Квадратные неравенства, примеры, решения

В данном разделе мы собрали информацию о квадратных неравенствах и основных подходах к их решению. Закрепим материал разбором примеров.

Что представляет собой квадратное неравенство

Давайте посмотрим, как по виду записи различать неравенства различных видов и выделять среди них квадратные.

Вторым названием квадратных уравнений является название «неравенства второй степени». Объяснить наличие второго названия можно следующим образом. В левой части неравенства находится многочлен второй степени – квадратный трехчлен. Применение к квадратным неравенствам термина «квадратичные неравенства» некорректен, так как квадратичными  являются функции, которые задаются уравнениями вида $y=a·x^2+b·x+c$.

Приведем пример квадратного неравенства:

Или вот такое неравенство:

  Покажем несколько примеров квадратных неравенств:

Особое внимание нужно обратить на тот факт, что коэффициент при $x^2$ считается неравным нулю. Объясняется это тем, что иначе мы получим линейное неравенство вида $b·x+c>0$, так как квадратная переменная при умножении на ноль сама станет равной нулю. При этом, коэффициенты $b$ и c могут быть равны нулю как вместе, так и по отдельности.

Способы решения квадратных неравенств

Основным метода три:

Графический метод

Метод предполагает проведение построения и анализа графика квадратичной функции $y=a·x^2+b·x+c$ для квадратных неравенств $a·x^2+b·x+c<0 (\le , >, \ge )$. Решением квадратного неравенства являются промежутки или интервалы, на которых указанная функция принимает положительные и отрицательные значения.

Метод интервалов

Решить квадратное неравенство с одной переменной можно методом интервалов. Метод применим для решения любого вида неравенств, не только квадратных. Суть метода в том, чтобы определить знаки промежутков, на которые разбивается ось координат нулями трехчлена $a·x^2+b·x+c$ при их наличии.

Для неравенства $a·x^2+b·x+c<0$ решениями являются промежутки со знаком минус, для неравенства $a·x^2+b·x+c>0$, промежутки со знаком плюс. Если мы имеем дело с нестрогими неравенствами, то решением становится интервал, который включает точки, которые соответствуют нулям трехчлена.

Выделение квадрата двучлена

Принцип выделения квадрата двучлена в левой части квадратного неравенства состоит в выполнении равносильных преобразований, которые позволяют перейти к решению равносильного неравенства вида $(x-p{)}^2<q (\le , >, \ge )$, где $p$ и $q$ – некоторые числа.

Неравенства, сводящиеся к квадратным

К квадратным неравенствам с помощью равносильных преобразований можно прийти от неравенств других видов. Сделать это можно разными способами. Например, перестановкой в данном неравенства слагаемых или переносом слагаемых из одной части в другую.

Приведем пример. Рассмотрим равносильное преобразование неравенства $5\le 2·x-3·x^2$. Если мы перенесем все слагаемые из правой части в левую, то получим квадратное неравенство вида $3·x^2-2·x+5\le 0$.

Примером неравенств, которые часто сводятся к квадратным, могут служить иррациональные и логарифмические неравенства. Так, например, неравенство $\sqrt{2·x^2+5}<\sqrt{x^2+6·x+14}$

равносильно квадратному неравенству $x^2-6·x-9<0$, а логарифмическое неравенство ${\log }_3(x^2+x+7)\ge 2$  – неравенству $x^2+x-2\ge 0$.