Интегрирование по частям

14 августа 2023
9 минут
3 440

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Метод интегрирования по частям используется тогда, когда нужно упростить имеющийся неопределенный интеграл или свести его к табличному значению. Чаще всего он применяется в случае наличия показательных, логарифмических, прямых и обратных тригонометрических формул и их сочетаний в подынтегральном выражении.

Основная формула, необходимая для использования этого метода, выглядит так:

$\int f (x) d x = \int u (x) d (v (x)) = u (x) v (x) - \int v (x) d (u (x))$

Она означает, что нам нужно сначала представить выражение под интегралом в качестве произведения функции $u (x)$ и дифференциала функции $v (x)$ . После этого мы вычисляем значение функции $v (x)$ каким-либо методом (чаще всего применяется метод непосредственного интегрирования), а полученные выражения подставляем в указанную формулу, сводя исходный интеграл к разности $u (x) v (x) - \int v (x) d (u (x))$ . Полученный в итоге интеграл также можно взять, используя любой метод интегрирования.

Рассмотрим задачу, в которой нужно найти множество первообразных функции логарифма.

Пример 1

Вычислите неопределенный интеграл $\int \ln (x) d x$ .

Решение

Используем метод интегрирования по частям. Для этого берем $\ln (x)$ как функцию $u (x)$ , а остаток подынтегрального выражения – как $d (v (x))$ . В итоге получаем, что $\ln (x) d x = u (x) d (v (x))$ , где $u (x) = \ln (x), d (v (x)) = d x$ .

Дифференциалом функции $u (x)$ является $d (u (x)) - u^{'} (x) d x = \frac{d x}{x}$ , а функция $v (x)$ может быть представлена как $v (x) = \int d (v (x)) = \int d x = x$

Важно: константа $C$ при вычислении функции $v (x)$ будет считаться равной $0$ .

Подставим то, что у нас получилось, в формулу интегрирования по частям:

$\int \ln (x) d x = u (x) v (x) - \int v (x) d (u (x)) = = \ln (x) \cdot x - \int x \cdot \frac{d x}{x} = \ln (x) \cdot x - \int d x = \ln (x) \cdot x - (x + C_{1}) = = x (\ln (x) - 1) + C$

где $C = - C_{1}$

Ответ: $\int \ln (x) d x = x (\ln (x) - 1) + C$ .

Наиболее сложным в применении данного метода является выбор, какую именно часть исходного выражения под интегралом взять в качестве $u (x)$ , а какую – $d (v (x))$ .

Разберем несколько стандартных случаев.

Если у нас в условии стоят интегралы вида $\int P_{n} (x) \cdot e^{a x} d x, \int P_{n} (x) \cdot \sin (a x) d x$ либо $\int P_{n} (x) \cdot \cos (a x) d x$ , где $a$ является коэффициентом, а $P_{n} (x)$ – многочленом степени $n$ , то в качестве функции $u (x)$ нужно взять именно $P_{n} (x)$ .

Пример 2

Найдите множество первообразных функции $f (x) = (x + 1) \cdot \sin (2 x)$ .

Решение

Мы можем взять по частям неопределенный интеграл $\int (x + 1) \cdot \sin (2 x) d x$ . Берем $x + 1$ в качестве $u (x)$ и $\sin (2 x) d x$ в качестве $d (v (x))$ , то есть $d (u (x)) = d (x + 1) = d x$ .

Используя непосредственное интегрирование, получим:

$v (x) = \int \sin (2 x) d x = - \frac{1}{2} \cos (2 x)$

Подставляем в формулу интегрирования по частям:

$\int (x + 1) \cdot \sin (2 x) d x = u (x) v (x) - \int v (x) d (u (x)) = = (x + 1) \cdot (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) d x = = - \frac{1}{2} (x + 1) \cdot \cos (2 x) + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) \cdot d (x) = = - \frac{1}{2} (x + 1) \cdot \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Ответ: $\int (x + 1) \cdot \sin (2 x) d x = - \frac{1}{2} (x + 1) \cdot \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$ .

Пример 3

Вычислите неопределенный интеграл $\int (x^{2} + 2 x) e^{x} d x$ .

Решение

Берем многочлен второго порядка $x^{2} + 2 x$ в качестве $u (x)$ и $d (v (x)) - e^{x} d x$ .

