Основные элементарные функции: их свойства и графики

5 декабря 2023
25 минут
14 081

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Основные элементарные функции, присущие им свойства и соответствующие графики – одни из азов математических знаний, схожих по степени важности с таблицей умножения. Элементарные функции являются базой, опорой для изучения всех теоретических вопросов.

Статья ниже дает ключевой материал по теме основных элементарных функций. Мы введем термины, дадим им определения; подробно изучим каждый вид элементарных функций, разберем их свойства.

Выделяют следующие виды основных элементарных функций:

Определение 1

постоянная функция (константа);
корень $n$ -ой степени;
степенная функция;
показательная функция;
логарифмическая функция;
тригонометрические функции;
братные тригонометрические функции.

Постоянная функция

Постоянная функция определяется формулой: $y = C$ ( $C$ – некое действительное число) и имеет также название: константа. Данная функция определяет соответствие любому действительному значению независимой переменной $x$ одного и того же значения переменной $y$ – значение $C$ .

График константы – это прямая, которая параллельна оси абсцисс и проходит через точку, имеющую координаты $(0, С)$ . Для наглядности приведем графики постоянных функций $y = 5, y = - 2, y = 3, y = \sqrt{3}$ (на чертеже обозначено черным, красным и синим цветами соответственно).

Постоянная функция

Определение 2

Свойства постоянных функций:

область определения – все множество действительных чисел;
постоянная функция – четная;
область значений – множество, составленное из единственного числа $C$ ;
постоянная функция является невозрастающей и неубывающей;
постоянная функция – прямая линия, о выпуклости или вогнутости здесь речи быть не может;
асимптоты отсутствуют;
точка прохождения функции на координатной плоскости – $(0; С)$ .

Корень n-й степени

Данная элементарная функция определяется формулой $y = \sqrt[n]{x}$ ( $n$ – натуральное число больше единицы).

Рассмотрим две вариации функции.

Корень $n$ -й степени, $n$ – четное число

Для наглядности укажем чертеж , на котором изображены графики таких функций: $y = \sqrt{x}, y = \sqrt[4]{x}$ и $y = \sqrt[8]{x}$ . Эти функции отмечены цветом: черный, красный и синий соответственно.

Корень n-й степени

Похожий вид у графиков функции четной степени при иных значениях показателя.

Определение 3

Свойства функции корень n-ой степени, n – четное число

область определения – множество всех неотрицательных действительных чисел $[0, + \infty)$ ;
когда $x = 0$ , функция $y = \sqrt[n]{x}$ имеет значение, равное нулю;
данная функция- функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной);
область значений: $[0, + \infty)$ ;
данная функция $y = \sqrt[n]{x}$ при четных показателях корня возрастает на всей области определения;
функция обладает выпуклостью с направлением вверх на всей области определения;
отсутствуют точки перегиба;
асимптоты отсутствуют;
график функции при четных n проходит через точки $(0; 0)$ и $(1; 1)$ .

Корень $n$ -й степени, $n$ – нечетное число

Такая функция определена на всем множестве действительных чисел. Для наглядности рассмотрим графики функций $y = \sqrt[3]{x}, y = \sqrt[5]{x}$ и $\sqrt[9]{x}$ . На чертеже они обозначены цветами: черный, красный и синий цвета кривых соответственно.

Корень n-й степени

Иные нечетные значения показателя корня функции $y = \sqrt[n]{x}$ дадут график аналогичного вида.

Определение 4

Свойства функции корень n-ой степени, n – нечетное число

область определения – множество всех действительных чисел;
данная функция – нечетная;
область значений – множество всех действительных чисел;
функция $y = \sqrt[n]{x}$ при нечетных показателях корня возрастает на всей области определения;
функция имеет вогнутость на промежутке $(- \infty; 0]$ и выпуклость на промежутке $[0, + \infty)$ ;
точка перегиба имеет координаты $(0; 0)$ ;
асимптоты отсутствуют;
график функции при нечетных n проходит через точки $(- 1; - 1), (0; 0)$ и $(1; 1)$ .

Степенная функция

Определение 5

Степенная функция определяется формулой $y = x^{a}$ .

Вид графиков и свойства функции зависят от значения показателя степени.

