Метод подведения под знак дифференциала при интегрировании

Метод, описанный в этой статье, основывается на равенстве $\int f (g (x)) d (g (x)) = F (g (x)) + C$ . Его цель – свести подынтегральную функцию к виду $f (g (x)) d (g (x))$ . Для его применения важно иметь под рукой таблицу первообразных и таблицу производных основных элементарных функций, записанную в виде дифференциалов.

Таблица первообразных

d (C) = 0 d (x^{n}) = n x^{n - 1} d x d (\ln (x)) = \frac{d x}{x} d (\log_{n} x) = \frac{d x}{x l n (n)} d (e^{x}) = e^{x} d x d (a^{x}) = a^{x} \ln (a) d x

d (\sin x) = \cos x d x d (\cos x) = - \sin x d x d (t g x) = \frac{d x}{1 + x^{2}} d (c t g) - \frac{d x}{\sin^{2} x}

d (a r c \sin x) = \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d (a r c \cos x) = - \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d (a r c t g x) = \frac{d x}{1 - x^{2}} d (a r c t g x) = - \frac{d x}{1 - x^{2}}

Таблица производных основных элементарных функций

\int x^{p} \cdot d x = \frac{x^{p + 1}}{p + 1} + C, p \neq - 1 \int 0 \cdot d x = C \int a^{x} \cdot d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C, a \neq 1 \int e^{x} \cdot d x = e^{x} + C \int \frac{d x}{x} = \ln |x| + C \int \cos x \cdot d x = \sin x + C \int \sin x \cdot d x = - \cos x + C \int \frac{d x}{\cos^{2} x} = t g x + C \int \frac{d x}{\sin^{2} x} = - c t g x \int \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}} = a r c \sin x + C \int \frac{d x}{1 + x^{2}} = a r c t g x + C

\int \frac{d x}{a^{2} + x^{2}} = \frac{1}{a} a r c t g \frac{x}{a} + C \int \frac{d x}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = a r c \sin \frac{x}{a} + C \int \frac{d x}{x^{2} - a^{2}} = \frac{1}{2 a} \ln |\frac{x - a}{x + a}| + C \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} \pm a}} = \ln |x + \sqrt{x^{2} \pm a}| + C \int \frac{d x}{\sin x} = \ln \frac{1 - \cos x}{\sin x} + C \int \frac{d x}{\cos x} = \ln \frac{1 + \sin x}{\cos x} + C

Пример 1

Найдите неопределенный интеграл $\int \sin (x^{2}) d (x^{2})$ .

Решение

Мы видим, что в условии подынтегральное выражение уже находится под знаком дифференциала. Согласно таблице первообразных, $\int \sin x d x = - \cos x + C$ , значит, $\int \sin (x^{2}) d (x^{2}) = - \cos (x^{2}) + C$ .

Ответ: $\int \sin (x^{2}) d (x^{2}) = - \cos (x^{2}) + C$

Пример 2

Найдите множество первообразных функции $y = \frac{\ln^{3} x}{x}$ .

Решение

Для того чтобы найти ответ, нам потребуется вычислить $\int \frac{\ln^{3} x}{x} d x$ . Решим задачу с помощью метода подведения под знак дифференциала. Согласно таблице производных, $\frac{d x}{x} = d (\ln x)$ , значит, $\int \frac{\ln^{3} x}{x} d x = \int \ln^{3} x d (\ln x)$ . Используя ту же таблицу, можем сразу записать ответ: $\int \frac{\ln^{3} x}{x} d x = \int \ln^{3} x d (\ln x) = \frac{\ln^{4} x}{4} + C$ .

Здесь требуется небольшое пояснение. Мы можем ввести еще одну переменную $z = \ln x$ и получить $\int \frac{\ln^{3} x}{x} d x = \int \ln^{3} x d (\ln x) = \{\ln x = z\} = \int z^{3} d z$ . Тогда, используя таблицу первообразных для степенных функций, можно записать, что $\int z^{3} d z = \frac{z^{4}}{4} + C$ . Теперь вернемся к исходной переменной и получим: $\frac{z^{4}}{4} + C = \{z = \ln x\} = \frac{\ln^{4} x}{4} + C$ .

Ответ: $\int \frac{\ln^{3} x}{x} d x = \frac{\ln^{4} x}{4} + C$ .

С помощью метода подведения под знак дифференциала также можно вычислить первообразные для тангенса и котангенса.

Пример 3

Найдите интеграл тангенса $\int t g x d x$ .

Решение

$\int t g x d x = \int \frac{\sin x d x}{\cos x}$

Поскольку $\sin x d x = - d (\cos x)$ , то можно подвести $\int \frac{\sin x d x}{\cos x} = - \int \frac{d (\cos x)}{\cos x}$ . Берем таблицу первообразных и находим, что $- \int \frac{d (\cos x)}{\cos x} = - (\ln |\cos x| + C_{1}) = - \ln |\cos x| + C$ , где $C = - C_{1}$ .

Ответ: $\int t g x d x = - \ln |\cos x| + C$ .

Самым сложным в применении этого метода является определение той части функции, которую нужно подвести под знак дифференциала. Умение быстро делать это приходит с опытом.

Пример 4

Вычислите неопределенный интеграл $\int \frac{x^{2} d x}{1 + x^{6}}$ .

