Методы интегрирования

Содержание:

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Вычислить первообразные функции мы можем не всегда, но задача на дифференцирование может быть решена для любой функции. Именно поэтому единого метода интегрирования, который можно использовать для любых типов вычислений, не существует.

В рамках данного материала мы разберем примеры решения задач, связанных с нахождением неопределенного интеграла, и посмотрим, для каких типов подынтегральных функций подойдет каждый метод.

Метод непосредственного интегрирования

Основной метод вычисления первообразной функции – это непосредственное интегрирование. Это действие основано на свойствах неопределенного интеграла, и для вычислений нам понадобится таблица первообразных. Прочие методы могут лишь помочь привести исходный интеграл к табличному виду.

Пример 1

Вычислите множество первообразных функции $f (x) = 2^{x} + \frac{3}{2} \cdot \sqrt[3]{5 x + 4}$ .

Решение

Для начала изменим вид функции на $f (x) = 2^{x} + \frac{3}{2} \cdot \sqrt[3]{5 x + 4} = 2^{x} + \frac{3}{2} \cdot {(5 x + 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

Мы знаем, что интеграл суммы функций будет равен сумме этих интегралов, значит:

$\int f (x) d x = \int (\frac{3}{2} \cdot \sqrt[3]{5 x + 4} = 2^{x} + \frac{3}{2} \cdot {(5 x + 4)}^{\frac{1}{3}}) d x = \int \frac{3}{2} \cdot {(5 x + 4)}^{\frac{1}{3}} d x$

Выводим за знак интеграла числовой коэффициент:

$\int f (x) d x = \int 2^{x} d x + \int \frac{3}{2} (5 x + 4)^{\frac{1}{3}} d x = = \int 2^{x} d x + \frac{2}{3} \cdot \int (5 x + 4)^{\frac{1}{3}} d x$

Чтобы найти первый интеграл, нам нужно будет обратиться к таблице первообразных. Берем из нее значение $\int 2^{x} d x = \frac{2 x}{\ln 2} + C_{1}$

Чтобы найти второй интеграл, потребуется таблица первообразных для степенной функции $\int x^{p} \cdot d x = \frac{x^{p + 1}}{p + 1} + C$ , а также правило $\int f (k \cdot x + b) d x = \frac{1}{k} \cdot F (k \cdot x + b) + C$ .

Следовательно, $\int f (x) d x = \int 2^{x} d x + \frac{3}{2} \cdot \int {(5 x + 4)}^{\frac{1}{3}} d x = = \frac{2^{x}}{\ln 2} + C_{1} + \frac{3}{2} \cdot (\frac{3}{20} \cdot (5 x + 4)^{\frac{4}{3}} + C_{2}) = = \frac{2^{x}}{\ln^{2}} + \frac{9}{40} \cdot {(5 x + 4)}^{\frac{4}{3}} + C$

У нас получилось следующее:

$\int f (x) d x = \int 2^{x} d x + \frac{3}{2} \cdot \int {(5 x + 4)}^{\frac{1}{3}} d x = = \frac{2^{x}}{\ln 2} + C_{1} + \frac{3}{2} \cdot (\frac{3}{20} \cdot (5 x + 4)^{\frac{4}{3}} + C_{2}) = = \frac{2^{x}}{\ln 2} + \frac{9}{40} \cdot {(5 x + 4)}^{\frac{4}{3}} + C$

причем $C = C_{1} + \frac{3}{2} C_{2}$

Ответ: $\int f (x) d x = \frac{2^{x}}{\ln 2} + \frac{9}{40} \cdot {(5 x + 4)}^{\frac{4}{3}} + C$

Непосредственному интегрированию с применением таблиц первообразных мы посвятили отдельную статью. Рекомендуем вам ознакомиться с ней.

Метод подстановки

Такой метод интегрирования заключается в выражении подынтегральной функции через новую переменную, введенную специально для этой цели. В итоге мы должны получить табличный вид интеграла или просто менее сложный интеграл.

Этот метод очень полезен, когда нужно интегрировать функции с радикалами или тригонометрические функции.

Пример 2

Вычислите неопределенный интеграл $\int \frac{1}{x \sqrt{2 x - 9}} d x$ .

