Предел функции: основные понятия и определения

Содержание:

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В этой статье мы расскажем, что из себя представляет предел функции. Сначала поясним общие моменты, которые очень важны для понимания сути этого явления.

Понятие предела

В математике принципиально важным является понятие бесконечности, обозначаемое символом $\infty$ . Его следует понимать как бесконечно большое $(+ \infty)$ или бесконечно малое $(- \infty)$ число. Когда мы говорим о бесконечности, часто мы имеем в виду сразу оба этих ее смысла, однако запись вида $+ \infty$ или $- \infty$ не стоит заменять просто на $\infty$ .

Запись предела функции имеет вид $\lim_{x \to x_{0}} f (x)$ . В нижней части мы пишем основной аргумент $x$ , а с помощью стрелочки указываем, к какому именно значению $x_{0}$ он будет стремиться. Если значение $x_{0}$ является конкретным действительным числом, то мы имеем дело с пределом функции в точке. Если же значение $x_{0}$ стремится к бесконечности (не важно, $\infty, + \infty$ или $- \infty$ ), то следует говорить о пределе функции на бесконечности.

Предел бывает конечным и бесконечным. Если он равен конкретному действительному числу, т.е. $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = A$ , то его называют конечным пределом, если же $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = \infty, \lim_{x \to x_{0}} f (x) = + \infty$ или $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = - \infty$ , то бесконечным.

Если мы не можем определить ни конечное, ни бесконечное значение, это значит, что такого предела не существует. Примером этого случая может быть предел от синуса на бесконечности.

Что такое предел функции

В этом пункте мы объясним, как найти значение предела функции в точке и на бесконечности. Для этого нам нужно ввести основные определения и вспомнить, что такое числовые последовательности, а также их сходимость и расходимость.

Определение 1

Число $A$ является пределом функции $f (x)$ при $x \to \infty$ , если последовательность ее значений будет сходиться к $A$ для любой бесконечно большой последовательности аргументов (отрицательной или положительной).

Запись предела функции выглядит так: $\lim_{x \to \infty} f (x) = A$ .

Определение 2

При $x \to \infty$ предел функции $f (x)$ является бесконечным, если последовательность значений для любой бесконечно большой последовательности аргументов будет также бесконечно большой (положительной или отрицательной).

Запись выглядит как $\lim_{x \to \infty} f (x) = \infty$ .

Перейдем к методу вычисления предела функции в точке. Для этого нам нужно знать, как правильно определить односторонний предел. Это пригодится нам и для того, чтобы найти вертикальные асимптоты графика функции.

Определение 3

Число $B$ является пределом функции $f (x)$ слева при $x \to a$ в том случае, когда последовательность ее значений сходится к данному числу при любой последовательности аргументов функции $x_{n}$ , сходящейся к $a$ , если при этом ее значения остаются меньше $a$ ( $x_{n} < a$ ).

Такой предел на письме обозначается как $\lim_{x \to a - 0} f (x) = B$ .

Теперь сформулируем, что такое предел функции справа.

Определение 4

Число $B$ является пределом функции $f (x)$ справа при $x \to a$ в том случае, когда последовательность ее значений сходится к данному числу при любой последовательности аргументов функции $x_{n}$ , сходящейся к $a$ , если при этом ее значения остаются больше $a$ ( $x_{n} > a$ ).

Этот предел мы записываем как $\lim_{x \to a + 0} f (x) = B$ .

Мы можем найти предел функции $f (x)$ в некоторой точке тогда, когда для нее существуют равные пределы с левой и правой стороны, т.е. $\lim_{x \to a} f (x) = \lim_{x \to a - 0} f (x) = \lim_{x \to a + 0} f (x) = B$ . В случае бесконечности обоих пределов предел функции в исходной точке также будет бесконечен.

Теперь мы разъясним данные определения, записав решение конкретной задачи.

Чтобы более глубоко изучить теорию пределов, советуем вам прочесть статью о непрерывности функции в точке и основных видах точек разрыва.

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.