Интегрирование тригонометрических функций

На практике часто приходится вычислять интегралы трансцендентных функций, которые содержат тригонометрические функции. В рамках этого материала мы опишем основные виды подынтегральных функций и покажем, какие методы можно использовать для их интегрирования.

Интегрирование синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Начнем с методов интегрирования основных тригонометрических функций – $\sin, \cos, t g, c t g$ . Используя таблицу первообразных, сразу запишем, что $\int \sin x d x = - \cos x + C$ , а $\int \cos x d x = \sin x + C$ .

Для вычисления неопределенных интегралов функций $t g$ и $c t g$ можно воспользоваться подведением под знак дифференциала:

$\int t g x d x = \int \frac{\sin x}{\cos x} d x = {d (\cos x) = - \sin x d x} = = - \int \frac{d (\cos x)}{\cos x} = - \ln | \cos x | + C \int c t g x d x = \int \frac{\cos x}{\sin x} d x = {d (\sin x) = \cos x d x} = = \int \frac{d (\sin x)}{\sin x} = \ln | \sin x | + C$

Как же у нас получились формулы $\int \frac{d x}{\sin x} = \ln | \frac{1 - \cos x}{\sin x} | + C$ и $\int \frac{d x}{\cos x} = \ln | \frac{1 + \sin x}{\cos x} | + C$ , взятые из таблицы первообразных? Поясним только один случай, поскольку второй будет понятен по аналогии.

Используя метод подстановки, запишем:

$\int \frac{d x}{\sin x} = {\sin x = t \Rightarrow x = a r c \sin y \Rightarrow d x = \frac{d t}{\sqrt{1 - t^{2}}}} = \frac{d t}{t \sqrt{1 - t^{2}}}$

Здесь нам нужно интегрировать иррациональную функцию. Берем тот же метод подстановки:

$\int \frac{d t}{t \sqrt{1 - t^{2}}} = {1 - t^{2} = z^{2} \Rightarrow t = \sqrt{1 - z^{2}} \Rightarrow d t = \frac{- z d z}{\sqrt{1 - z^{2}}}} = = \int \frac{- z d z}{z \sqrt{1 - z^{2}} \cdot \sqrt{1 - z^{2}}} = \int \frac{d z}{z^{2} - 1} = \int \frac{d z}{(z - 1) (z +)} = = \frac{1}{2} \int \frac{d z}{z - 1} - \frac{1}{2} \int \frac{d z}{z + 1} = \frac{1}{2} \ln | z - 1 | - \frac{1}{2} | z + 1 | + C = = \frac{1}{2} \ln | \frac{z - 1}{z + 1} | + C = \ln \sqrt{| \frac{z - 1}{z + 1} |} + C$

Теперь производим обратную замену $z = \sqrt{1 - t^{2}}$ и $t = \sin x$ :

$\int \frac{d x}{\sin x} = \int \frac{d t}{t \sqrt{1 - t^{2}}} = \ln \sqrt{| \frac{z - 1}{z + 1} |} + C = = \ln \sqrt{| \frac{\sqrt{1 - t^{2}} - 1}{\sqrt{1 - t^{2}} + 1} |} + C = \ln \sqrt{| \frac{\sqrt{1 - \sin^{2} x} - 1}{\sqrt{1 - \sin^{2} x + 1}} |} + C = = \ln \sqrt{| \frac{\cos x - 1}{\cos x + 1} |} + C = \ln \sqrt{| \frac{{(\cos x - 1)}^{2}}{\sin^{2} x} |} + C = = \ln | \frac{\cos x - 1}{\sin x} | + C$

Отдельно разберем случаи с интегралами, которые содержат степени тригонометрических функций, таких, как $\int \sin^{n} x d x, \int \cos^{n} x d x, \int \frac{d x}{\sin^{n} x}, \int \frac{d x}{\cos^{n} x}$ .

О том, как их правильно вычислять, можно прочесть в статье об интегрировании с использованием рекуррентных формул. Если вы знаете, каким образом выведены эти формулы, то легко сможете брать интегралы вроде $\int \sin^{n} x \cdot \cos^{m} x d x$ с натуральными $m$ и $n$ .

Если у нас имеется комбинация тригонометрических функций с многочленами или показательными функциями, то их придется интегрировать по частям. Советуем прочесть статью, посвященную методам нахождения интегралов $\int P_{n} (x) \cdot \sin (a x) d x, \int P_{n} (x) \cdot \cos (a x) d x, \int e^{a \cdot x} \cdot \sin (a x) d x, \int e^{a \cdot x} \cdot \cos (a x) d x$ .

Наиболее сложными являются задачи, в которых подынтегральная функция включает в себя тригонометрические функции с разными аргументами. Для этого нужно пользоваться основными формулами тригонометрии, так что желательно помнить их наизусть или держать запись под рукой.

Пример 1

Найдите множество первообразных функции $y = \frac{\sin (4 x) + 2 \cos^{2} (2 x)}{\sin x \cdot \cos (3 x) + (2 \cos^{2} \frac{x}{2} - 1) \cdot \sin (3 x)}$ .