когда степенная функция имеет целый показатель $a$ , то вид графика степенной функции и ее свойства зависят от того, четный или нечетный показатель степени, а также того, какой знак имеет показатель степени. Рассмотрим все эти частные случаи подробнее ниже;
показатель степени может быть дробным или иррациональным – в зависимости от этого также варьируется вид графиков и свойства функции. Мы разберем частные случаи, задав несколько условий: $0 < a < 1; a > 1; - 1 < a < 0$ и $a < - 1$ ;
степенная функция может иметь нулевой показатель, этот случай также ниже разберем подробнее.

Степенная функция при нечетном положительном показателе

Разберем степенную функцию $y = x^{a}$ , когда $a$ – нечетное положительное число, например, $a = 1, 3, 5 \dots$

Для наглядности укажем графики таких степенных функций: $y = x$ (черный цвет графика), $y = x^{3}$ (синий цвет графика), $y = x^{5}$ (красный цвет графика), $y = x^{7}$ (зеленый цвет графика). Когда $a = 1$ , получаем линейную функцию $y = x$ .

Степенная функция при нечетном положительном показателе

Определение 6

Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный положительный

область определения: $x \in (- \infty; + \infty)$ ;
область значений: $y \in (- \infty; + \infty)$ ;
функция является нечетной, поскольку $y (- x) = - y (x)$ ;
функция является возрастающей при $x \in (- \infty; + \infty)$ ;
функция имеет выпуклость при $x \in (- \infty; 0]$ и вогнутость при $x \in [0; + \infty)$ (исключая линейную функцию);
точка перегиба имеет координаты $(0; 0)$ (исключая линейную функцию);
асимптоты отсутствуют;
точки прохождения функции: $(- 1; - 1), (0; 0), (1; 1)$ .

Степенная функция при четном положительном показателе

Разберем степенную функцию $y = x^{a}$ , когда $a$ – четное положительное число, например, $a = 2, 4, 6 \dots$

Для наглядности укажем графики таких степенных функций: $y = x^{2}$ (черный цвет графика), $y = x^{4}$ (синий цвет графика), $y = x^{8}$ (красный цвет графика). Когда $a = 2$ , получаем квадратичную функцию, график которой – квадратичная парабола.

Степенная функция при четном положительном показателе

Определение 7

Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный положительный:

область определения: $x \in (- \infty; + \infty)$ ;
область значений: $y \in [0; + \infty)$ ;
функция является четной, поскольку $y (- x) = y (x)$ ;
функция является возрастающей при $x \in [0; + \infty)$ ; убывающей при $x \in (- \infty; 0]$ ;
функция имеет вогнутость при $x \in (- \infty; + \infty)$ ;
очки перегиба отсутствуют;
асимптоты отсутствуют;
точки прохождения функции: $(- 1; 1), (0; 0), (1; 1)$ .

Степенная функция при нечетном отрицательном показателе

На рисунке ниже приведены примеры графиков степенной функции $y = x^{a}$ , когда $a$ – нечетное отрицательное число: $y = x^{- 9}$ (черный цвет графика); $y = x^{- 5}$ (синий цвет графика); $y = x^{- 3}$ (красный цвет графика); $y = x^{- 1}$ (зеленый цвет графика). Когда $a = - 1$ , получаем обратную пропорциональность, график которой – гипербола.

Степенная функция при нечетном отрицательном показателе

Определение 8

Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный отрицательный:

область определения: $x \in (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ ;

Когда $х = 0$ , получаем разрыв второго рода, поскольку $\lim_{x \to 0 - 0} x^{a} = - \infty, \lim_{x \to 0 + 0} x^{a} = + \infty$ при $a = - 1, - 3, - 5, \dots$ . Таким образом, прямая $х = 0$ – вертикальная асимптота;

область значений: $y \in (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ ;
функция является нечетной, поскольку $y (- x) = - y (x)$ ;
функция является убывающей при $x \in (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ ;
функция имеет выпуклость при $x \in (- \infty; 0)$ и вогнутость при $x \in (0; + \infty)$ ;
точки перегиба отсутствуют;
горизонтальная асимптота – прямая $y = 0$ , поскольку:

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{x^{a}}{x} = 0, b = \lim_{x \to \infty} (x^{a} - k x) = 0 \Rightarrow y = k x + b = 0$ , когда $а = - 1, - 3, - 5, . . .$ .

