения функции называется множество значений аргумента, на котором можно задать эту функцию.

Теперь рассмотрим, как правильно обозначать ее на письме. Ранее мы договорились, что для записи самих функций будем использовать маленькие латинские буквы, например, $g, f$ и др. Чтобы указать на наличие функциональной зависимости, используется запись вида $y = f (x)$ . Таким образом, функция $f$ представляет собой некоторое правило, согласно которому каждому значению переменной $x$ можно поставить в соответствие значение другой переменной $y$ , которая находится в зависимых отношениях от $x$ .

Пример 1

Возьмем для примера функцию $y = x^{2}$ ^. Можно записать ее как $f (x) = x^{2}$ . Это функция возведения в квадрат, которая ставит в соответствие каждому значению переменной $x = x_{0}$ некоторое значение $y = x_{0}^{2}$ ^. Так, если мы возьмем число $3$ , то функция поставит ему в соответствие $9$ , поскольку $3^{2} = 9$ .

Чтобы обозначить область определения некоторой функции $f$ , используется запись $D (f)$ . Однако нужно помнить, что у некоторых функций есть собственные обозначения, например, у тригонометрических. Поэтому в учебниках иногда встречаются записи вида $D (\sin)$ или $D (a r c \sin)$ . Их следует понимать как области определения синуса и арксинуса соответственно. Допустима и запись вида $D (f)$ , где $f$ – функция синуса или арксинуса.

Если мы хотим записать, что функция $f$ определена на множестве значений $x$ , то используем формулировку $D (f) = X$ . Так, для того же арксинуса запись будет выглядеть как $D (a r c \sin) = [- 1, 1]$ (подробнее об области определения арксинуса мы расскажем далее.)

Как найти области определения для основных элементарных функций

Прочитав определения выше, легко понять, что понятие области определения очень важно для любой функции. Это ее неотъемлемая часть, которую задают вместе с самой функцией. То есть когда мы вводим какую-либо функцию, то мы сразу указываем и область ее определения. Обычно в рамках школьного курса основные функции изучаются последовательно: сначала прямые пропорциональности, затем линейные функции, потом $y = x^{2}$ и т.д., а их области определения указываются в качестве основных свойств.

В этом пункте мы расскажем, какие области определения имеют основные элементарные функции.

Область определения постоянной функции

Определение 3

Вспомним формулу, которой задается постоянная функция: $y = C$ , или $f (x) = C$ . Переменная $C$ может быть любым действительным числом.

Смысл функции в том, что каждому значению аргумента будет соответствовать значение, равное $C$ , следовательно, областью определения данной функции будет множество всех действительных чисел. Обозначим его $R$ .

Пример 2

Так, если у нас есть функция $y = - 3$ (или в другой записи $f (x) = - 3$ ), то $(D (f) = (- \infty, + \infty)$ или $D (f) = R)$ .

Если же мы возьмем функцию $y = \sqrt[3]{7}$ , то для нее, как и для любой постоянной функции, область определения будет равна $R$ .

Область определения функции с корнем

С помощью знака корня, или радикала, мы можем задать функцию извлечения квадратного корня $y = \sqrt{x}$ , либо в обобщенном виде функцию корня степени $N$ , которую можно записать в виде формулы $y = \sqrt[n]{x}$ . В этих случаях $n$ может быть любым натуральным числом, которое больше $1$ .

Область определения таких функций будет зависеть от того, является ли показатель четным или нечетным числом.

Определение 4

Возьмем сначала случай, когда $n$ – четное число, т.е. $n = 2 \cdot m$ , где $m \in N$ . Тогда областью определения станет множество всех неотрицательных действительных чисел: $D (\sqrt[2 \cdot m]{}) = [0; + \infty)$ .
Если же $n$ представляет из себя нечетное число, которое больше $1$ , т.е. $n = 2 \cdot m + 1$ , то областью определения будет множество всех действительных чисел: $D (\sqrt[2 \cdot m + 1]{}) = (- \infty; + \infty)$ .