Решение

Добавим еще одну переменную $z = \sqrt{2 x - 9}$ . Теперь нам нужно выразить $x$ через $z$ :

$z^{2} = 2 x - 9 \Rightarrow x = \frac{z^{2} + 9}{2} \Rightarrow d x = d (\frac{z^{2} + 9}{2}) = {(\frac{z^{2} + 9}{2})}^{'} d z = \frac{1}{2} \cdot2 z d z = z d z$

Далее подставляем полученные выражения в исходный интеграл и получаем:

$\int \frac{d x}{x \sqrt{2 x - 9}} = \int \frac{z d z}{\frac{z^{2} + 9}{2} \cdot z} = 2 \int \frac{d z}{z^{2} + 9}$

Берем таблицу первообразных и узнаем, что $2 \int \frac{d z}{z^{2} + 9} = \frac{2}{3} a r c t g \frac{z}{3} + C$ .

Теперь нам нужно вернуться к переменной $x$ и получить ответ:

$\frac{2}{3} a r c t g \frac{z}{3} + C = \frac{2}{3} a r c t g \frac{\sqrt{2 x - 9}}{3} + C$

Ответ: $\int \frac{1}{x \sqrt{2 x - 9}} d x = \frac{2}{3} a r c t g \frac{\sqrt{2 x - 9}}{3} + C$ .

Если нам приходится интегрировать функции с иррациональностью вида $x^{m} (a + b x^{n})^{p}$ , где значения $m, n, p$ являются рациональными числами, то важно правильно составить выражение для введения новой переменной. Подробнее об этом читайте в статье, посвященной интегрированию иррациональных функций.

Как мы говорили выше, метод подстановки удобно использовать, когда требуется интегрировать тригонометрическую функцию. Например, с помощью универсальной подстановки можно привести выражение к дробно рациональному виду.

Этот метод объясняет правило интегрирования $\int f (k \cdot x + b) d x = \frac{1}{k} \cdot F (k \cdot x + b) + C$ .

Добавляем еще одну переменную $z = k \cdot x + b$ . У нас получается следующее:

$x = \frac{z}{k} - \frac{b}{k} \Rightarrow d x = d (\frac{z}{k} - \frac{b}{k}) = {(\frac{z}{k} - \frac{b}{k})}^{'} d z = \frac{d z}{k}$

Теперь берем получившиеся выражения и добавляем их в интеграл, заданный в условии:

$\int f (k \cdot x + b) d x = \int f (z) \cdot \frac{d z}{k} = \frac{1}{k} \cdot \int f (z) d z = = \frac{1}{k} \cdot (F (z) + C_{1}) = \frac{F (z)}{k} + \frac{C_{1}}{k}$

Если же мы примем $\frac{C_{1}}{k} = C$ и вернемся к исходной переменной $x$ , то у нас получится:

$\frac{F (z)}{k} + \frac{C_{1}}{k} = \frac{1}{k} \cdot F (k x + b) + C$

Метод подведения под знак дифференциала

Это метод основывается на преобразовании подынтегрального выражения в функцию вида $f (g (x)) d (g (x))$ . После этого мы выполняем подстановку, вводя новую переменную $z = g (x)$ , находим для нее первообразную и возвращаемся к исходной переменной.

$\int f (g (x)) d (g (x)) = \{g (x) = z\} = \int f (z) d (z) = = F (z) + C = \{z = g (x)\} = F (g (x)) + C$

Чтобы быстрее решать задачи с использованием этого метода, держите под рукой таблицу производных в виде дифференциалов и таблицу первообразных, чтобы найти выражение, к которому надо будет приводится подынтегральное выражение.

Разберем задачу, в которой нужно вычислить множество первообразных функции котангенса.

Пример 3

Вычислите неопределенный интеграл $\int c t g x d x$ .

Решение

Преобразуем исходное выражение под интегралом с помощью основных тригонометрических формул.

$c t g x d x = \frac{\cos s d x}{\sin x}$

Смотрим в таблицу производных и видим, что числитель можно подвести под знак дифференциала $\cos x \cdot d x = d (\sin x)$ , значит:

$c t g x d x = \frac{\cos x d x}{\sin x} = \frac{d (\sin x)}{\sin x}$ , т.е. $\int c t g x d x = \int \frac{d (\sin x)}{\sin x}$ .

