Метод трапеций

Сегодня мы познакомимся с еще одним методом численного интегрирования, методом трапеций. С его помощью мы будем вычислять определенные интегралы с заданной степенью точности. В статье мы опишем суть метода трапеций, разберем, как выводится формула, сравним метод трапеции с методом прямоугольника, запишем оценку абсолютной погрешности метода. Каждый из разделов мы проиллюстрируем примерами для более глубокого понимания материала.

Метод трапеций

Предположим, что нам нужно приближенно вычислить определенный интеграл $\int_{a}^{b} f (x) d x$ , подынтегральная функция которого $y = f (x)$ непрерывна на отрезке $[a; b]$ . Для этого разделим отрезок $[a; b]$ на несколько равных интервалов длины $h$ точками $a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < . . . < x_{n - 1} < x_{n} = b$ . Обозначим количество полученных интервалов как $n$ .

Найдем шаг разбиения: $h = \frac{b - a}{n}$ . Определим узлы из равенства $x_{i} = a + i \cdot h, i = 0, 1, . . ., n$ .

На элементарных отрезках рассмотрим подынтегральную функцию $[x_{i - 1}; x_{i}], i = 1, 2, . ., n$ .

При бесконечном увеличении $n$ сведем все случаи к четырем простейшим вариантам:

Выделим отрезки $[x_{i - 1}; x_{i}], i = 1, 2, . . ., n$ . Заменим на каждом из графиков функцию $y = f (x)$ отрезком прямой, который проходит через точки с координатами $(x_{i - 1}; f (x_{i - 1}))$ и $(x_{i}; f (x_{i}))$ . Отметим их на рисунках синим цветом.

Возьмем выражение $\frac{f (x_{i - 1}) + f (x_{i})}{2} \cdot h$ в качестве приближенного значения интеграла $\int_{x_{i - 1}}^{x_{i}} f (x) d x$ . Т.е. примем $\int_{x_{i - 1}}^{x_{i}} f (x) d x \approx \frac{f (x_{i - 1}) + f (x_{i})}{2} \cdot h$ .

Давайте посмотрим, почему метод численного интегрирования, который мы изучаем, носит название метода трапеций. Для этого нам нужно выяснить, что с точки зрения геометрии означает записанное приближенное равенство.

Для того, чтобы вычислить площадь трапеции, необходимо умножить полусуммы ее оснований на высоту. В первом случае площадь криволинейной трапеции примерно равна трапеции с основаниями $f (x_{i - 1}), f (x_{i})$ высотой $h$ . В четвертом из рассматриваемых нами случаев заданный интеграл $\int_{x_{i - 1}}^{x} f (x) d x$ приближенно равен площади трапеции с основаниями $- f (x_{i - 1}), - f (x_{i})$ и высотой $h$ , которую необходимо взять со знаком « $-$ ». Для того, чтобы вычислить приближенное значение определенного интеграла $\int_{x_{i - 1}}^{x_{i}} f (x) d x$ во втором и третьем из рассмотренных случаев, нам необходимо найти разность площадей красной и синей областей, которые мы отметили штриховкой на расположенном ниже рисунке.

Подведем итоги. Суть метода трапеций заключается в следующем: мы можем представить определенный интеграл $\int_{a}^{b} f (x) d x$ в виде суммы интегралов вида $\int_{x_{i - 1}}^{x_{i}} f (x) d x$ на каждом элементарном отрезке и в последующей приближенной замене $\int_{x_{i - 1}}^{x_{i}} f (x) d x \approx \frac{f (x_{i - 1}) + f (x_{i})}{2} \cdot h$ .

Формула метода трапеций

Вспомним пятое свойство определенного интеграла: $\int_{a}^{b} f (x) d x = \sum_{i = 1}^{n} \int_{x_{i - 1}}^{x_{i}} f (x) d x$ . Для того, чтобы получить формулу метода трапеций, необходимо вместо интегралов $\int_{x_{i - 1}}^{x_{i}} f (x) d x$ подставить их приближенные значения: $\int_{x_{i - 1}}^{x_{i}} f (x) d x = \sum_{i = 1}^{n} \int_{x_{i - 1}}^{x_{i}} f (x) d x \approx \sum_{i = 1}^{n} \frac{f (x_{i - 1}) + f (x_{i})}{2} \cdot h = = \frac{h}{2} \cdot (f (x_{0}) + f (x_{1}) + f (x_{1}) + f (x_{2}) + f (x_{2}) + f (x_{3}) + . . . + f (x_{n})) = = \frac{h}{2} \cdot (f (x_{0}) + 2 \sum_{i = 1}^{n - 1} f (x_{i}) + f (x_{n})) \Rightarrow \int_{x_{i - 1}}^{x_{i}} f (x) d x \approx \frac{h}{2} \cdot (f (x_{0}) + 2 \sum_{i = 1}^{n - 1} f (x_{i}) + f (x_{n}))$