точки прохождения функции: $(- 1; - 1), (1; 1)$ .

Степенная функция при четном отрицательном показателе степени

На рисунке ниже приведены примеры графиков степенной функции $y = x^{a}$ , когда $a$ – четное отрицательное число: $y = x^{- 8}$ (черный цвет графика); $y = x^{- 4}$ (синий цвет графика); $y = x^{- 2}$ (красный цвет графика).

Степенная функция при четном отрицательном показателе степени

Определение 9

Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный отрицательный:

область определения: $x \in (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ ;

Когда $х = 0$ , получаем разрыв второго рода, поскольку $\lim_{x \to 0 - 0} x^{a} = + \infty, \lim_{x \to 0 + 0} x^{a} = + \infty$ при $a = - 2, - 4, - 6, \dots$ . Таким образом, прямая $х = 0$ – вертикальная асимптота;

область значений: $y \in (0; + \infty)$ ;
функция является четной, поскольку $y (- x) = y (x)$ ;
функция является возрастающей при $x \in (- \infty; 0)$ и убывающей при $x \in (0; + \infty)$ ;
функция имеет вогнутость при $x \in (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ ;
точки перегиба отсутствуют;
горизонтальная асимптота – прямая $y = 0$ , поскольку:

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{x^{a}}{x} = 0, b = \lim_{x \to \infty} (x^{a} - k x) = 0 \Rightarrow y = k x + b = 0$ , когда $a = - 2, - 4, - 6, . . .$ .

точки прохождения функции: $(- 1; 1), (1; 1)$ .

Степенная функция при рациональном или иррациональном показателе (значение больше нуля и меньше единицы)

С самого начала обратите внимание на следующий аспект: в случае, когда $a$ – положительная дробь с нечетным знаменателем, некоторые авторы принимают за область определения этой степенной функции интервал $(- \infty; + \infty)$ , оговаривая при этом, что показатель $a$ – несократимая дробь. На данный момент авторы многих учебных изданий по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции, где показатель – дробь с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Далее мы придержемся именно такой позиции: возьмем за область определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество $[0; + \infty)$ . Рекомендация для учащихся: выяснить взгляд преподавателя на этот момент во избежание разногласий.

Итак, разберем степенную функцию $y = x^{a}$ , когда показатель степени – рациональное или иррациональное число при условии, что $0 < a < 1$ .

Проиллюстрируем графиками степенные функции $y = x^{a}$ , когда $a = \frac{11}{12}$ (черный цвет графика); $a = \frac{5}{7}$ (красный цвет графика); $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (синий цвет графика); $a = \frac{2}{5}$ (зеленый цвет графика).

Степенная функция при рациональном или иррациональном показателе (значение больше нуля и меньше единицы)

Иные значения показателя степени $a$ (при условии $0 < a < 1$ ) дадут аналогичный вид графика.

Определение 10

Свойства степенной функции при $0 < a < 1$ :

область определения: $x \in [0; + \infty)$ ;
область значений: $y \in [0; + \infty)$ ;
данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
функция является возрастающей при $x \in [0; + \infty)$ ;
функция имеет выпуклость при $x \in (0; + \infty)$ ;
точки перегиба отсутствуют;
асимптоты отсутствуют;
точки прохождения функции: $(0; 0), (1; 1)$ .

Степенная функция при нецелом рациональном или иррациональном показателе степени (больше единицы)

Разберем степенную функцию $y = x^{a}$ , когда показатель степени – нецелое рациональное или иррациональное число при условии, что $a > 1$ .

Проиллюстрируем графиками степенную функцию $y = x^{a}$ в заданных условиях на примере таких функций: $y = x^{\frac{5}{4}}, y = x^{\frac{4}{3}}, y = x^{\frac{7}{3}}, y = x^{3 π}$ (черный, красный, синий, зеленый цвет графиков соответственно).

Степенная функция при нецелом рациональном или иррациональном показателе степени (больше единицы)

Иные значения показателя степени а при условии $a > 1$ дадут похожий вид графика.