Допустим, что $\sin x = z$ , в таком случае $\int \frac{d (\sin x)}{\sin x} = \int \frac{d z}{z}$ . Согласно таблице первообразных, $\int \frac{d z}{z} = \ln |z| + C$ . Теперь вернемся к исходной переменной $\int \frac{d z}{z} = \ln |z| + C = \ln |\sin x| + C$ .

Все решение в кратком виде можно записать так:

$\int с t g x d x = \int \frac{\cos x d x}{\sin x} = \int \frac{d (\sin x)}{\sin x} = \{s i n x = t\} = = \int \frac{d t}{t} = \ln |t| + C = \{t = \sin x\} = \ln |\sin x| + C$

Ответ: $\int с t g x d x = \ln |\sin x| + C$

Метод подведения под знак дифференциала очень часто используется на практике, поэтому советуем вам прочесть отдельную статью, посвященную ему.

Метод интегрирования по частям

Этот метод основывается на преобразовании подынтегрального выражения в произведение вида $f (x) d x = u (x) \cdot v' (x) d x = u (x) \cdot d (v (x))$ , после чего применяется формула $\int u (x) \cdot d (v (x)) = u (x) \cdot v (x) - \int v (x) \cdot d (u (x))$ . Это очень удобный и распространенный метод решения. Иногда частичное интегрирование в одной задаче приходится применять несколько раз до получения нужного результата.

Разберем задачу, в которой нужно вычислить множество первообразных арктангенса.

Пример 4

Вычислите неопределенный интеграл $\int a r c t g (2 x) d x$ .

Решение

Допустим, что $u (x) = a r c t g (2 x), d (v (x)) = d x$ , в таком случае:

$d (u (x)) = u' (x) d x = {(a r c t g (2 x))}^{'} d x = \frac{2 d x}{1 + 4 x^{2}} v (x) = \int d (v (x)) = \int d x = x$

Когда мы вычисляем значение функции $v (x)$ , прибавлять постоянную произвольную $С$ не следует.

Далее используем формулу интегрирования по частям и получаем:

$\int a r c t g (2 x) d x = u (x) \cdot v (x) - \int v (x) d (u (x)) = = x \cdot a r c t g (2 x) - \int \frac{2 x d x}{1 + 4 x^{2}}$

Получившийся интеграл вычисляем, используя метод подведения под знак дифференциала.

Поскольку $\int a r c t g (2 x) d x = u (x) \cdot v (x) - \int v (x) d (u (x)) = x \cdot a r c t g (2 x) - \int \frac{2 x d x}{1 + 4 x^{2}}$ , тогда $2 x d x = \frac{1}{4} d (1 + 4 x^{2})$ .

Значит

$\int a r c t g (2 x) d x = x \cdot a r c t g (2 x) - \int \frac{2 x d x}{1 + 4 x^{2}} = = x \cdot a r c t g (2 x) - (\frac{1}{4} \ln |1 + 4 x^{2}| + C_{1}) = = x \cdot a r c t g (2 x) - \frac{1}{4} \ln |1 + 4 x^{2}| + C$

Ответ: $\int a r c t g (2 x) d x = x \cdot a r c t g (2 x) - \frac{1}{4} \ln |1 + 4 x^{2}| + C$ .

Главная сложность применения такого метода – это необходимость выбирать, какую часть брать за дифференциал, а какую – за функцию $u (x)$ . В статье, посвященной методу интегрирования по частям, даны некоторые советы по этому вопросу, с которыми следует ознакомиться.

Если нам требуется найти множество первообразных дробно рациональной функции, то нужно сначала представить подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, а потом интегрировать получившиеся дроби. Подробнее см. статью об интегрировании простейших дробей.

Если мы интегрируем степенное выражение вида $\sin^{7} x \cdot d x$ или $\frac{d x}{(x^{2} + a^{2})^{8}}$ , то нам будут полезны рекуррентные формулы, которые могут постепенно понижать степень. Они выводятся с помощью последовательного многократного интегрирования по частям. Советуем прочитать статью «Интегрирование с помощью рекуррентных формул.

Подведем итоги. Для решения задач очень важно знать метод непосредственного интегрирования. Другие методы (подведение под знак дифференциала, подстановка, интегрирование по частям) также позволяют упростить интеграл и привести его к табличному виду.

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.