Полное исследование функции и построение графика

Если в задаче необходимо произвести полное исследование функции $f\left(x\right)=\frac{x^2}{4x^2-1}$ с построением его графика, тогда рассмотрим этот принцип подробно.

Для решения задачи данного типа следует использовать свойства и графики основных элементарных функций. Алгоритм исследования включает в себя шаги:

Нахождение области определения 

Так как исследования проводятся на области определения функции, необходимо начинать с этого шага.

В результате можно получить корни, логарифмы, и так далее. Тогда ОДЗ можно искать для корня четной степени типа $\sqrt[4]{g\left(x\right)}$ по неравенству $g\left(x\right)\ge 0$, для логарифма ${\log }_{a}g\left(x\right)$ по неравенству $g\left(x\right)>0$.

Исследование границ ОДЗ и нахождение вертикальных асимптот

На границах функции имеются вертикальные асимптоты, когда односторонние пределы в таких точках бесконечны.

Исследование функции и на четность или нечетность

Когда выполняется условие $y(-x)=y\left(x\right)$, функция считается четной. Это говорит о том, что график располагается симметрично относительно $Оу$.  Когда выполняется условие $y(-x)=-y\left(x\right)$, функция считается нечетной. Значит, что симметрия идет относительно начала координат. При невыполнении хотя бы одного неравенства, получаем функцию общего вида.

Выполнение равенства $y(-x)=y\left(x\right)$ говорит о том, что функция четная. При построении необходимо учесть, что будет симметричность относительно $Оу$.

Нахождение возрастания и убывания, точек экстремума

Для решения неравенства применяются промежутки возрастания и убывания с условиями $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0$ и $f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0$ соответственно.

При решении необходимо учитывать следующие замечания:

• при  имеющихся промежутках возрастания  и убывания неравенства вида  $f^{\text{'}}\left(x\right)>0$ критические точки в решение не включаются;
• точки, в которых функция определена без конечной производной , необходимо включать в промежутки возрастания и убывания (к примеру, $y=\sqrt[3]{x}$, где точка $х=0$ делает функцию определенной, производная имеет значение бесконечности в этой точке, $y^{\text{'}}=\frac{1}{3·x^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}, y^{\text{'}}\left(0\right)=\frac{1}{0}=\infty$, $х=0$ включается в промежуток возрастания);
• во избежание разногласий рекомендовано пользоваться математической литературой, которая рекомендована министерством образования.

Включение критических точек в промежутки возрастания и убывания в том случае, если они удовлетворяют области определения функции.

На схеме при помощи $+$ и $-$ изображается положительность и отрицательность функции, а стрелочки – убывание и возрастание.

Точки  экстремума функции – точки, где функция определена и через которые производная меняет знак.

Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба

Выпуклость и вогнутость определяется при решении неравенств вида $f\text{'}\text{'}\left(x\right)\ge 0$ и $f\text{'}\text{'}\left(x\right)\le 0$. Реже используют название выпуклость вниз вместо вогнутости, а выпуклость вверх вместо выпуклости.

Иначе говоря, это такая точка, через которую проходит вторая производная  и меняет знак, а в самих точках равняется нулю или не существует. Все точки считаются областью определения функции.

В примере было видно, что точки перегиба отсутствуют, так как вторая производная изменяет знак во время прохождения через точки $x=\pm \frac{1}{2}$. Они , в свою очередь, в область определения не входят.

Нахождение горизонтальных и наклонных асимптот

При определении функции на бесконечности нужно искать горизонтальные и наклонные асимптоты.

Иначе говоря, асимптотами считают линии, к которым приближается график функции на бесконечности. Это способствует быстрому построению графика функции.

Если асимптоты отсутствуют, но функция определяется на обеих бесконечностях, необходимо посчитать предел функции на этих бесконечностях, чтобы понять, как себя будет вести график функции.

Вычисление значения функции в промежуточных точках

Чтобы построение графика было наиболее точным, рекомендовано находить несколько значений функции в промежуточных точках. 

Построение графика  

Для определения максимумов и минимумов функции, точек перегиба, промежуточных точек необходимо строить асимптоты. Для удобного обозначения фиксируются промежутки возрастания, убывания, выпуклость, вогнутость. Рассмотрим на рисунке, изображенном ниже.

Необходимо через отмеченные точки проводить линии графика, что позволит приблизить к асимптотам, следуя стрелочкам.

На этом заканчивается полное исследование функции. Встречаются случаи построения некоторых элементарных функций, для которых применяют геометрические преобразования.