Определение 11

Свойства степенной функции при $a > 1$ :

область определения: $x \in [0; + \infty)$ ;
область значений: $y \in [0; + \infty)$ ;
данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
функция является возрастающей при $x \in [0; + \infty)$ ;
функция имеет вогнутость при $x \in (0; + \infty)$ (когда $1 < a < 2$ ) и выпуклость при $x \in [0; + \infty)$ (когда $a > 2$ );
точки перегиба отсутствуют;
асимптоты отсутствуют;
точки прохождения функции: $(0; 0), (1; 1)$ .

Степенная функция при действительном показателе степени (больше минус единицы и меньше нуля)

Обращаем ваше внимание! Когда $a$ – отрицательная дробь с нечетным знаменателем, в работах некоторых авторов встречается взгляд, что область определения в данном случае – интервал $(- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ с оговоркой, что показатель степени $a$ – несократимая дробь. На данный момент авторы учебных материалов по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Далее мы придерживаемся именно такого взгляда: возьмем за область определения степенных функций с дробными отрицательными показателями множество $(0; + \infty)$ . Рекомендация для учащихся: уточните видение вашего преподавателя на этот момент во избежание разногласий.

Продолжаем тему и разбираем степенную функцию $y = x^{a}$ при условии: $- 1 < a < 0$ .

Приведем чертеж графиков следующий функций: $y = x^{- \frac{5}{6}}, y = x^{- \frac{2}{3}}, y = x^{- \frac{1}{2 \sqrt{2}}}, y = x^{- \frac{1}{7}}$ (черный, красный, синий, зеленый цвет линий соответственно).

Степенная функция при действительном показателе степени (больше минус единицы и меньше нуля)

Определение 12

Свойства степенной функции при $- 1 < a < 0$ :

область определения: $x \in (0; + \infty)$ ;

$\lim_{x \to 0 + 0} x^{a} = + \infty$ , когда $- 1 < a < 0$ , т.е. $х = 0$ – вертикальная асимптота;

область значений: $y \in (0; + \infty)$ ;
данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
функция является убывающей при $x \in (0; + \infty)$ ;
функция имеет вогнутость при $x \in (0; + \infty)$ ;
точки перегиба отсутствуют;
горизонтальная асимптота – прямая $y = 0$ ;
точка прохождения функции: $(1; 1)$ .

Степенная функция при нецелом действительном показателе степени (меньше минус единицы)

На чертеже ниже приведены графики степенных функций $y = x^{- \frac{5}{4}}, y = x^{- \frac{5}{3}}, y = x^{- 6}, y = x^{- \frac{24}{7}}$ (черный, красный, синий, зеленый цвета кривых соответственно).

Степенная функция при нецелом действительном показателе степени (меньше минус единицы)

Определение 13

Свойства степенной функции при $a < - 1$ :

область определения: $x \in (0; + \infty)$ ;

$\lim_{x \to 0 + 0} x^{a} = + \infty$ , когда $a < - 1$ , т.е. $х = 0$ – вертикальная асимптота;

область значений: $y \in (0; + \infty)$ ;
данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
функция является убывающей при $x \in (0; + \infty)$ ;
функция имеет вогнутость при $x \in (0; + \infty)$ ;
точки перегиба отсутствуют;
горизонтальная асимптота – прямая $y = 0$ ;
точка прохождения функции: $(1; 1)$ .

Когда $a = 0$ и $х \neq 0$ , получим функцию $y = x^{0} = 1$ , определяющую прямую, из которой исключена точка $(0; 1)$ (условились, что выражению $0^{0}$ не будет придаваться никакого значения).

Показательная функция

Показательная функция имеет вид $y = a^{x}$ , где $а > 0$ и $а \neq 1$ , и график этой функции выглядит различно, исходя из значения основания $a$ . Рассмотрим частные случаи.

Сначала разберем ситуацию, когда основание показательной функции имеет значение от нуля до единицы $(0 < a < 1)$ . Наглядным примером послужат графики функций при $a = \frac{1}{2}$ (синий цвет кривой) и $a = \frac{5}{6}$ (красный цвет кривой).

Показательная функция

Подобный же вид будут иметь графики показательной функции при иных значениях основания при условии $0 < a < 1$ .

