Преобразование графиков элементарных функций

Преобразовать $y=x^{\frac{2}{3}}$ и построить график функции $y=-\frac{1}{2}·{\left(8x-4\right)}^{\frac{2}{3}}+3$.

Решение

Представим функции таким образом:

$y=-\frac{1}{2}·{\left(8x-4\right)}^{\frac{2}{3}}+3=-\frac{1}{2}·{\left(8\left(x-\frac{1}{2}\right)\right)}^{\frac{2}{3}}+3=-2{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^{\frac{2}{3}}+3$

Где $k_1=2$, стоит обратить внимание на наличие $«-»$, $а=-\frac{1}{2} , b=3$. Отсюда получаем, что геометрические преобразования  производятся  с растяжения вдоль $Оу$ вдвое, отображается симметрично относительно $Ох$, сдвигается вправо на $\frac{1}{2}$ и вверх на $3$ единицы.

Если изобразить исходную степенную функцию, получим, что

при растягивании вдвое вдоль $Оу$ имеем, что

Отображение, симметричное относительно $Ох$, имеет вид

а движение вправо на $\frac{1}{2}$

движение на $3$ единицы вверх имеет вид

Произвести построение графика показательной функции $y=-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{2}(2-x)}+8$.

Решение.

Преобразуем функцию, исходя из свойств степенной функции. Тогда получим, что

$y=-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{2}(2-x)}+8=-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-\frac{1}{2}x+1}+8=-\frac{1}{2}·{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-\frac{1}{2}x}+8$

Отсюда видно, что получим цепочку преобразований $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$:

$$\begin{gathered} y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x\to y=\frac{1}{2}·{\left(\frac{1}{2}\right)}^x\to y=\frac{1}{2}·{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{2}x}\to \\ \to y=-\frac{1}{2}·{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{2}x}\to y=-\frac{1}{2}·{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-\frac{1}{2}x}\to \\ \to y=-\frac{1}{2}·{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-\frac{1}{2}x}+8 \end{gathered}$$

Получаем, что исходная показательная функция имеет вид

Сжимание вдвое вдоль $Оу$ дает

Растягивание вдоль $Ох$

Симметричное отображение относительно $Ох$

Отображение симметрично относительно $Оу$

Сдвигание на $8$ единиц вверх

Построить функцию $y=\ln \left(e^2·\sqrt[3]{-\frac{1}{2}x}\right)$ при помощи преобразования $y=\ln \left(x\right)$.

Решение

Для решения необходимо использовать свойства логарифма, тогда получаем:

$y=\ln \left(e^2·\sqrt[3]{-\frac{1}{2}x}\right)=\ln \left(e^2\right)+\ln {\left(-\frac{1}{2}x\right)}^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+2$

Преобразования логарифмической функции выглядят так:

$$\begin{gathered} y=\ln \left(x\right)\to y=\frac{1}{3}\ln \left(x\right)\to y=\frac{1}{3}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)\to \\ \to y=\frac{1}{3}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)\to y=\frac{1}{3}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+2 \end{gathered}$$

Изобразим график исходной логарифмической функции

Производим сжимание строе по $Оу$

Производим растягивание вдоль $Ох$

Производим отображение относительно $Оу$

Производим сдвигание вверх на $2$ единицы, получаем

Построить график $y=-3\sin \left(\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)-2$ с помощью преобразований функции y=sinx.

Решение

Необходимо привести функцию к виду $\pm k_1·f\left(\pm k_2·\left(x+a\right)\right)+b$. Для этого:

$y=-3\sin \left(\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)-2=-3\sin \left(\frac{1}{2}(x-3)\right)-2$

Видно, что $k_1=3, k_2=\frac{1}{2}, a=-3, b=-2$. Так как перед $k_1$ имеется $«-»$, а перед $k_2$ - нет, тогда получим цепочку преобразований вида:

$$\begin{gathered} y=\sin \left(x\right)\to y=3\sin \left(x\right)\to y=3\sin \left(\frac{1}{2}x\right)\to y=-3\sin \left(\frac{1}{2}x\right)\to \\ \to y=-3\sin \left(\frac{1}{2}\left(x-3\right)\right)\to y=-3\sin \left(\frac{1}{2}(x-3)\right)-2 \end{gathered}$$