Решение

Согласно таблице производных, $d (x^{3}) = 3 x^{2} d x$ , значит, $x^{2} d x = \frac{1}{3} d (x^{3})$ . Используем таблицу основных интегралов и находим, что $\int \frac{d x}{1 + x^{2}} = a r c r g x + C$ . Значит, решить задачу методом подведения под знак дифференциала можно так:

$\int \frac{x^{2} d x}{1 + x^{6}} = \int \frac{\frac{1}{3} d (x^{3})}{1 + {(x^{3})}^{2}} = \{x^{3} = t\} = = \frac{1}{3} \int \frac{d t}{1 + t^{2}} = \frac{1}{3} a r c t g (t) + C = \{x^{3} = t\} = \frac{1}{3} a r c t g (x^{3}) + C$

Ответ: $\int \frac{x^{2} d x}{1 + x^{6}} = \frac{1}{3} a r c t g (x^{3}) + C$

Пример 5

Вычислите неопределенный интеграл $\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 4}}$ .

Решение

Начнем с преобразования подкоренного выражения.

$x^{2} + 2 x + 4 = x^{2} + 2 x + 1 - 1 + 4 = x^{2} + 2 x + 1 + 3 = {(x + 1)}^{2} + 3$

После этого можно записать, что $\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 4}} = \int \frac{d x}{\sqrt{{(x + 1)}^{2} + 3}}$ .

Поскольку $d (x + 1) = d x$ , то $\int \frac{d x}{\sqrt{{(x + 1)}^{2} + 3}} = \int \frac{d x (x + 1)}{\sqrt{{(x + 1)}^{2} + 3}} = \{x + 1 = z\} = \int \frac{d z}{\sqrt{z^{2} + 3}}$ .

Посмотрим в таблицу первообразных и найдем ответ:

$\int \frac{d z}{\sqrt{z^{2} + 3}} = \ln |z + \sqrt{z^{2} + 3}| + C = \{z = x + 1\} = \ln |x + 1 + \sqrt{(x + 1)^{2} + 3}| + C = = \ln |x + 1 + \sqrt{x^{2} + 2 x + 4}| + C$

Ответ: $\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 4}} = \ln |x + 1 + \sqrt{x^{2} + 2 x + 4}| + C$

Зачастую предварительные преобразования подынтегрального выражения бывают весьма сложными.

Пример 6

Найдите множество первообразных функции $\int \frac{x d x}{\sqrt{4 x^{2} + 2 x + 1}}$ .

Решение

Начнем также с преобразования выражения под интегралом.

$\int \frac{x d x}{\sqrt{4 x^{2} + 2 x + 1}} = \int \frac{x d x}{\sqrt{4 (x^{2} \frac{1}{2} x + \frac{1}{4})}} = \int \frac{x d x}{2 \sqrt{x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4}}} = = \frac{1}{2} \int \frac{x d x}{\sqrt{x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{16} - \frac{1}{16} + \frac{1}{4}}} = \frac{1}{2} \int \frac{x d x}{\sqrt{{(x + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{3}{16}}}$

Теперь подведем то, что получилось, под знак дифференциала.

Поскольку $d ({(x + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{3}{16}) = {({(x + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{3}{16})}^{'} d x = 2 \cdot {(x + \frac{1}{4})}^{2} d x = 2 x d x + \frac{d x}{2}$ ,то:

$2 x d x = d ({(x + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{3}{16}) - \frac{d x}{2} \Rightarrow x d x = \frac{1}{2} d ({(x + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{3}{16}) - \frac{d x}{4}$

Следовательно, мы можем записать, что:

$\frac{1}{2} \int \frac{x d x}{\sqrt{{(x + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{3}{16}}} = \frac{1}{2} \int \frac{\frac{1}{2} d ({(x + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{3}{16}) - \frac{d x}{4}}{\sqrt{{(x + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{3}{16}}} = = \frac{1}{4} \int \frac{d ({(x + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{3}{16})}{\sqrt{{(x + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{3}{16}}} - \frac{1}{8} \int \frac{d x}{\sqrt{{(x + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{3}{16}}}$

Исходя из $d x = d (x + \frac{1}{4})$ , можно преобразовать выражение так:

$\frac{1}{4} \int \frac{d ({(x + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{3}{16})}{\sqrt{{(x + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{3}{16}}} - \frac{1}{8} \int \frac{d x}{\sqrt{{(x + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{3}{16}}} = = \frac{1}{4} \int \frac{d ({(x + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{3}{16})}{\sqrt{{(x + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{3}{16}}} - \frac{1}{8} \int \frac{d (x + \frac{1}{4})}{\sqrt{{(x + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{3}{16}}} = = \{{(x + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{3}{16} = z x + \frac{1}{4} = t\} = \frac{1}{4} \int z^{- \frac{1}{2}} d z - \frac{1}{8} \int \frac{d t}{\sqrt{t^{2} + \frac{3}{16}}}$

В итоге у нас получились два интеграла, значения которых можно взять из таблицы.

$\frac{1}{4} \int z^{- \frac{1}{2}} d z - \frac{1}{8} \int \frac{d t}{\sqrt{t^{2} + \frac{3}{16}}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{2} + 1} z^{- \frac{1}{2} + 1} - \frac{1}{8} \ln |t + \sqrt{t^{2} + \frac{3}{16}}| + C = = \frac{1}{2} z^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{8} \ln |t + \sqrt{t^{2} + \frac{3}{16}}| + C = = \frac{1}{2} {({(x + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{3}{16})}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{8} \ln |x + \frac{1}{4} + \sqrt{{(x + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{3}{16}}| + C = = \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4}} - \frac{1}{8} \ln |x + \frac{1}{4} + \sqrt{x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4}}| + C$

Ответ: $\int \frac{x d x}{\sqrt{4 x^{2} + 2 x + 1}} = \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4}} - \frac{1}{8} \ln |x + \frac{1}{4} + \sqrt{x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4}}| + C$