Определение 14

Свойства показательной функции, когда основание меньше единицы:

область определения – все множество действительных чисел;
область значений: $y \in (0; + \infty)$ ;
данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
показательная функция, у которой основание меньше единицы, является убывающей на всей области определения;
функция имеет вогнутость при $x \in (- \infty; + \infty)$ ;
точки перегиба отсутствуют;
горизонтальная асимптота – прямая $y = 0$ при переменной $x$ , стремящейся к $+ \infty$ ;
точка прохождения функции: $(0; 1)$ .

Теперь рассмотрим случай, когда основание показательной функции больше, чем единица $(а > 1)$ .

Проиллюстрируем этот частный случай графиком показательных функций $y = {(\frac{3}{2})}^{x}$ (синий цвет кривой) и $y = e^{x}$ (красный цвет графика).

Показательная функция

Иные значения основания, большие единицы, дадут аналогичный вид графика показательной функции.

Определение 15

Свойства показательной функции, когда основание больше единицы:

область определения – все множество действительных чисел;
область значений: $y \in (0; + \infty)$ ;
данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
показательная функция, у которой основание больше единицы, является возрастающей при $x \in (- \infty; + \infty)$ ;
функция имеет вогнутость при $x \in (- \infty; + \infty)$ ;
точки перегиба отсутствуют;
горизонтальная асимптота – прямая $y = 0$ при переменной $x$ , стремящейся к $- \infty$ ;
точка прохождения функции: $(0; 1)$ .

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция имеет вид $y = \log_{a} (x)$ , где $a > 0, a \neq 1$ .

Такая функция определена только при положительных значениях аргумента: при $x \in (0; + \infty)$ .

График логарифмической функции имеет различный вид, исходя из значения основания а.

Рассмотрим сначала ситуацию, когда $0 < a < 1$ . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при $a = \frac{1}{2}$ (синий цвет кривой) и $а = \frac{5}{6}$ (красный цвет кривой).

Логарифмическая функция

Иные значения основания, не большие единицы, дадут аналогичный вид графика.

Определение 16

Свойства логарифмической функции, когда основание меньше единицы:

область определения: $x \in (0; + \infty)$ . Когда х стремится к нулю справа, значения функции стремятся к $+ \infty$ ;
область значений: $y \in (- \infty; + \infty)$ ;
данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
логарифмическая функция является убывающей на всей области определения;
функция имеет вогнутость при $x \in (0; + \infty)$ ;
точки перегиба отсутствуют;
асимптоты отсутствуют;
точка прохождения функции: $(1; 0)$ .

Теперь разберем частный случай, когда основание логарифмической функции больше единицы: $а > 1$ . На чертеже ниже – графики логарифмических функций $y = \log_{\frac{3}{2}} x$ и $y = \ln x$ (синий и красный цвета графиков соответственно).

Логарифмическая функция

Иные значения основания больше единицы дадут аналогичный вид графика.

Определение 17

Свойства логарифмической функции, когда основание больше единицы:

область определения: $x \in (0; + \infty)$ . Когда х стремится к нулю справа, значения функции стремятся к $- \infty$ ;
область значений: $y \in (- \infty; + \infty)$ (все множество действительных чисел);
данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
логарифмическая функция является возрастающей при $x \in (0; + \infty)$ ;
функция имеет выпуклость при $x \in (0; + \infty)$ ;
точки перегиба отсутствуют;
асимптоты отсутствуют;
точка прохождения функции: $(1; 0)$ .

Тригонометрические функции, их свойства и графики

Тригонометрические функции – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Разберем свойства каждой из них и соответствующие графики.

В общем для всех тригонометрических функций характерно свойство периодичности, т.е. когда значения функций повторяются при разных значениях аргумента, отличающихся друг от друга на величину периода $f (x + T) = f (x)$ ( $T$ – период). Таким образом, в списке свойств тригонометрических функций добавляется пункт «наименьший положительный период». Помимо этого, будем указывать такие значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в нуль.

Функция синус: $y = \sin (х)$

График данной функции называется синусоида.