Подробное преобразование синусоиды. При построении графика исходной синусоиды $y=\sin \left(x\right)$ получаем, что наименьшим положительным периодом считается $T=2\mathrm{\pi }$. Нахождение максимума в точках $\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}+2\mathrm{\pi }·\mathrm{k}; 1\right)$, а минимума - $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{2}+2\mathrm{\pi }·\mathrm{k}; -1\right), k\in Z$.

Производится растягивание по $Оу$ втрое, значит возрастание амплитуды колебаний возрастет в $3$ раза. $T=2\mathrm{\pi }$ - это наименьший положительный период. Максимумы переходят в $\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}+2\mathrm{\pi }·\mathrm{k}; 3\right), k\in Z$ , минимумы - $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{2}+2\mathrm{\pi }·\mathrm{k}; -3\right), k\in Z$.

При растягивании по $Ох$ вдвое получаем, что наименьший положительный период увеличивается в $2$ раза и равняется $T=\frac{2\mathrm{\pi }}{k_2}=4\mathrm{\pi }$. Максимумы переходят в $\left(\mathrm{\pi }+4\mathrm{\pi }·\mathrm{k}; 3\right), k\in Z$, минимумы – в $\left(-\mathrm{\pi }+4\mathrm{\pi }·\mathrm{k}; -3\right), k\in Z$.

Изображение производится симметрично относительно $Ох$. Наименьший положительный период в данном случае не меняется и равняется $T=\frac{2\mathrm{\pi }}{k_2}=4\mathrm{\pi }$. Переход максимума выглядит как $\left(-\mathrm{\pi }+4\mathrm{\pi }·\mathrm{k}; 3\right), k\in Z$,  а минимума – $\left(\mathrm{\pi }+4\mathrm{\pi }·\mathrm{k}; -3\right), k\in Z$.

Производится сдвижение графика вниз на $2$ единицы. Изменение наименьшего общего периода не происходит. Нахождение максимумов с перехождением в точки $\left(-\mathrm{\pi }+3+4\mathrm{\pi }·\mathrm{k}; 1\right), k\in Z$, минимумов - $\left(\mathrm{\pi }+3+4\mathrm{\pi }·\mathrm{k}; -5\right), k\in Z$.

На данном этапе график тригонометрической функции считается преобразованным.

Построить график функции $y=\frac{3}{2}\cos \left(2-2x\right)+1$ при помощи преобразования функции вида $y=\cos x$.

Решение

По алгоритму необходимо заданную функцию привести к виду $\pm k_1·f\left(\pm k_2·\left(x+a\right)\right)+b$. Тогда получаем, что

$y=\frac{3}{2}\cos \left(2-2x\right)+1=\frac{3}{2}\cos (-2(x-1\left)\right)+1$

Из условия видно, что $k_1=\frac{3}{2}, k_2=2, a=-1, b=1$, где $k_2$ имеет $«-»$, а перед $k_1$ он отсутствует.

Отсюда получаем, что получится график тригонометрической функции вида:

$$\begin{gathered} y=\cos \left(x\right)\to y=\frac{3}{2}\cos \left(x\right)\to y=\frac{3}{2}\cos \left(2x\right)\to y=\frac{3}{2}\cos (-2x)\to \\ \to y=\frac{3}{2}\cos (-2(x-1\left)\right)\to y=\frac{3}{2}\cos \left(-2(x-1)\right)+1 \end{gathered}$$

Пошаговое преобразование  косинусоиды с графической иллюстрацией.

При заданной графике $y=\cos \left(x\right)$ видно, что наименьший общий период равняется $T=2\mathrm{\pi }$. Нахождение максимумов в $\left(2\mathrm{\pi }·\mathrm{k}; 1\right), k\in Z$, а минимумов $\left(\mathrm{\pi }+2\mathrm{\pi }·\mathrm{k}; -1\right), k\in Z$.

