Выпуклость функции. Направление выпуклости. Точки перегиба. Условия выпуклости и перегиба.

Условие: дана функция $y=\frac{x^3}{6}-x^2+3x-1$. Определите, на каких промежутках ее график будет иметь выпуклости и вогнутости.

Решение

Областью определения данной функции является все множество действительных чисел. Начнем с вычисления второй производной.

$$\begin{gathered} y^{\text{'}}={\left(\frac{x^3}{6}-x^2+3x-1\right)}^{\text{'}}=\frac{x^2}{2}-2x+3\Rightarrow \\ {y}^{\text{'}\text{'}}=\left(\frac{x^2}{2}-2x+3\right)=x-2 \end{gathered}$$

Мы видим, что область определения второй производной совпала с областью самой функции Значит, для выявления интервалов выпуклостей нам надо решить неравенства $f\text{'}\text{'}\left(x\right)\ge 0$  и $f\text{'}\text{'}\left(x\right)\le 0$ .

$$\begin{gathered} y\text{'}\text{'}\ge 0\iff x-2\ge 0\iff x\ge 2 \\ y\text{'}\text{'}\le 0\iff x-2\le 0\iff x\le 2 \end{gathered}$$

Мы получили, что график заданной функции будет иметь вогнутость на отрезке $[2; +\infty )$ и выпуклость на отрезке $(-\infty ; 2]$.

Для наглядности изобразим график функции и отметим на нем выпуклую часть синим, а вогнутую – красным цветом.

Ответ: график заданной функции будет иметь вогнутость на отрезке $[2; +\infty )$ и выпуклость на отрезке $(-\infty ; 2]$.

Условие: дана функция $y=\frac{8\sqrt{x}}{x-1}$ . Определите, в каких промежутках ее график будет иметь вогнутость, а в каких – выпуклость.

Решение

Для начала выясним область определения функции.

$\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x-1\ne 0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x\ne 1\end{array}\iff x\in [0; 1)\cup (1;+\infty )\right.\right.$

Теперь вычисляем вторую производную:

$$\begin{gathered} y\text{'}={\left(\frac{8\sqrt{x}}{x-1}\right)}^{\text{'}}=8·\frac{{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}·(x-1)-\sqrt{x}·1}{(x-1{)}^2}=-4·\frac{x+1}{\sqrt{x}·(x-1{)}^2} \\ {y}^{\text{'}\text{'}}={\left(-4·\frac{x+1}{\sqrt{x}·(x-1{)}^2}\right)}^{\text{'}}=-4·\frac{1·\sqrt{x}·{\left(x-1\right)}^2-(x+1)·{\left(\sqrt{x}·{\left(x-1\right)}^2\right)}^{\text{'}}}{x·(x-1{)}^4}= \\ =-4·\frac{1·\sqrt{x}·{\left(x-1\right)}^2-\left(x+1\right)·\left({\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}·(x-1{)}^2+\sqrt{x}·2(x-1)\right)}{x·{\left(x-1\right)}^4}= \\ =\frac{2·\left(3x^2+6x-1\right)}{x^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}·(x-1{)}^3} \end{gathered}$$

Область определения второй производной – это множество $x\in (0; 1)\cup (1; +\infty )$. Мы видим, что $x$, равный нулю, будет принадлежать области определения исходной функции, но не области определения второй производной. Эту точку нужно обязательно включить в отрезок вогнутости или выпуклости.

После этого нам надо решить неравенства $f\text{'}\text{'}\left(x\right)\ge 0$  и $f\text{'}\text{'}\left(x\right)\le 0$  на области определения заданной функции. Используем для этого метод интервалов: при $x=-1-\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx -2,1547$ или $x=-1+\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx 0,1547$  числитель $\frac{2·(3x^2+6x-1)}{x^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}·{\left(x-1\right)}^3}$ обращается в $0$, а знаменатель равен $0$ при $x$, равном нулю или единице.