Решение

Воспользуемся формулами понижения степени и запишем, что $\cos^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$ , а $\cos^{2} (2 x) = \frac{1 + \cos 4 x}{2}$ . Значит,

$y = \frac{\sin (4 x) + 2 \cos^{2} (2 x)}{\sin x \cdot \cos (3 x) + (2 \cos^{2} \frac{x}{2} - 1) \cdot \sin (3 x)} = \frac{\sin (4 x) + 2 \cdot \frac{1 + \cos 4 x}{2}}{\sin x \cdot \cos (3 x) + (2 \cdot \frac{1 + \cos x}{2} - 1) \cdot \sin (3 x)} = = \frac{\sin (4 x) + \cos (4 x) + 1}{\sin x \cdot \cos (3 x) + \cos x \cdot \sin (3 x)}$

В знаменателе у нас стоит формула синуса суммы. Тогда можно записать так:

$y = \frac{\sin (4 x) + \cos (4 x) + 1}{\sin x \cdot \cos (3 x) + \cos x \cdot \sin (3 x)} = \frac{\sin (4 x) + \cos (4 x) + 1}{\sin (4 x)} = = 1 + \frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}$

У нас получилась сумма 3-х интегралов.

$\int \frac{\sin (4 x) + \cos (4 x) + 1}{\sin x \cdot \cos (3 x) + \cos x \cdot \sin (3 x)} d x = = \int d x + \frac{\cos (4 x) d x}{\sin (4 x)} + \int \frac{d x}{\sin (4 x)} = = x + \frac{1}{4} \ln \int \frac{d (\sin (4 x))}{\sin (4 x)} + \frac{1}{4} \ln | \frac{\cos (4 x) - 1}{\sin (4 x)} | = = \frac{1}{4} \ln | \sin (4 x) | + \frac{1}{4} \ln | \frac{\cos (4 x) - 1}{\sin (4 x)} | + C = x + \frac{1}{4} \cdot \ln | \cos (4 x) - 1 | + C$

В некоторых случаях тригонометрические функции, находящиеся под интегралом, можно свести к дробно рациональным выражениям с использованием метода стандартной подстановки. Для начала возьмем формулы, которые выражают $\sin, \cos$ и $t g$ через тангенс половинного аргумента:

$\sin x = \frac{2 t g \frac{x}{2}}{1 + t g^{2} \frac{x}{2}}, \sin x = \frac{1 - t g^{2} \frac{x}{2}}{1 + t g^{2} \frac{x}{2}}, t g x = \frac{2 t g \frac{x}{2}}{1 - t g^{2} \frac{x}{2}}$

Также нам нужно будет выразить дифференциал $d x$ через тангенс половинного угла:

Поскольку $d (t g \frac{x}{2}) = {(t g \frac{x}{2})}^{^{'}} d x = \frac{d x}{2 \cos^{2} \frac{x}{2}}$ , то

$d x = 2 \cos^{2} \frac{x}{2} d (t g \frac{x}{2}) = \frac{2 d (t g \frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} \frac{x}{2}}} = \frac{2 d (t g \frac{x}{2})}{\frac{\cos^{2} \frac{x}{2} + \sin^{2} \frac{x}{2}}{\cos^{2} \frac{x}{2}}} = \frac{2 d (t g \frac{x}{2})}{1 + t g^{2} \frac{x}{2}}$

Ответ: $\sin x = \frac{2 z}{1 + z^{2}}, \cos x \frac{1 - z^{2}}{1 + z^{2}}, t g x \frac{2 z}{1 - z^{2}}, d x = \frac{2 d z}{1 + z^{2}}$ при $z = t g \frac{x}{2}$ .

Пример 2

Найдите неопределенный интеграл $\int \frac{d x}{2 \sin x + \cos x + 2}$ .

Решение

Используем метод стандартной тригонометрической подстановки.

$2 \sin x + \cos x + 2 = 2 \frac{2 z}{1 + z^{2}} + \frac{1 - z^{2}}{1 + z^{2}} = \frac{z^{2} + 4 z + 3}{1 + z^{2}} \Rightarrow \frac{d x}{2 \sin x + \cos x + 2} = \frac{\frac{2 d z}{1 + z^{2}}}{\frac{z^{2} + 4 z + 3}{1 + z^{2}}} = \frac{2 d z}{z^{2} + 4 z + 3}$

Получим, что $\int \frac{d x}{2 \sin x + \cos x + 2} = \frac{2 d z}{z^{2} + 4 z + 3}$ .

Теперь мы можем разложить подынтегральную функцию на простейшие дроби и получить сумму двух интегралов:

$\int \frac{d x}{2 \sin x + \cos x + 2} = 2 \int \frac{2 d z}{z^{2} + 4 z + 3} = 2 \int \frac{1}{2} (\frac{1}{z + 1} - \frac{1}{z + 3}) d z = = \int \frac{d z}{z + 1} - \int \frac{C}{z + 3} = \ln | z + 1 | - \ln | z + 3 | + C = \ln | \frac{z + 1}{z + 3} | + C$

Далее производим обратную замену $z = t g \frac{x}{2}$ :

$\int \frac{d x}{2 \sin x + \cos x + 2} = \ln | \frac{z + 1}{z + 3} | + C = \ln | \frac{t g \frac{x}{2} + 1}{t g \frac{x}{2} + 3} | + C$

Ответ: $\int \frac{d x}{2 \sin x + \cos x + 2} = \ln | \frac{t g \frac{x}{2} + 1}{t g \frac{x}{2} + 3} | + C$

Важно отметить, что те формулы, которые выражают фукнции через тангенс половинного аргумента, не являются тождествами, следовательно, получившееся в итоге выражение $\ln | \frac{t g \frac{x}{2} + 1}{t g \frac{x}{2} + 3} | + C$ – это множество первообразных функции $y = \frac{1}{2 \sin x + \cos x + 2}$ только на области определения.

Для решения других типов задач можно использовать основные методы интегрирования.