Использование рекуррентных формул при интегрировании

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Содержание:

В этой статье мы расскажем, что такое рекуррентные формулы и как использовать их при интегрировании. Мы не будем перечислять все возможные варианты, а лишь сформулируем общий принцип их получения.

Рекуррентные формулы выражают -ный член последовательности через предыдущие члены. Их можно вывести путем преобразования подынтегральной функции с помощью метода интегрирования по частям.

Допустим, мы вычисляем неопределенный интеграл с помощью рекуррентной формулы .

Расчет будет выглядеть следующим образом:

Теперь рассмотрим, как именно была выведена формула . Вспомним основные тригонометрические формулы и запишем:

Получившийся в итоге интеграл можно взять, используя метод интегрирования по частям. Берем в качестве функции , тогда .

Значит,

Теперь вернемся к тому интегралу, что был у нас в начале:

Таким образом, мы получим следующее:

Это и есть то, что нам нужно было доказать.

Другие рекуррентные формулы могут быть выведены точно таким же образом.

Определение 1
  • Чтобы найти интеграл вида , нужно использовать формулу , где  является натуральным числом.
  • Если нам надо вычислить интеграл вида , то для этого нам пригодится формула .
  • Для вычисления интеграла  применяется рекуррентная формула .
  • Чтобы найти интеграл вида , берем формулу .

Пример 1

Вычислите неопределенный интеграл .

Решение

Нам потребуется рекуррентная формула, указанная в пункте . Значение  при этом будет равно трем.

Из таблицы первообразных мы знаем, что , следовательно,

Добавим к нашему списку формул еще одну. Она пригодится в том случае, если нужно выполнить интегрирование простейших дробей четвертого типа.

Она выводится путем преобразования подынтегральной функции с дальнейшим интегрированием по частям.

Получившийся в итоге интеграл мы берем по частям.

Ответ: 

Пример 2

Найдите множество первообразных функции .

Решение

Из условия мы знаем, что , а . Для вычисления берем рекуррентную формулу:

Ответ: 

Подводя итоги статьи, отметим, что применение рекуррентных формул делает интегрирование более быстрым и простым, однако в некоторых случаях можно обойтись без них, воспользовавшись основными методами интегрирования.

Математические онлайн-калькуляторы

Навигация по статьям

Выполненные работы по математике

  • Математика

    Линейная алгебра и геометрия Теория вероятностей

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      17 мая 2012

    • Стоимость:

      600 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    теория вероятности

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      16 апреля 2012

    • Стоимость:

      500 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    теория вероятности

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      16 апреля 2012

    • Стоимость:

      500 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    исследование функции и построение графика

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      27 марта 2012

    • Стоимость:

      200 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    две контрольных работы

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      25 января 2012

    • Стоимость:

      1 100 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    контрольная работа

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      24 января 2012

    • Стоимость:

      700 руб.

    Заказать такую же работу