Тригонометрические функции, их свойства и графики

Определение 18

Свойства функции синус:

область определения: все множество действительных чисел $x \in (- \infty; + \infty)$ ;
наименьший положительный период: $Т = 2 π$ ;
функция обращается в нуль, когда $x = π \cdot k$ , где $k \in Z$ ( $Z$ – множество целых чисел);
область значений: $y \in [- 1; 1]$ ;
данная функция – нечетная, поскольку $y (- x) = - y (x)$ ;
функция является возрастающей при $x \in [- \frac{π}{2} + 2 π \cdot k; \frac{π}{2} + 2 π \cdot k], k \in Z$ и убывающей при $x \in [\frac{π}{2} + 2 π \cdot k; \frac{3 π}{2} + 2 π \cdot k], k \in Z$ ;
функция синус имеет локальные максимумы в точках $(\frac{π}{2} + 2 π \cdot k; 1)$ и локальные минимумы в точках $(- \frac{π}{2} + 2 π \cdot k; - 1), k \in Z$ ;
функция синус вогнутая, когда $x \in [- π + 2 π \cdot k; 2 π \cdot k], k \in Z$ и выпуклая, когда $x \in [2 π \cdot k; π + 2 π \cdot k], k \in Z$ ;
точки перегиба имеют координаты $(π \cdot k; 0), k \in Z$ ;
асимптоты отсутствуют.

Функция косинус: $y = \cos (х)$

График данной функции называется косинусоида.

Тригонометрические функции, их свойства и графики

Определение 19

Свойства функции косинус:

область определения: $x \in (- \infty; + \infty)$ ;
наименьший положительный период: $Т = 2 π$ ;
функция обращается в нуль, когда $x = \frac{π}{2} + π \cdot k$ при $k \in Z$ ( $Z$ – множество целых чисел);
область значений: $y \in [- 1; 1]$ ;
данная функция – четная, поскольку $y (- x) = y (x)$ ;
функция является возрастающей при $x \in [- π + 2 π \cdot k; 2 π \cdot k], k \in Z$ и убывающей при $x \in [2 π \cdot k; π + 2 π \cdot k], k \in Z$ ;
функция косинус имеет локальные максимумы в точках $(2 π \cdot k; 1), k \in Z$ и локальные минимумы в точках $(π + 2 π \cdot k; - 1), k \in z$ ;
функция косинус вогнутая, когда $x \in [\frac{π}{2} + 2 π \cdot k; \frac{3 π}{2} + 2 π \cdot k], k \in Z$ и выпуклая, когда $x \in [- \frac{π}{2} + 2 π \cdot k; \frac{π}{2} + 2 π \cdot k], k \in Z$ ;
точки перегиба имеют координаты $(\frac{π}{2} + π \cdot k; 0), k \in Z$
асимптоты отсутствуют.

Функция тангенс: $y = t g (х)$

График данной функции называется тангенсоида.

Тригонометрические функции, их свойства и графики

Определение 20

Свойства функции тангенс:

область определения: $x \in (- \frac{π}{2} + π \cdot k; \frac{π}{2} + π \cdot k)$ , где $k \in Z$ ( $Z$ – множество целых чисел);
Поведение функции тангенс на границе области определения $\lim_{x \to \frac{π}{2} + π \cdot k + 0} t g (x) = - \infty, \lim_{x \to \frac{π}{2} + π \cdot k - 0} t g (x) = + \infty$ . Таким образом, прямые $x = \frac{π}{2} + π \cdot k$ $(k \in Z)$ – вертикальные асимптоты;
наименьший положительный период: $Т = π$ ;
функция обращается в нуль, когда $x = π \cdot k$ при $k \in Z$ ( $Z$ – множество целых чисел);
область значений: $y \in (- \infty; + \infty)$ ;
данная функция – нечетная, поскольку $y (- x) = - y (x)$ ;
функция является возрастающей при $(- \frac{π}{2} + π \cdot k; \frac{π}{2} + π \cdot k), k \in Z$ ;
функция тангенс является вогнутой при $x \in [π \cdot k; \frac{π}{2} + π \cdot k), k \in Z$ и выпуклой при $x \in (- \frac{π}{2} + π \cdot k; π \cdot k], k \in Z$ ;
точки перегиба имеют координаты $(π \cdot k; 0), k \in Z$ ;
наклонные и горизонтальные асимптоты отсутствуют.