$\int (x^{2} + 2 x) e^{x} d x = \{u (x) = x^{2} + 2 x, d (v (x)) = e^{x} d x d (u (x)) = (2 x + 2) d x, v (x) = \int e^{x} d x = e^{x}\} = = u (x) v (x) - \int v (x) d (u (x)) = (x^{2} + 2 x) e^{x} - \int (2 x + 2) e^{x} d x$

К тому, что у нас получилось, надо опять применить метод интегрирования по частям:

$\int (2 x + 2) e^{x} d x = (x^{2} + 2 x) e^{x} - \int (2 x + 2) e^{x} d x = = \{u (x) = (2 x + 2), d (v (x)) = e^{x} d x d (u (x)) = 2 d x, v (x) = \int e^{x} d x = e^{x}\} = = (x^{2} + 2 x) e^{x} - ((2 x + 2) e^{x} - \int v (x) d (u (x))) = = (x^{2} + 2 x) e^{x} - ((2 x + 2) e^{x} - \int 2 e^{x} d x) = = (x^{2} + 2 x - 2 x - 2) e^{x} + 2 \int e^{x} d x = (x^{2} - 2) e^{x} + 2 e^{x} + C = x^{2} e^{x} + C$

Ответ: $\int (x^{2} + 2 x) e^{x} d x = x^{2} e^{x} + C$ .

Пример 4

Вычислите интеграл $\int x^{3} \cos (\frac{1}{3} x) d x$ .

Решение

Согласно методу интегрирования по частям, берем $u (x) = x^{3}$ и $d (v (x)) = \cos (\frac{1}{3} x) d x$ .

В таком случае $d (u (x)) = 3 x^{2} d x$ и $v (x) = \int \cos (\frac{1}{3} x) d x = 3 \sin (\frac{1}{3} x)$ .

Теперь подставим полученные выражения в формулу:

$\int x^{3} \cos (\frac{1}{3} x) d x = u (x) v (x) - \int v (x) d (u)) = = x^{3} (3 \sin (\frac{1}{3} x)) - \int 3 x^{2} (3 \sin (\frac{1}{3} x)) d x = = 3 x^{3} \sin (\frac{1}{3} x) - 9 \int x^{2} \sin (\frac{1}{3} x) d x$

У нас получился неопределенный интеграл, который опять же нужно взять по частям:

$\int x^{3} \cos (\frac{1}{3} x) d x = 3 x^{3} \sin (\frac{1}{3} x) - 9 \int x^{2} \sin (\frac{1}{3} x) d x = = \{u (x) = x^{2}, d (v (x)) = \sin (\frac{1}{3} x) d x d (u (x)) = 2 x d x, v (x) = \int \sin (\frac{1}{3} x) d x = - 3 \cos (\frac{1}{3} x)\} = = 3 x^{3} \sin (\frac{1}{3} x) - 9 (- 3 x^{2} \cos (\frac{1}{3} x) - \int (- 3 \cos (\frac{1}{3} x)) \cdot 2 x d x) = = 3 x^{3} \sin (\frac{1}{3} x) + 27 x^{2} \cdot \cos (\frac{1}{3} x) - 54 \int x \cos (\frac{1}{3} x) d x$

Выполняем частичное интегрирование еще раз:

$\int x^{3} \cos (\frac{1}{3} x) d x = 3 x^{3} \sin (\frac{1}{3} x) + 27 x^{2} \cdot \cos (\frac{1}{3} x) - 54 \int x \cos (\frac{1}{3} x) d x = = \{u (x) = x, d (v (x)) = \cos (\frac{1}{3} x) d x d (u (x)) = d x, v (x) = \int \cos (\frac{1}{3} x) d x = 3 \sin (\frac{1}{3} x)\} = = 3 x^{3} \sin (\frac{1}{3} x) + 27 x^{2} \cos (\frac{1}{3} x) - 54 (3 x \sin (\frac{1}{3} x) - \int 3 \sin (\frac{1}{3} x) d x) = = (3 x^{3} - 162 x) \sin (\frac{1}{3} x) + 27 x^{2} \cos (\frac{1}{3} x) + 162 \int \sin (\frac{1}{3} x) d x = = (3 x^{3} - 162 x) \sin (\frac{1}{3} x) + 27 x^{2} \cos (\frac{1}{3} x) - 486 \cos (\frac{1}{3} x) + C = = (3 x^{3} - 162 x) \sin (\frac{1}{3} x) + (27 x^{2} - 486) \cos (\frac{1}{3} x) + C$

Ответ: $\int x^{3} \cos (\frac{1}{3} x) d x = (3 x^{3} - 162 x) \sin (\frac{1}{3} x) + (27 x^{2} - 486) \cos (\frac{1}{3} x) + C$ .

Если же у нас в условии стоят интегралы вида $\int P_{n} (x) \cdot \ln (a x) d x, \int P_{n} (x) \cdot a r c \sin (a x) d x, \int P_{n} (x) \cdot a r c \cos (a x) d x, \int P_{n} (x) \cdot a r c t g (a x) d x, \int P_{n} (x) \cdot a r c c t g (a x) d x$

то нам следует брать в качестве $u (x)$ функции $a r c t g (a x), a r c c t g (x), \ln (a x), a r c \sin (a x), a r \cos (a x)$ .

