Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.
Взаимно обратные функции, основные определения, свойства, графики
Содержание:
- 27 сентября 2023
- 8 минут
- 2834
Понятие обратной функции и ее определение в алгебре
Допустим, что у нас есть некая функция , которая является строго монотонной (убывающей или возрастающей) и непрерывной на области определения ; область ее значений , а на интервале при этом у нас будет определена функция с областью значений . Вторая функция также будет называться непрерывной и строго монотонной. По отношению к она будет обратной функцией. То есть мы можем говорить об обратной функции тогда, когда на заданном интервале будет либо убывать, либо возрастать.
Две этих функции, и , будут взаимно обратными.
Обратная функция – это что такое? Дадим определение взаимно обратимой функции (что такое обратимая функция - определение).
Для чего вообще нам нужно понятие обратных функций?
Это нужно нам для решения уравнений , которые записываются как раз с помощью этих выражений. Также понятие особенностей обратных функций помогают в решении операций по извлечению n-ой степени (она обратна возведению в степень).
На самом деле это не является чем-то сложным. Онлайн, как и в нашем материале, вы можете найти много примеров обратной функции, которые помогут в этом убедиться.
Важно знать, что любая функция y = y (x) – это определенное правило, которое определяет соответствие между двумя значениями: x и y. К примеру, функция y = x² ставит соответственно каждому действительному числу его в квадрат. Можно сделать определенную таблицу, в которой будут располагаться значения этой функции для целых аргументов.
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
y = x² | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
Как найти функцию обратную данной
Как найти обратную функцию?
Допустим, нам нужно найти решение уравнения . Его решениями будут все точки:
Обратными по отношению друг к другу будут, например, функции арккосинуса и косинуса.
Разберем несколько задач на нахождение функций, обратных заданным. Вот несколько примеров обратной функции.
Обе взаимообратные функции можно отобразить на графике следующим образом:
На графике мы находим симметричность обоих графиков относительно . Эта прямая является биссектрисой первого и третьего квадрантов. Что это позволило нам доказать? Получилось доказательство одного из свойств взаимно обратных функций, о котором мы поговорим далее.
Возьмем онлайн-пример, в котором нужно найти логарифмическую функцию, обратную заданной показательной.
Графически обе функции будут выглядеть или иметь следующее отображение:
Также взаимно обратные функции можно рассматривать на примере теорем.
Предположим, мы имеем определенную, с возрастающей или убывающей монотонностью, а также непрерывную в определенном промежутке x функцию y = f(x). Значит, в промежутке значений y этой функции существует и обратная функция. Она также монотонно убывает или возрастает. Также ее можно определить как непрерывную (в промежутке y).
Основные свойства взаимно обратных функций
В этом пункте мы перечислим основные свойства обратимых функций и . Какими же свойствами обладают взаимообратные функции?
Советуем внимательно отнестись к понятиям области определения и области значения функций и никогда их не путать, так как это не одно и тоже даже исходя из названий. Допустим, что у нас есть две взаимно обратные функции и . Согласно первому свойству, . Данное равенство будет верным только в случае положительных значений , а для отрицательных логарифмов не определен, поэтому не спешите записывать, что . Обязательно проверьте и добавьте характеристику, что это верно только при положительном .
А вот равенство будет верным при любых действительных значениях .
Не забывайте про этот момент, особенно если приходится работать с тригонометрическими и обратными тригонометрическими функциями. Так, , потому что область значений арксинуса и в нее не входит. Верной будет запись
А вот – верное равенство, т.е. при и при . Всегда будьте внимательны с областью значений и областью определений обратных функций!
Графики взаимно обратных функций
- Основные взаимно обратные функции: степенные
Если у нас есть степенная функция , то при степенная функция также будет обратной ей. Замена букв будет давать соответственно и .
Сделаем график. На графике они будут выглядеть следующим образом (случаи с положительным и отрицательным коэффициентом a):
- Основные взаимно обратные функции: показательные и логарифмические
Возьмем a, которое будет положительным числом, не равным .
Узнаем, какими будут графики для функций с и будут выглядеть так:
- Основные взаимно обратные функции: тригонометрические и обратные тригонометрические
Если нам нужно построить график главной ветви синуса и арксинуса, он будет выглядеть следующим образом (показан выделенной светлой областью):
Если построить график главной ветви косинуса и арккосинуса, то он будет выглядеть так:
Если строить график главной ветви арктангенса и тангенса, то он будет таким:
График главной ветви арккотангенса и котангенса будет таким:
В случае построения обратных ветвей, отличные от главных, то обратную тригонометрическую функцию мы сдвигаем вдоль оси на нужное число периодов. Так, если требуется обратная функция для ветви тангенса на , то мы можем сдвинуть ее на величину вдоль оси абсцисс. График будет представлять собой ветвь арктангенса, которая сдвинута на вдоль оси ординат.
Это все свойства обратных функций, о которых мы хотели бы вам рассказать.
Навигация по статьям