Нанесем получившиеся точки на график и определим знак выражения на всех интервалах, которые войдут в область определения исходной функции. На графике эта область обозначена штриховкой. Если значение положительно, отмечаем интервал плюсом, если отрицательно, то минусом.

Следовательно,

$\left\{\begin{array}{l}f\text{'}\text{'}\left(x\right)\ge 0\\ x\in [0; 1)\cup (1; +\infty )\end{array}\right.\iff x\in \left(0; -1+\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)\cup (1; +\infty )$, а $\left\{\begin{array}{l}f\text{'}\text{'}\left(x\right)\le 0\\ x\in [0; 1)\cup (1; +\infty )\end{array}\right.\iff x\in [-1+\frac{2\sqrt{3}}{3}; 1)$

Включаем ранее отмеченную точку $x=0$ и получаем нужный ответ. График исходной функции будет иметь выпуклость по направлению вниз при $\left[0; -1+\frac{2\sqrt{3}}{3}\right]\cup (1; +\infty )$ , и вверх – при $x\in [-1+\frac{2\sqrt{3}}{3}; 1)$ .

Изобразим  график, отметив на нем выпуклую часть синим, а вогнутую красным цветом. Вертикальная асимптота отмечена черным пунктиром.

Ответ:  График исходной функции будет иметь выпуклость по направлению вниз при $\left[0; -1+\frac{2\sqrt{3}}{3}\right]\cup (1; +\infty )$ , и вверх – при $x\in [-1+\frac{2\sqrt{3}}{3}; 1)$ .

Условие: дана функция $y=\frac{1}{10}·\left(\frac{x^4}{12}-\frac{x^3}{6}-3x^2+2x\right)$ . Определите, где график данной функции будет иметь точки перегиба и выпуклости.

Решение

Указанная функция определена на всем множестве действительных чисел. Считаем первую производную:

$$\begin{gathered} y\text{'}=\frac{1}{10}·{\left(\frac{x^4}{12}-\frac{x^3}{6}-3x^2+2x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{10}·\left(\frac{4x^3}{12}-\frac{3x^2}{6}-6x+2\right)= \\ =\frac{1}{10}·\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-6x+2\right) \end{gathered}$$

Теперь найдем область определения первой производной. Это также множество всех действительных чисел. Значит, равенства $\underset{x\to x_0-0}{\lim }f\text{'}\left(x\right)=\infty$ и $\underset{x\to x_0+0}{\lim }f\text{'}\left(x\right)=\infty$ не могут быть выполнены ни при каких значениях $x_0$.

Вычисляем вторую производную:

$y\text{'}\text{'}==\frac{1}{10}·{\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-6x+2\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{10}·\left(\frac{3x^2}{3}-\frac{2x}{2}-6\right)=\frac{1}{10}·\left(x^2-x-6\right)$

Далее определяем, когда она будет обращаться в $0$:

$$\begin{gathered} y\text{'}\text{'}=0\iff \frac{1}{10}·(x^2-x-6)=0\iff x^2-x-6=0 \\ D=(-1{)}^2-4·1·(-6)=25 \\ {x}_1=\frac{1-\sqrt{25}}{2}=-2, x_2=\frac{1+\sqrt{25}}{2}=3 \end{gathered}$$

Мы нашли абсциссы двух вероятных точек перегиба $–2$ и $3$. Все, что нам осталось сделать – это проверить, в какой точке производная изменит свой знак. Изобразим числовую ось и нанесем на нее данные точки, после чего расставим знаки второй производной на получившихся промежутках.

Дуги показывают направление выпуклости графика в каждом интервале.

Вторая производная меняет знак на противоположный (с плюса на минус)  в точке с абсциссой $3$, проходя через нее слева направо, и также делает это (с минуса на плюс) в точке с абсциссой $3$. Значит, мы можем сделать вывод, что $x=-2$ и $x=3$– это абсциссы точек перегиба графика функции. Им будут соответствовать точки графика $\left(-2; -\frac{4}{3}\right)$ и $\left(3; -\frac{15}{8}\right)$.