Пример 5

Вычислите множество первообразных функции $(x + 1) \ln (2 x)$ .

Решение

Принимаем $\ln (2 x)$ в качестве $u (x)$ , а $(x + 1) d x$ – в качестве $d (v (x))$ . Получаем:

$d (u (x)) = (\ln (2 x))^{'} d x = \frac{1}{2 x} (2 x)^{'} d x = \frac{d x}{x} v (x) = \int (x + 1) d x = \frac{x^{2}}{2} + x$

Подставим эти выражения в формулу:

$\int (x + 1) \ln (2 x) d x = u (x) v (x) - \int v (x) d (u (x)) = = (\frac{x^{2}}{2} + x) \ln (2 x) - \int (\frac{x^{2}}{2} + x) \frac{d x}{x} = = (\frac{x^{2}}{2} + x) \ln (2 x) - \int (\frac{x}{2} + 1) d x = (\frac{x^{2}}{2} + x) \ln (2 x) - \frac{1}{2} \int x d x - \int d x = = (\frac{x^{2}}{2} + x) \ln (2 x) - \frac{x^{2}}{4} - x + C$

Ответ: $\int (x + 1) \ln (2 x) d x = (\frac{x^{2}}{2} + x) \ln (2 x) - \frac{x^{2}}{4} - x + C$ .

Пример 6

Вычислите неопределенный интеграл $\int x \cdot a r c \sin (2 x) d x$ .

Решение

Решаем, какую часть взять за $u (x)$ , а какую – за $d (v (x))$ . Согласно правилу, приведенному выше, в качестве первой функции нужно взять $a r c \sin (2 x)$ , а $d (v (x)) = x d x$ . Получим:

$d (u (x)) = (a r c \sin (2 x)^{'} d x = \frac{{(2 x)}^{'} d x}{\sqrt{1 - (2 x)^{2}}} = \frac{2 d x}{\sqrt{1 - (2 x)^{2}}}, v (x) = \int x d x = \frac{x^{2}}{2}$

Подставляем значения в формулу:

$\int x \cdot a r c \sin (2 x) d x = u (x) v (x) - \int v (x) d (u (x)) = = \frac{x^{2}}{2} a r c \sin (2 x) - \int \frac{x^{2}}{2} - \frac{2 d x}{\sqrt{1 - (2 x)^{2}}} = \frac{x^{2}}{2} a r c \sin (2 x) - \int \frac{x^{2} d x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

В итоге мы пришли к следующему равенству:

$\int x \cdot a r c \sin (2 x) d x = \frac{x^{2}}{2} a r c \sin (2 x) - \int \frac{x^{2} d x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

Теперь вычислим получившийся в итоге интеграл $\int \frac{x^{2} d x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ :

$\int \frac{x^{2} d x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = \int \frac{x^{2} d x}{\sqrt{4 (\frac{1}{4} - x^{2})}} = \frac{1}{2} \int \frac{x^{2} d x}{\sqrt{\frac{1}{4} - x^{2}}} = - \frac{1}{2} \int \frac{- x^{2} d x}{\sqrt{\frac{1}{4} - x^{2}}} = = - \frac{1}{2} \int \frac{\frac{1}{4} - x^{2} - \frac{1}{4}}{\sqrt{\frac{1}{4} - x^{2}}} d x = - \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{4} - x^{2} d x} + \frac{1}{8} \int \frac{d x}{\sqrt{\frac{1}{4} - x^{2}}} = = - \frac{1}{2} \int \sqrt{\frac{1}{4} - x^{2}} d x + \frac{1}{8} a r c \sin (2 x)$

Здесь можно применить метод интегрирования по частям и получить:

$\int \frac{x^{2} d x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = - \frac{1}{2} \int \sqrt{\frac{1}{4} - x^{2}} d x + \frac{1}{8} a r c \sin (2 x) = = \{u (x) = \sqrt{\frac{1}{4} - x^{2}}, d (v (x)) = d x d (u (x)) = \frac{{(\frac{1}{4} - x^{2})}^{'} d x}{2 \sqrt{\frac{1}{4} - x^{2}}} = \frac{- x d x}{\sqrt{\frac{1}{4} - x^{2}}}, v (x) = \int d x = x\} = = - \frac{1}{2} (u (x) v (x) - \int v (x) d (u (x))) + \frac{1}{8} a r c \sin (2 x) = = - \frac{1}{2} (x \sqrt{\frac{1}{4} - x^{2}} - \int \frac{- x^{2} d x}{\sqrt{\frac{1}{4} - x^{2}}}) + \frac{1}{8} a r c \sin (2 x) = = - \frac{1}{2} x \sqrt{\frac{1}{4} - x^{2}} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2} d x}{\sqrt{\frac{1}{4} - x^{2}}} + \frac{1}{8} a r c \sin (2 x) = = - \frac{1}{2} x \sqrt{\frac{1}{4} - x^{2}} - \int \frac{x^{2} d x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} + \frac{1}{8} a r c \sin (2 x)$