Определение 1

Формула метода трапеций: $\int_{x_{i - 1}}^{x_{i}} f (x) d x \approx \frac{h}{2} \cdot (f (x_{0}) + 2 \sum_{i = 1}^{n - 1} f (x_{i}) + f (x_{n}))$

Оценка абсолютной погрешности метода трапеций

Оценим абсолютную погрешность метода трапеций следующим образом:

Определение 2

$|δ_{n}| \leq \underset{x \in [a; b]}{m a x} |f'' (x)| \cdot \frac{n \cdot h^{3}}{12} = \underset{x \in [a; b]}{m a x} |f'' (x)| \cdot \frac{{(b - a)}^{3}}{12 n^{2}}$

Графическая иллюстрация метода трапеций

Графическая иллюстрация метода трапеций приведена на рисунке:

Примеры вычислений

Разберем примеры использования метода трапеций для приближенного вычисления определенных интегралов. Особое внимание уделим двум разновидностям заданий:

вычисление определенного интеграла методом трапеций для данного числа разбиения отрезка n;
нахождение приближенного значения определенного интеграла с оговоренной точностью.

При заданном n все промежуточные вычисления необходимо проводить с достаточно высокой степенью точности. Точность вычислений должна быть те выше, чем больше $n$ .

Если мы имеем заданную точность вычисления определенного интеграла, то все промежуточные вычисления необходимо проводить на два и более порядков точнее. Например, если задана точность до $0, 01$ , то промежуточные вычисления мы проводим с точностью до $0, 0001$ или $0, 00001$ . При больших $n$ промежуточные вычисления необходимо проводить с еще более высокой точностью.

Рассмотрим приведенное выше правило на примере. Для этого сравним значения определенного интеграла, вычисленного по формуле Ньютона-Лейбница и полученного по методу трапеций.

Итак, $\int_{0}^{5} \frac{7 d x}{x^{2} + 1} = {7 a r c t g (x)}_{0}^{5} = 7 a r c t g 5 \approx 9, 613805$ .

Пример 1

Вычислим по методу трапеций определенный интеграл $\int_{0}^{5} \frac{7}{x^{2} + 1} d x$ для $n$ равным $10$ .

Решение

Формула метода трапеций имеет вид $\int_{x_{i - 1}}^{x_{i}} f (x) d x \approx \frac{h}{2} \cdot (f (x_{0}) + 2 \sum_{i = 1}^{n - 1} f (x_{i}) + f (x_{n}))$

Для того, чтобы применить формулу, нам необходимо вычислить шаг $h$ по формуле $h = \frac{b - a}{n}$ , определить узлы $x_{i} = a + i \cdot h, i = 0, 1, . . ., n$ , вычислить значения подынтегральной функции $f (x) = \frac{7}{x^{2} + 1}$ .

Шаг разбиения вычисляется следующим образом: $h = \frac{b - a}{n} = \frac{5 - 0}{10} = 0.5$ . Для вычисления подынтегральной функции в узлах $x_{i} = a + i \cdot h, i = 0, 1, . . ., n$ будем брать четыре знака после запятой:

$i = 0 : x_{0} = 0 + 0 \cdot 0.5 = 0 \Rightarrow f (x_{0}) = f (0) = \frac{7}{0^{2} + 1} = 7 i = 1 : x_{1} = 0 + 1 \cdot 0.5 = 0.5 \Rightarrow f (x_{1}) = f (0.5) = \frac{7}{0, 5^{2} + 1} = 5, 6 . . . i = 10 : x_{10} = 0 + 10 \cdot 0.5 = 5 \Rightarrow f (x_{10}) = f (5) = \frac{7}{5^{2} + 1} \approx 0, 2692$

Внесем результаты вычислений в таблицу:

$i$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$x_{i}$	$0$	$0.5$	$1$	$1, 5$	$2$	$2, 5$	$3$	$3, 5$	$4$	$4, 5$	$5$
$f (x_{i})$	$7$	$5, 6$	$3, 5$	$2, 1538$	$1, 4$	$0, 9655$	$0, 7$	$0, 5283$	$0, 4117$	$0, 3294$	$0, 2692$

Подставим полученные значения в формулу метода трапеций: $\int_{0}^{5} \frac{7 d x}{x^{2} + 1} \approx \frac{h}{2} \cdot (f (x_{0}) + 2 \sum_{i = 1}^{n - 1} f (x_{i}) + f (x_{n})) = = \frac{0, 5}{2} \cdot (7 + 2 \cdot (5, 6 + 3, 5 + 2, 1538 + 1, 4 + 0, 9655 + 0, 7 + 0, 5283 + 0, 4117 + 0, 3294) + 0, 2692) = 9, 6117$

Сравним наши результаты с результатами, вычисленными по формуле Ньютона-Лейбница. Полученные значения совпадают до сотых.