Пример 3

Таким образом, область определения функций с корнем $y = \sqrt{x}, y = \sqrt[4]{x}, y = \sqrt[6]{x}$ – это числовое множество $[0, + \infty)$ , а функций $y = \sqrt[3]{x}, y = \sqrt[5]{x}, y = \sqrt[7]{x}$ – множество $(- \infty, + \infty)$ .

Область определения степенной функции

Запись степенной функции выглядит как $y = x^{a}$ или $f (x) = x^{a}$ , где $x$ является переменной, которая лежит в основании степени, и $a$ представляет из себя определенное число в ее показателе. Мы берем область определения степенной функции в зависимости от значения ее показателя.

Перечислим возможные варианты.

Определение 5

Допустим, что $a$ будет положительным целым числом. Тогда областью определения степенной функции будет множество действительных чисел $(- \infty, + \infty)$ .
Если $a$ является нецелым положительным числом, то $D (f) = [0, + \infty)$ .
В случае, когда $a$ относится к целым отрицательным числам, областью определения такой функции становится множество $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ .
В остальных случаях, т.е. когда $a$ будет отрицательным нецелым числом, область определения будет числовым промежутком $(0, + \infty)$ .
Если $a$ имеет нулевое значение, то такая степенная функция будет определена для всех действительных $x$ , кроме нулевого. Это связано с неопределенностью $0^{0}$ . Мы знаем, что любое число, кроме $1$ , при возведении в нулевую степень будет равно $1$ , тогда при $a = 0$ у нас получится функция $y = x^{0} = 1$ , область определения которой $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ .

Поясним нашу мысль несколькими примерами.

Пример 4

Для функций $y = x^{5}, y = x^{12}$ область определения представляет собой множество всех действительных чисел $R$ , поскольку показатели степени являются целыми положительными числами.

Пример 5

Для степенных функций $y = x^{\sqrt[3]{6}}, y = x^{π}, y = x^{\frac{7}{4}}, y = x^{\frac{2}{3}}$ будут определены на интервале $[0, + \infty)$ , поскольку показатели являются положительными, но не целыми числами.

Пример 6

3. Для функции $y = x^{- 5}$ с целыми отрицательными показателями областью определения будет множество $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ .

Пример 7

4. Для степенных функций $y = x^{- \sqrt{19}}, y = x^{- 3 e}, y = x^{- \frac{9}{8}}, y = x^{- \frac{3}{11}}$ область определения будет представлять из себя открытый числовой луч $(0, + \infty)$ , т.к. их показателями являются нецелые отрицательные числа.

Область определения показательной функции

Определение 6

Такую функцию принято записывать как $y = a^{x}$ , причем переменная будет располагаться в показателе функции. Основанием степени здесь является число $a$ , которое больше $0$ и не равно $1$ .

Область определения такой функции есть множество всех действительных чисел, т.е. $R$ .

Пример 8

Например, если у нас есть показательные функции $y = {(\frac{1}{4})}^{x}, y = e^{x}, y = 13^{x}, y = {(\sqrt{15})}^{x}$ , то они будут определены на промежутке от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Область определения логарифмической функции

Определение 7

Функция логарифма задается как $y = \log_{a} x$ , где $a$ – основание, большее $0$ и не равное $1$ . Она определена на множестве всех положительных действительных чисел. Это можно записать как $D (\log_{a}) = (0, + \infty)$ , например, $D (\ln) = (0, + \infty)$ и $D (l g) = (0, + \infty)$ .

Пример 9

Так, для логарифмических функций $y = \log_{\frac{2}{3}} x, y = \log_{\sqrt{3}} x, y = \log_{7} x, y = \ln x$ областью определения будет множество $(0, + \infty)$ .

Область определения тригонометрических функций

Чтобы узнать, на каком промежутке будут определены тригонометрические функции, нужно вспомнить, как именно они задаются и как называются.