Теперь наше равенство выглядит так:

$\int \frac{x^{2} d x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = - \frac{1}{2} x \sqrt{\frac{1}{4} - x^{2}} - \int \frac{x^{2} d x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} + \frac{1}{8} a r c \sin (2 x)$

Мы видим, что интеграл справа аналогичен тому, что получился слева. Переносим его в другую часть и получаем:

$2 \int \frac{x^{2} d x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = - \frac{1}{2} x \sqrt{\frac{1}{4} - x^{2}} + \frac{1}{8} a r c \sin (2 x) + C_{1} \Rightarrow \frac{x^{2} d x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = - \frac{1}{4} x \sqrt{\frac{1}{4} - x^{2}} + \frac{1}{16} a r c \sin (2 x) + C_{2} \frac{x^{2} d x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = - \frac{1}{8} x \sqrt{\frac{1}{4} - x^{2}} + \frac{1}{16} a r c \sin (2 x) + C_{2}$

где $C_{2} = \frac{C_{1}}{2}$

Вернемся к исходным переменным:

$\int x \cdot a r c \sin (2 x) d x = \frac{x^{2}}{2} a r c \sin (2 x) - \int \frac{x^{2} d x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = = \frac{x^{2}}{2} a r c \sin (2 x) - (- \frac{1}{8} x \sqrt{1 - 4 x^{2}} + \frac{1}{16} a r c \sin (2 x) + C_{2}) = = \frac{1}{2} (x^{2} - \frac{1}{8}) a r c \sin (2 x) + \frac{1}{8} x \sqrt{1 - 4 x^{2}} + C$

где $С = - С_{2}$

Ответ: $\int x \cdot a r c \sin (2 x) d x = \frac{1}{2} (x^{2} - \frac{1}{8}) a r c \sin (2 x) + \frac{1}{8} x \sqrt{1 - 4 x^{2}} + C$ .

Если же у нас в задаче стоит интеграл вида $\int e^{a \cdot x} \cdot \sin (b x) d x$ либо $\int e^{a \cdot x} \cdot \cos (b x) d x$ , то в качестве $u (x)$ может быть выбрана любая функция.

Пример 7

Вычислите неопределенный интеграл $\int e^{x} \cdot \sin (2 x) d x$ .

Решение

$\int e^{x} \sin (2 x) d x = \{u (x) = \sin (2 x), d (v (x)) = e^{x} d x d (u (x)) = 2 \cos (2 x) d x, v (x) = \int e^{x} d x = e^{x}\} = = u (x) v (x) - \int v (x) d (u (x)) = \sin (2 x) e^{x} - \int e^{x} \cdot 2 \cos (2 x) d x = = \sin (2 x) e^{x} - 2 \int e^{x} \cos (2 x) d x = \{u (x) = \cos (2 x), d (v (x)) = e^{x} d x d (u (x)) = - 2 \sin (2 x) d x, v (x) = \int e^{x} d x = e^{x}\} = = \sin (2 x) e^{x} - 2 (\cos (2 x) e^{x} - \int (e^{x} (- 2 \sin (2 x) d x))) = = \sin (2 x) e^{x} = 2 \cos (2 x) e^{x} - 4 \int e^{x} \sin (2 x) d x$

В итоге у нас получится:

$\int e^{x} \sin (2 x) d x = \sin (2 x) e^{x} - 2 \cos (2 x) e^{x} - 4 \int e^{x} \sin (2 x) d x$

Мы видим одинаковые интегралы слева и справа, значит, можем привести подобные слагаемые:

$5 \int e^{x} \sin (2 x) d x = \sin (2 x) e^{x} - 2 \cos (2 x) e^{x} \Rightarrow \int e^{x} \sin (2 x) d x = \frac{1}{5} \sin (2 x) e^{x} - \frac{2}{5} \cos (2 x) e^{x} + C$

Ответ: $\int e^{x} \sin (2 x) d x = \frac{1}{5} \sin (2 x) e^{x} - \frac{2}{5} \cos (2 x) e^{x} + C$

Этот способ решения является стандартным, и справа нередко получается интеграл, который идентичен исходному.

Мы рассмотрели наиболее типовые задачи, в которых можно точно определить, какую часть выражения взять за $d (v (x))$ , а какую за $u (x)$ . В остальных случаях это приходится определять самостоятельно.

Также советуем вам ознакомиться с материалом, посвященным основным методам интегрирования.