Взглянем вновь на изображение числовой оси и получившиеся знаки на интервалах, чтобы сделать выводы о местах вогнутости и выпуклости. Получается, что выпуклость будет расположена на отрезке $\left[-2; 3\right]$ , а вогнутость на отрезках $(-\infty ; -2]$  и $[3; +\infty )$.

Решение задачи наглядно изображено на графике: синий цвет – выпуклости, красный – вогнутость, черный цвет означает точки перегиба.

Ответ: выпуклость будет расположена на отрезке $\left[-2; 3\right]$ , а вогнутость на отрезках $(-\infty ; -2]$  и $[3; +\infty )$.

Условие: вычислите абсциссы всех точек перегиба графика функции $y=\frac{1}{8}·\left(x^2+3x+2\right)·{\left(x-3\right)}^{\frac{3}{5}}$.

Решение

Область определения заданной функции – множество всех действительных чисел. Вычисляем производную:

$$\begin{gathered} y^{\text{'}}={\left(\frac{1}{8}·(x^2+3x+2)·{\left(x-3\right)}^{\frac{3}{5}}\right)}^{\text{'}}= \\ =\frac{1}{8}·\left({\left(x^2+3x+2\right)}^{\text{'}}·(x-3{)}^{\frac{3}{5}}+(x^2+3x+2)·{\left({\left(x-3\right)}^{\frac{3}{5}}\right)}^{\text{'}}\right)= \\ =\frac{1}{8}·\left(\left(2x+3\right)·(x-3{)}^{\frac{3}{5}}+(x^2+3x+2)·\frac{3}{5}·{\left(x-3\right)}^{-\frac{2}{5}}\right)=\frac{13x^2-6x-39}{40·(x-3{)}^{{\displaystyle \frac{2}{5}}}} \end{gathered}$$

В отличие от функции, ее первая производная не будет определена при значении $x$, равном $3$, но:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 3-0}{\lim }{y}^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{13·(3-0{)}^2-6·(3-0)-39}{40·{\left(3-0-3\right)}^{{\displaystyle \frac{2}{5}}}}=+\infty \\ \underset{x\to 3+0}{\lim }{y}^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{13·(3+0{)}^2-6·(3+0)-39}{40·{\left(3+0-3\right)}^{{\displaystyle \frac{2}{5}}}}=+\infty \end{gathered}$$

Это значит, что через данную точку будет проходить вертикальная касательная к графику. Следовательно, $3$ может быть абсциссой точки перегиба.

Вычисляем вторую производную. Также находим область ее определения и точки, в которых она обращается в $0$:

$$\begin{gathered} y^{\text{'}\text{'}}={\left(\frac{13x^2-6x-39}{40·{\left(x-3\right)}^{{\displaystyle \frac{2}{5}}}}\right)}^{\text{'}}= \\ =\frac{1}{40}·\frac{{\left(13x^2-6x-39\right)}^{\text{'}}·(x-3{)}^{{\displaystyle \frac{2}{5}}}-\left(13x^2-6x-39\right)·{\left({\left(x-3\right)}^{{\displaystyle \frac{2}{5}}}\right)}^{\text{'}}}{(x-3{)}^{{\displaystyle \frac{4}{5}}}}= \\ =\frac{1}{25}·\frac{13x^2-51x+21}{(x-3{)}^{{\displaystyle \frac{7}{5}}}}, x\in (-\infty ; 3)\cup (3; +\infty ) \\ y\text{'}\text{'}\left(x\right)=0\iff 13x^2-51x+21=0 \\ D=(-51{)}^2-4·13·21=1509 \\ {x}_1=\frac{51+\sqrt{1509}}{26}\approx 3,4556, x_2=\frac{51-\sqrt{1509}}{26}\approx 0,4675 \end{gathered}$$

У нас получились еще две возможные точки перегиба. Нанесем их все на числовую прямую и разметим получившиеся интервалы знаками:

Перемена знака будет происходить при прохождении через каждую указанную точку, значит, они все являются точками перегиба.