Определение 8

Формула $y = \sin x$ обозначает функцию синуса $(\sin)$ . Она будет определена на множестве всех действительных чисел. Можно записать, что $D (\sin) = R$ .
Формула $y = \cos x$ означает функцию косинуса $(\cos)$ . Она также будет определена на множестве всех действительных чисел, т.е. $D (\cos) = R$ .
Формула $y = t g x$ означает функцию тангенса $(t g)$ , а $y = c t g x$ – котангенса. Областью определения тангенса будет множество всех действительных чисел, за исключением $\frac{π}{2} + π \cdot k, k \in Z$ .

Областью определения котангенса будет также множество $R$ , за исключением $π \cdot k, k \in Z$ .

Иными словами, если мы знаем, что $x$ является аргументом функций тангенса и котангенса, то нужно помнить, что данные функции определены при $x \in R, x \neq \frac{π}{2} + π \cdot k, k \in Z$ и $x \in R, x \neq π \cdot k, k \in Z$ .

Область определения тригонометрических функций

К обратным тригонометрическим относятся функции арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Определение 9

Формула $y = a r c \sin x$ обозначает функцию арксинуса. Обычно она рассматривается на отрезке $[- 1, 1]$ ] и обозначается arcsin. Промежуток $[- 1, 1]$ и будет нужной нам областью определения данной функции. Можно записать, что $D (a r c \sin) = [- 1, 1]$ .
Формула $y = a r c \cos x$ выражает функцию арккосинуса (обозначается $a r c \cos$ ). Она рассматривается на том же отрезке, что и арксинус. Следовательно, областью определения данной функции является $[- 1, 1]$ , т.е. $D (a r c \cos) = [- 1, 1]$ .
Функции $y = a r c t g x$ и $y = a r c c t g x$ означают арктангенс и арккотангенс. Они рассматриваются на множестве всех действительных чисел, значит, областью их определения является $R$ . Можем записать, что $D (a r c t g) = R$ и $D (a r c c t g) = R$ .

Области определения основных функций в табличном виде

Чтобы запомнить или легко найти нужные нам области, правила вычисления которых мы объяснили выше, представим всю информацию в табличном виде. Не лишним будет оформить ее на отдельном листе и держать под рукой, так же, как и таблицу простых чисел, квадратов и др. Она очень пригодится при работе с функциями, пока вы не выучите ее содержимое наизусть.

Области определения функций
Функиця	Ее область определения
Постоянная $y = C$	$R$
Корень $y = \sqrt[n]{x}$	$[0; + \infty)$ , если $n$ - четное $(- \infty; + \infty)$ , если $n$ - нечетное
Степенная $y = x^{a}$	$(- \infty; + \infty)$ , если $a > 0, a \in Z$ $[0; + \infty)$ , если $a > 0, a \in R, a \notin Z$ $(- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ , если $a < 0, a \in Z$ $(0; + \infty)$ , если $a \in R, a \neq Z$ $(- \infty; 0) \cup (0, + \infty)$ , если $a = 0$
Показательная $y = a^{x}$	$R$
Логарифмическая $y = \log_{a} x$	$(0; + \infty)$
Тригонометрические $y = \sin x y = \cos x y = t g x y = c t g x$	$R R x \in R, x \neq \frac{π}{2} + π \cdot k, k \in Z x \in R, x \neq π \cdot k, k \in Z$
Обратные тригонометрические $y = a r c \sin x y = a r c \cos x y = a r c t g x y = a r c c t g x$	$[- 1; 1] [- 1; 1] R R$

Подводя итоги статьи, следует отметить, что в рамках школьного курса изучаются не только основные элементарные функции, но и их различные сочетания. Задачи такого типа встречаются очень часто. Области определения таких комбинированных функций указываются далеко не всегда. Авторы задач подразумевают, что в таких случаях областью определения функции можно считать множество таких значений аргумента, при которых она будет иметь смысл. Это позволяет нам приблизиться к ответу на вопрос, как именно вычисляется область определения функции в подобных случаях.

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.