Геометрический смысл определенного интеграла

Вычислить площадь фигуры, которая ограничена заданными линиями вида $y=2·e^{\frac{x}{3}}, y=0, x=-2, x=3$.

Решение

Для того, чтобы решить, необходимо для начал построить фигуру на плоскости, где имеется прямая $y=0$, совпадающая с $Ох$, с прямыми  вида $x = -2$ и $x = 3$, параллельными оси $оу$, где кривая $y=2·e^{\frac{x}{3}}$ строится при помощи геометрических преобразований графика функции $y=e^x$. Построим график.

Отсюда видно, что необходимо найти площадь криволинейной трапеции. Вспоминая геометрический смысл интеграла, получаем, что искомая площадь и будет выражена определенным интегралом, который необходимо разрешить. Значит, необходимо применить формулу $S\left(G\right)={\int }_{-2}^{3}2·e^{\frac{x}{3}}dx$. Такой неопределенный интеграл вычисляется, исходя из формулы Ньютона-Лейбница

$S\left(G\right)={\int }_{-2}^{3}2·e^{\frac{x}{3}}dx={\overline{)\left(6·e^{\frac{x}{3}}\right)}}_{-2}^3=6·e^{\frac{3}{3}}-6·e^{\frac{-2}{3}}=6·\left(e-e^{-\frac{2}{3}}\right)$

Ответ: $S\left(G\right)=6·\left(e-e^{-\frac{2}{3}}\right)$

Произвести вычисление площади, ограниченной линиями вида $y=\frac{1}{3}(x^2+2x-8), y=0, x=-2, x=4$.

Решение

Для построения этой фигуры получим, что $у=0$ совпадает с $Ох$, а $х=-2$ и $х=4$ являются параллельными $Оу$. График функции $y=\frac{1}{3}(x^2+2x-8)=\frac{1}{3}(x+1{)}^2-3$ - это парабола с координатами точки $(-1; 3)$, являющейся ее вершиной с направленными вверх ветвями. Чтобы найти точки пересечения параболы с $Ох$, необходимо вычислить:

$$\begin{gathered} \frac{1}{3}(x^2+2x-8)=0\iff x^2+2x-8=0 \\ D=2^2-4·1·(-8)=36 \\ {x}_1=\frac{-2+\sqrt{36}}{2}=2, x_2=\frac{-2-\sqrt{36}}{2}=-4 \end{gathered}$$

Значит, парабола пересекает ох в точках $(4;0)$ и $(2;0)$. Отсюда получим, что фигура, обозначенная как $G$, получит вид, изображенный на рисунке ниже.

Данная фигура не является криволинейной трапецией, потому как функция вида $y=\frac{1}{3}(x^2+2x-8)$ изменяет знак на промежутке $[-2; 4]$. Фигура $G$ может быть представлена в виде объединений двух криволинейных трапеций $G=G_1\cup G_2$, исходя из свойства аддитивности площади, имеем, что $S\left(G\right)=S\left(G_1\right)+S\left(G_2\right)$. Рассмотрим график, приведенный ниже.

Отрезок $[-2; 4]$ считается неотрицательной областью параболы, тогда отсюда получаем, что площадь будет иметь вид $S\left(G_2\right)={\int }_2^4\frac{1}{3}(x^2+2x-8)dx$. Отрезок $[-2; 2]$ неположительный для функции вида $y=\frac{1}{3}(x^2+2x-8)$, значит, исходя из геометрического смысла определенного интеграла, получим, что $S\left(G_1\right)=-{\int }_{-2}^2\frac{1}{3}(x^2+2x-8)dx$. Необходимо произвести вычисления по формуле Ньютона-Лейбница. Тогда определенный интеграл примет вид:

$$\begin{gathered} S\left(G\right)=S\left(G_1\right)+S\left(G_2\right)=-{\int }_{-2}^2\frac{1}{3}(x^2+2x-8)dx+{\int }_2^4\frac{1}{3}(x^2+2x-8)dx= \\ ={\overline{)-\frac{1}{3}\left(\frac{x^3}{3}+x^2-8x\right)}}_{-2}^2+{\overline{)\frac{1}{3}\left(\frac{x^3}{3}+x^2-8x\right)}}_2^4= \\ =-\frac{1}{3}\left(\frac{2^3}{3}+2^2-8·2-\left(\frac{{\left(-2\right)}^3}{3}+(-2{)}^2-8·(-2)\right)\right)+ \\ +\frac{1}{3}\left(\frac{4^3}{3}+4^3-8·4-\left(\frac{2^3}{3}+2^2-8·2\right)\right)= \\ =-\frac{1}{3}\left(\frac{8}{3}-12+\frac{8}{3}-20\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{64}{3}-16-\frac{8}{3}+12\right)=\frac{124}{9} \end{gathered}$$

Стоит отметить, что нахождение площади не верно по принципу $$\begin{gathered} S\left(G\right)={\int }_{-2}^4\frac{1}{3}(x^2+2x-8)dx={\overline{)\frac{1}{3}\left(\frac{x^3}{3}+x^2-8x\right)}}_{-2}^4= \\ =\frac{1}{3}\left(\frac{4^3}{3}+4^3-8·4-\left(\frac{{\left(-2\right)}^3}{3}+{\left(-2\right)}^2-8·\left(-2\right)\right)\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{64}{3}-16+\frac{8}{3}-20\right)=-4 \end{gathered}$$

Так как полученное число является отрицательным и представляет собой разность $S\left(G_2\right)-S\left(G_1\right)$.

Ответ: $S\left(G\right)=S\left(G_1\right)+S\left(G_2\right)=\frac{124}{9}$

Произвести вычисление фигуры, которая ограничена осью ординат и линиями $x=4\frac{\ln y}{y}+3, y=1, y=4$.

Решение

Построение графика $x=4\frac{\ln y}{y}+3$ не является простым. Поэтому необходимо решить без чертежа. Вспомним, что функция определена для всех положительных значений $y$. Рассмотрим значения функции, имеющиеся на отрезке $[1; 4]$. По свойствам элементарных функций знаем, что логарифмическая функция возрастает на всей области определения. Тогда не отрезке $[1; 4]$ является неотрицательной. Значит имеем, что $\ln y\ge 0$.  Имеющееся выражение $\frac{\ln y}{y}$, определенное на том же отрезке, неотрицательно. Можно сделать вывод, что функция $x=4\frac{\ln y}{y}+3$ является положительной на интервале, равном $[1; 4]$. Получаем, что фигура на этом интервале является положительной. Тогда ее площадь должна вычисляться по формуле $S\left(G\right)={\int }_1^4\left(4\frac{\ln y}{y}+3\right)dy$.

Необходимо произвести вычисление неопределенного интеграла. Для этого необходимо найти первообразную функции $x=4\frac{\ln y}{y}+3$ и применить формулу Ньютона-Лейбница. Получаем, что

$$\begin{gathered} \int \left(4\frac{\ln y}{y}+3\right)dy=4\int \frac{\ln y}{y}dy+3\int dy=4\int \ln yd(\ln y)+3y= \\ =4\frac{{\ln }^{2}y}{2}+3y+C=2{\ln }^{2}y+3y+C\Rightarrow \\ S\left(G\right)={\int }_1^4\left(4\frac{\ln y}{y}+3\right)dy={\overline{)\left(2{\ln }^2+y+3y\right)}}_1^4= \\ =2{\ln }^{2}4+3·4-(2{\ln }^{2}1+3·1)=8{\ln }^{2}2+9 \end{gathered}$$

Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.

Ответ: $S\left(G\right)=8{\ln }^{2}2+9$