Ответ: Изобразим график функции, отметив вогнутости красным, выпуклости синим и точки перегиба – черным:

Условие: задана функция $y=\frac{1}{60}{x}^3-\frac{3}{20}{x}^2+\frac{7}{10}x-\frac{2}{5}$ . Определите, будет ли график функции иметь перегиб в точке $\left(3; \frac{4}{5}\right)$.

Решение

Первое, что нужно сделать, – это убедиться в том, что данная точка вообще будет принадлежать графику этой функции.

$y\left(3\right)=\frac{1}{60}·3^3-\frac{3}{20}·3^2-\frac{2}{5}=\frac{27}{60}-\frac{27}{20}+\frac{21}{10}-\frac{2}{5}=\frac{9-27+42-8}{20}=\frac{4}{5}$

Заданная функция определена для всех аргументов, являющихся действительными числами. Вычислим первую и вторую производные:

$$\begin{gathered} y^{\text{'}}={\left(\frac{1}{60}{x}^3-\frac{3}{20}{x}^2+\frac{7}{10}x-\frac{2}{5}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{20}{x}^2-\frac{3}{10}x+\frac{7}{10} \\ y\text{'}\text{'}={\left(\frac{1}{20}{x}^2-\frac{3}{10}x+\frac{7}{10}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{10}x-\frac{3}{10}=\frac{1}{10}(x-3) \end{gathered}$$

Мы получили, что вторая производная будет обращаться в $0$, если $x$ будет равен $0$. Значит, необходимое условие перегиба для этой точки будет выполнено. Теперь используем второе условие: найдем третью производную и выясним, будет ли она обращаться в $0$ при $3$:

$y\text{'}\text{'}\text{'}={\left(\frac{1}{10}(x-3)\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{10}$

Третья производная не будет обращаться в нуль ни при одном значении x. Поэтому можно заключить, что данная точка будет точкой перегиба графика функции.

Ответ: Покажем решение на иллюстрации:

Условие: дана функция $y=(x-3{)}^5+1$. Вычислите точки перегиба ее графика.

Решение

Данная функция является определенной на всем множестве действительных чисел. Вычисляем производную: $y^{\text{'}}=\left(\right(x-3{)}^5+1{)}^{\text{'}}=5·{\left(x-3\right)}^4$ . Поскольку она тоже будет определена для всех действительных значений аргумента, то в любой точке ее графике будет существовать невертикальная касательная.

Теперь вычислим, при каких значениях вторая производная будет обращаться в $0$:

$$\begin{gathered} y^{\text{'}\text{'}}={\left(5·(x-3{)}^4\right)}^{\text{'}}=20·{\left(x-3\right)}^3 \\ {y}^{\text{'}\text{'}}=0\iff x-3=0\iff x=3 \end{gathered}$$

Мы получили,  что при $x=3$ график функции может иметь точку перегиба. Используем третье условие, чтобы подтвердить это:

$$\begin{gathered} y^{\text{'}\text{'}\text{'}}={\left(20·(x-3{)}^3\right)}^{\text{'}}=60·{\left(x-3\right)}^2, y\text{'}\text{'}\text{'}\left(3\right)=60·{\left(3-3\right)}^2=0 \\ {y}^{\left(4\right)}={\left(60·(x-3{)}^2\right)}^{\text{'}}=120·(x-3), y^{\left(4\right)}\left(3\right)=120·(3-3)=0 \\ {y}^{\left(5\right)}={\left(120·(x-3)\right)}^{\text{'}}=120, y^{\left(5\right)}\left(3\right)=120\ne 0 \end{gathered}$$

Имеем $n=4$ по третьему достаточному условию. Это четное число, значит, $x=3$ будет абсциссой точки перегиба и ей соответствует точка графика функции $(3;1)$.

Ответ: Вот график данной функции с отмеченными выпуклостями, вогнутостями и точкой перегиба: