Геометрический смысл определенного интеграла

30 марта 2023
8 минут
3 032

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Вычисление площади является основным в теории площадей. Возникает вопрос о ее нахождении, когда фигура имеет неправильную форму или необходимо прибегнуть к ее вычислению через интеграл.

Данная статья рассказывает о вычислении площади криволинейной трапеции по геометрическому смыслу. Это позволяет выявлять связь между интегралом и площадью криволинейной трапеции. Если дана функция $f (x)$ , причем непрерывная на интервале $[a; b]$ , знак перед выражением не меняется.

Криволинейная трапеция

Определение 1

Фигура, обозначенная как $G$ , ограничена линиями вида $y = f (x), y = 0, x = a$ и $x = b$ , называется криволинейной трапецией. Она принимает обозначение $S (G)$ .

Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Криволинейная трапеция

Для вычисления криволинейно трапеции необходимо разбить отрезок $[a; b]$ на количество $n$ частей $[x_{i - 1}; x_{i}], i = 1, 2, . . ., n$ с точками, определенными на $a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < . . . < x_{n - 1} < x_{n} = b$ , причем дать обозначение $λ = \underset{i = 1, 2, . . ., n}{m a x} (x_{i} - x_{i - 1})$ с точками $x_{i}, i = 1, 2, . . ., n - 1$ . Необходимо выбрать так, чтобы $λ \to 0$ при $n \to + \infty$ , тогда фигуры, которые соответствуют нижней и верхней частям Дарбу, считаются входящей $Р$ и объемлющей $Q$ многоугольными фигурами для $G$ . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Криволинейная трапеция

Отсюда имеем, что $P \subset G \subset Q$ , причем при увеличении количества точек разбиения $n$ , получим неравенство вида $S - s < ε$ , где $ε$ является малым положительным числом, $s$ и $S$ являются верхними и нижними суммами Дабру из отрезка $[a; b]$ . Иначе это запишется как $\lim_{λ \to 0} (S - s) = 0$ . Значит, при обращении к понятию определенного интеграла Дарбу, получим, что $\lim_{λ \to 0} S = \lim_{λ \to 0} s = S (G) = \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Из последнего равенства получим, что определенный интеграл вида $\int_{a}^{b} f (x) d x$ является площадью криволинейной трапеции для заданной непрерывной функции вида $y = f (x)$ . Это и есть геометрический смысл определенного интеграла.

При вычислении $\int_{a}^{b} f (x) d x$ получим площадь искомой фигуры, которая ограничивается линиями $y = f (x), y = 0, x = a$ и $x = b$ .

Замечание: Когда функция $y = f (x)$ является неположительной из отрезка $[a; b]$ , тогда получаем, что площадь криволинейной трапеции вычисляется, исходя из формулы $S (G) = - \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Замечание: Для нахождения площади криволинейной трапеции не всегда можно построить фигуру. Тогда решение выполняется следующим образом. При известной функции $f (x)$ неотрицательной или неположительной на отрезке $[a; b]$ , применяется формула вида $S (G) = \int_{a}^{b} f (x) d x$ или $S (G) = - \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Если фигуры ограничены линиями вида $y = c, y = d, x = 0$ и $x = g (y)$ , а функция равна $x = g (y)$ , причем непрерывна и имеет неменяющийся знак на промежутке $[c; d]$ , то их называют криволинейными тарпециями. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Криволинейная трапеция

Геометрический смысл определенного интеграла

Определение 2

Геометрический смысл определенного интеграла $\int_{c}^{d} g (y) d y$ заключается в том, что его значением является площадь криволинейной трапеции для непрерывной и неотрицательной функции вида $x = g (y)$ , расположенной на интервале $[c; d]$ .

Справедливо считать, что $S (G) = - \int_{c}^{d} g (y) d y$ имеет место быть для непрерывной и неположительной функции $x = g (x)$ , расположенном на отрезке $[c; d]$ .

Итоги

В данной статье мы выявили геометрический смысл определенного интеграла и изучили связь с площадью криволинейной трапеции. Отсюда следует, что мы имеем возможность вычислять площадь сложных фигур при помощи вычисления интеграла для криволинейной трапеции. В разделе нахождения площадей и фигур, которые ограниченными линиями $y = f (x), x = g (y)$ , данные примеры рассмотрены подробно.