Функция котангенс: $y = c t g (х)$

График данной функции называется котангенсоида.

Тригонометрические функции, их свойства и графики

Определение 21

Свойства функции котангенс:

область определения: $x \in (π \cdot k; π + π \cdot k)$ , где $k \in Z$ ( $Z$ – множество целых чисел);

Поведение функции котангенс на границе области определения $\lim_{x \to π \cdot k + 0} t g (x) = + \infty, \lim_{x \to π \cdot k - 0} t g (x) = - \infty$ . Таким образом, прямые $x = π \cdot k$ $(k \in Z)$ – вертикальные асимптоты;

наименьший положительный период: $Т = π$ ;
функция обращается в нуль, когда $x = \frac{π}{2} + π \cdot k$ при $k \in Z$ ( $Z$ – множество целых чисел);
область значений: $y \in (- \infty; + \infty)$ ;
данная функция – нечетная, поскольку $y (- x) = - y (x)$ ;
функция является убывающей при $x \in (π \cdot k; π + π \cdot k), k \in Z$ ;
функция котангенс является вогнутой при $x \in (π \cdot k; \frac{π}{2} + π \cdot k], k \in Z$ и выпуклой при $x \in [- \frac{π}{2} + π \cdot k; π \cdot k), k \in Z$ ;
точки перегиба имеют координаты $(\frac{π}{2} + π \cdot k; 0), k \in Z$ ;
наклонные и горизонтальные асимптоты отсутствуют.

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики

Обратные тригонометрические функции – это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Зачастую, в связи с наличием приставки «арк» в названии, обратные тригонометрические функции называют аркфункциями.

Функция арксинус: $y = a r c \sin (х)$

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики

Определение 22

Свойства функции арксинус:

область определения: $x \in [- 1; 1]$ ;
область значений: $y \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ ;
данная функция – нечетная, поскольку $y (- x) = - y (x)$ ;
функция является возрастающей на всей области определения;
функция арксинус имеет вогнутость при $x \in [0; 1]$ и выпуклость при $x \in [- 1; 0]$ ;
точки перегиба имеют координаты $(0; 0)$ , она же – нуль функции;
асимптоты отсутствуют.

Функция арккосинус: $y = a r c \cos (х)$

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики

Определение 23

Свойства функции арккосинус:

область определения: $x \in [- 1; 1]$ ;
область значений: $y \in [0; π]$ ;
данная функция - общего вида (ни четная, ни нечетная);
функция является убывающей на всей области определения;
функция арккосинус имеет вогнутость при $x \in [- 1; 0]$ и выпуклость при $x \in [0; 1]$ ;
точки перегиба имеют координаты $(0; \frac{π}{2})$ ;
асимптоты отсутствуют.

Функция арктангенс: $y = a r c t g (х)$

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики

Определение 24

Свойства функции арктангенс:

область определения: $x \in (- \infty; + \infty)$ ;
область значений: $y \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ ;
данная функция – нечетная, поскольку $y (- x) = - y (x)$ ;
функция является возрастающей на всей области определения;
функция арктангенс имеет вогнутость при $x \in (- \infty; 0]$ и выпуклость при $x \in [0; + \infty)$ ;
точка перегиба имеет координаты $(0; 0)$ , она же – нуль функции;
горизонтальные асимптоты – прямые $y = - \frac{π}{2}$ при $x \to - \infty$ и $y = \frac{π}{2}$ при $x \to + \infty$ (на рисунке асимптоты – это линии зеленого цвета).

Функция арккотангенс: $y = a r c c t g (х)$

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики

Определение 25

Свойства функции арккотангенс:

область определения: $x \in (- \infty; + \infty)$ ;
область значений: $y \in (0; π)$ ;
данная функция – общего вида;
функция является убывающей на всей области определения;
функция арккотангенс имеет вогнутость при $x \in [0; + \infty)$ и выпуклость при $x \in (- \infty; 0]$ ;
точка перегиба имеет координаты $(0; \frac{π}{2})$ ;
горизонтальные асимптоты – прямые $y = π$ при $x \to - \infty$ (на чертеже – линия зеленого цвета) и $y = 0$ при $x \to + \infty$ .