При растягивании вдоль $Оу$ в $\frac{3}{2}$ раза происходит возрастание амплитуды колебаний в $\frac{3}{2}$ раза.$T=2\mathrm{\pi }$ является наименьшим положительным периодом. Нахождение максимумов в $\left(2\mathrm{\pi }·\mathrm{k}; \frac{3}{2}\right), k\in Z$, минимумов в $\left(\mathrm{\pi }+2\mathrm{\pi }·\mathrm{k}; -\frac{3}{2}\right), k\in Z$.

При сжатии вдоль $Ох$ вдвое получаем, что наименьшим положительным периодом является число  $T=\frac{2\mathrm{\pi }}{k_2}=\mathrm{\pi }$. Производится переход  максимумов в $\left(\mathrm{\pi }·\mathrm{k}; \frac{3}{2}\right), k\in Z$,минимумов - $\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{\pi }·\mathrm{k}; -\frac{3}{2}\right), k\in Z$.

Симметричное отображение относительно $Оу$. Так как график нечетный, то он не будет изменяться.

При сдвигании графика на $1$. Отсутствуют изменения наименьшего положительного периода $T=\mathrm{\pi }$. Нахождение максимумов в $\left(\mathrm{\pi }·\mathrm{k}+1; \frac{3}{2}\right), k\in Z$, минимумов - $\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}+1+\mathrm{\pi }·\mathrm{k}; -\frac{3}{2}\right), k\in Z$.

При сдвигании на $1$ наименьший положительный период равняется $T=\mathrm{\pi }$ и не изменен. Нахождение максимумов в $\left(\mathrm{\pi }·\mathrm{k}+1; \frac{5}{2}\right), k\in Z$, минимумов в $\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}+1+\mathrm{\pi }·\mathrm{k}; -\frac{1}{2}\right), k\in Z$.

Преобразования функции косинуса завершено.

Построить график функции $y=-\frac{1}{2}tg\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}-\frac{2}{3}x\right)+\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ при помощи преобразований функции $y=tg\left(x\right)$.

Решение

Для начала необходимо привести заданную функцию к виду $\pm k_1·f\left(\pm k_2·\left(x+a\right)\right)+b$, после чего получаем, что

$y=-\frac{1}{2}tg\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}-\frac{2}{3}x\right)+\frac{\mathrm{\pi }}{3}=-\frac{1}{2}tg\left(-\frac{2}{3}\left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)\right)+\frac{\mathrm{\pi }}{3}$

Отчетливо видно, что $k_1=\frac{1}{2}, k_2=\frac{2}{3}, a=-\frac{\mathrm{\pi }}{2}, b=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$, а перед коэффициентами $k_1$ и $k_2$ имеется $«-»$. Значит, после преобразования тангенсоиды получаем

$$\begin{gathered} y=tg\left(x\right)\to y=\frac{1}{2}tg\left(x\right)\to y=\frac{1}{2}tg\left(\frac{2}{3}x\right)\to y=-\frac{1}{2}tg\left(\frac{2}{3}x\right)\to \\ \to y=-\frac{1}{2}tg\left(-\frac{2}{3}x\right)\to y=-\frac{1}{2}tg\left(-\frac{2}{3}\left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)\right)\to \\ \to y=-\frac{1}{2}tg\left(-\frac{2}{3}\left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)\right)+\frac{\mathrm{\pi }}{3} \end{gathered}$$

Поэтапное преобразование тангенсоиды с графическим изображением.

 Имеем, что исходный график – это $y=tg\left(x\right)$. Изменение положительного периода равняется $T=\mathrm{\pi }$. Областью определения считается $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{\pi }·\mathrm{k}; \frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{\pi }·\mathrm{k}\right), k\in Z$.