Ответ: $\int_{0}^{5} \frac{7 d x}{x^{2} + 1} = 9, 6117$

Пример 2

Вычислим по методу трапеций значение определенного интеграла $\int_{1}^{2} (\frac{1}{12} x^{4} + \frac{1}{3} x - \frac{1}{60}) d x$ с точностью до $0, 01$ .

Решение

Согласно условию задачи $a = 1; b = 2, f (x) = \frac{1}{12} x^{4} + \frac{1}{3} x - \frac{1}{60}; |δ_{n}| \leq 0, 01$ .

Найдем $n$ , которое равно количеству точек разбиения отрезка интегрирования, с помощью неравенства для оценки абсолютной погрешности $|δ_{n}| \leq \underset{x \in [a; b]}{m a x} |f'' (x)| \cdot \frac{(b - a)^{3}}{12 n^{2}}$ . Сделаем мы это следующим образом: мы найдем значения $n$ , для которых будет выполняться неравенство $\underset{x \in [a; b]}{m a x} |f'' (x)| \cdot \frac{(b - a)^{3}}{12 n^{2}} \leq 0, 01$ . При данных $n$ формула трапеций даст нам приближенное значение определенного интеграла с заданной точностью.

Для начала найдем наибольшее значение модуля второй производной функции на отрезке $[1; 2]$ .

$f' (x) = {(\frac{1}{12} x^{4} + \frac{1}{3} x - \frac{1}{60})}^{'} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \Rightarrow f'' (x) = {(\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3})}^{'} = x^{2}$

Вторая производная функция является квадратичной параболой $f'' (x) = x^{2}$ . Из ее свойств мы знаем, что она положительная и возрастает на отрезке $[1; 2]$ . В связи с этим $\underset{x \in [a; b]}{m a x} |f'' (x)| = f'' (2) = 2^{2} = 4$ .

В приведенном примере процесс нахождения $\underset{x \in [a; b]}{m a x} |f'' (x)|$ оказался достаточно простым. В сложных случаях для проведения вычислений можно обратиться к наибольшим и наименьшим значениям функции. После рассмотрения данного примера мы приведем альтернативный метод нахождения $\underset{x \in [a; b]}{m a x} |f'' (x)|$ .

Подставим полученное значение в неравенство $\underset{x \in [a; b]}{m a x} |f'' (x)| \cdot \frac{(b - a)^{3}}{12 n^{2}} \leq 0, 01$

$4 \cdot \frac{(2 - 1)^{3}}{12 n^{2}} \leq 0, 01 \Rightarrow n^{2} \geq \frac{100}{3} \Rightarrow |n| \geq 5, 7735$

Количество элементарных интервалов, на которые разбивается отрезок интегрирования $n$ является натуральным числом. Для поведения вычислений возьмем $n$ равное шести. Такое значение $n$ позволит нам достичь заданной точности метода трапеций при минимуме расчетов.

Вычислим шаг: $h = \frac{b - a}{n} = \frac{2 - 1}{6} = \frac{1}{6}$ .

Найдем узлы $x_{i} = a + i \cdot h, i = 1, 0, . . ., n$ , определим значения подынтегральной функции в этих узлах:

$i = 0 : x_{0} = 1 + 0 \cdot \frac{1}{6} = 1 \Rightarrow f (x_{0}) = f (1) = \frac{1}{12} \cdot 1^{4} + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{60} = 0, 4 i = 1 : x_{1} = 1 + 1 \cdot \frac{1}{6} = \frac{7}{6} \Rightarrow f (x_{1}) = f (\frac{7}{6}) = \frac{1}{12} \cdot {(\frac{7}{6})}^{4} + \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{6} - \frac{1}{60} \approx 0, 5266 . . . i = 6 : x_{10} = 1 + 6 \cdot \frac{1}{6} = 2 \Rightarrow f (x_{6}) = f (2) = \frac{1}{12} \cdot 2^{4} + \frac{1}{3} \cdot 2 - \frac{1}{60} \approx 1, 9833$

Результаты вычислений запишем в виде таблицы:

$i$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$x_{i}$	$1$	$\frac{7}{6}$	$\frac{4}{3}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{5}{3}$	$\frac{11}{6}$	$2$
$f (x_{i})$	$0, 4$	$0, 5266$	$0, 6911$	$0, 9052$	$1, 1819$	$1, 5359$	$1, 9833$

Подставим полученные результаты в формулу трапеций:

$\int_{1}^{2} (\frac{1}{12} x^{4} + \frac{1}{3} x - \frac{1}{60}) d x \approx \frac{h}{2} \cdot (f (x_{0}) + 2 \sum_{i = 1}^{n - 1} f (x_{i}) + f (x_{n})) = = \frac{1}{12} \cdot (0, 4 + 2 \cdot (0, 5266 + 0, 6911 + 0, 9052 + 1, 1819 + 1, 5359) + 1, 9833) \approx 1, 0054$

Для проведения сравнения вычислим исходный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{2} (\frac{1}{12} x^{4} + \frac{1}{3} x - \frac{1}{60}) d x = {(\frac{x^{5}}{60} + \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{60})}_{1}^{2} = 1$

Как видим, полученной точности вычислений мы достигли.

Ответ: $\int_{1}^{2} (\frac{1}{12} x^{4} + \frac{1}{3} x - \frac{1}{60}) d x \approx 1, 0054$

Для подынтегральных функций сложного вида нахождение числа n из неравенства для оценки абсолютной погрешности не всегда просто. В этом случае будет уместен следующий метод.

Обозначим приближенное значение определенного интеграла, которое было получено по методу трапеций для $n$ узлов, как $I_{n}$ . Выберем произвольное число $n$ . По формуле метода трапеций вычислим исходный интеграл при одинарном $(n = 10)$ и удвоенном $(n = 20)$ числе узлов и найдем абсолютную величину разности двух полученных приближенных значений $|I_{20} - I_{10}|$ .

Если абсолютная величина разности двух полученных приближенных значений меньше требуемой точности $|I_{20} - I_{10}| < |δ_{n}|$ , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение $I_{20}$ , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

Если абсолютная величина разности двух полученных приближенных значений больше требуемой точности, то необходимо повторить действия с удвоенным количеством узлов $(n = 40)$ .

Такой метод требует проведения большого объема вычислений, поэтому разумно использовать вычислительную технику для экономии времени.

Решим с помощью приведенного выше алгоритма задачу. С целью экономии времени опустим промежуточные вычисления по методу трапеций.

Пример 3

Необходимо вычислить определенный интеграл $\int_{0}^{2} x e^{x} d x$ по методу трапеций с точностью до $0, 001$ .

Решение

Возьмем $n$ равное $10$ и $20$ . По формуле трапеций получим $I_{10} = 8, 4595380, I_{20} = 8, 4066906$ .

$|I_{20} - I_{10}| = |8, 4066906 - 8, 4595380| = 0, 0528474 > 0, 001$ , что требует продолжения вычислений.

Возьмем $n$ равное $40$ : $I_{40} = 8, 3934656$ .

$|I_{40} - I_{20}| = |8, 3934656 - 8, 4066906| = 0, 013225 > 0, 001$ , что также требует продолжения вычислений.

Возьмем $n$ равное $80$ : $I_{80} = 8, 3901585$ .

$|I_{80} - I_{40}| = |8, 3901585 - 8, 3934656| = 0, 0033071 > 0, 001$ , что требует проведения еще одного удвоения числа узлов.

Возьмем $n$ равное $160$ : $I_{160} = 8, 3893317$ .

$|I_{160} - I_{80}| = |8, 3893317 - 8, 3901585| = 0, 0008268 < 0, 001$

Получить приближенное значение исходного интеграла можно округлив $I_{160} = 8, 3893317$ до тысячных: $\int_{0}^{2} x e^{x} d x \approx 8, 389$ .

Для сравнения вычислим исходный определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{0}^{2} x e^{x} d x = {(e^{x} \cdot (x - 1))}_{0}^{2} = e^{2} + 1 \approx 8, 3890561$ . Требуемая точность достигнута.

Ответ: $\int_{0}^{2} x e^{x} d x \approx 8, 389$

Погрешности

Промежуточные вычисления для определения значения определенного интеграла проводят в большинстве своем приближенно. Это значит, что при увеличении $n$ начинает накапливаться вычислительная погрешность.

Сравним оценки абсолютных погрешностей метода трапеций и метода средних прямоугольников:

$|δ_{n}| \leq \underset{x \in [a; b]}{m a x} f'' (x) \frac{n \cdot h^{3}}{12} = \underset{x \in [a; b]}{m a x} |f'' (x)| \cdot \frac{{(b - a)}^{3}}{12 n^{2}} |δ_{n}| \leq \underset{x \in [a; b]}{m a x} f'' (x) \frac{n \cdot h^{3}}{24} = \underset{x \in [a; b]}{m a x} |f'' (x)| \cdot \frac{{(b - a)}^{3}}{24 n^{2}}$ .

Метод прямоугольников для заданного $n$ при одинаковом объеме вычислительной работы дает вдвое меньшую погрешность. Это делает метод более предпочтительным в тех случаях, когда известны значения функции в средних отрезках элементарных отрезков.

В тех случаях, когда интегрируемые функции задаются не аналитически, а в виде множества значений в узлах, мы можем использовать метод трапеций.

Если сравнивать точность метода трапеций и метода правых и левых прямоугольников, то первый метод превосходит второй в точности результата.