Сжимаем  в $2$ раза вдоль $Оу$. $T=\mathrm{\pi }$ считается наименьшим положительным периодом, где область определения имеет вид $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{\pi }·\mathrm{k}; \frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{\pi }·\mathrm{k}\right), k\in Z$.

Растягиваем вдоль $Ох$ в $\frac{3}{2}$ раза. Вычислим наименьший положительный период, причем равнялся $T=\frac{\mathrm{\pi }}{k_2}=\frac{3}{2}\mathrm{\pi }$. А область определения функции с координатами $\left(-\frac{3\mathrm{\pi }}{4}+\frac{3}{2}\mathrm{\pi }·\mathrm{k}; \frac{3\mathrm{\pi }}{4}+\frac{3}{2}\mathrm{\pi }·\mathrm{k}\right), k\in Z$ , меняется только область определения.

Симметрия идет по сторону $Ох$. Период не изменится  в этот момент.

Необходимо симметрично отображать оси координат. Область определения в данном случае неизменна. График совпадает с предыдущим. Это говорит о том, что функция тангенса нечетная. Если к нечетной функции задать симметричное отображение $Ох$ и $Оу$, тогда преобразуем до исходной функции.

При движении вправо на $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ видим, что наименьшим положительным периодом является  $T=\frac{3}{2}\mathrm{\pi }$. А изменения происходят внутри области определения $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\frac{3}{2}\mathrm{\pi }·\mathrm{k}; \frac{5\mathrm{\pi }}{4}+\frac{3}{2}\mathrm{\pi }·\mathrm{k}\right), k\in Z$.

При сдвигании графика на $\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ получаем, что изменение области определения отсутствует.

Преобразование тангенса завершено.

Построить график функции $y=2arc\sin \left(\frac{1}{3}(x-1)\right)$ при помощи преобразования $y=arc\cos x$.

Решение

Для начала необходимо перейти от арккосинуса к арксинусу при помощи обратных тригонометрических функций $arc\sin x+arco\cos x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$. Значит, получим, что $arc\sin x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}-arc\cos x$.

Видно, что $y=arc\cos x\to y=-arc\cos x\to y=-arc\cos x+\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

Поэтапное преобразование арккосинуса и графическое изображение.

График, данный по условию

Производим отображение относительно $Ох$

Производим движение вверх на $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

Таким образом, осуществляется переход от арккосинуса к косинусу. Необходимо произвести геометрические преобразования арксинуса и его графика.

Видно, что $k_1=2, k_2=\frac{1}{3}, a=-1, b=0$, где отсутствует знак $«-»$ у  $k_1$ и $k_2$.

Отсюда получаем, что преобразования $y=arc\sin x$ примет вид:

$$\begin{gathered} y=arc\sin \left(x\right)\to y=2arc\sin \left(x\right)\to \\ \to y=2arc\sin \left(\frac{1}{3}x\right)\to y=2arc\sin \left(\frac{1}{3}(x-1)\right) \end{gathered}$$

Поэтапное преобразование графика арксинуса и графическое изображение.

График $y=arc\sin x$ имеет область определения  вида $x\in \left.open-1; 1\right]$, тогда интервал $y\in \left.open-\frac{\mathrm{\pi }}{2}; \frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$ относится к области значений.

Необходимо растянуть вдвое по $Оу$, причем область определения останется неизменной $x\in \left.open-1; 1\right]$, а область значений $y\in \left.open-\mathrm{\pi }; \mathrm{\pi }\right]$.

Растягивание по $Ох$ строе. Происходит расширение области определения $x\in \left.open-3; 3\right]$, но область значений остается неизменной $y\in \left.open-\mathrm{\pi }; \mathrm{\pi }\right]$.

Производим сдвигание вправо на $1$, причем область определения становится равной $x\in \left.open-2; 4\right]$. Без изменений остается область значений $y\in \left.open-\mathrm{\pi }; \mathrm{\pi }\right]$.

Задача преобразования графика обратной тригонометрической функции завершена. Если по условию имеются сложные функции, тогда необходимо прибегнуть к полному исследованию функция.