Метод подведения под знак дифференциала при интегрировании

Найдите неопределенный интеграл $\int \sin \left(x^2\right)d\left(x^2\right)$.

Решение

Мы видим, что в условии подынтегральное выражение уже находится под знаком дифференциала. Согласно таблице первообразных, $\int \sin xdx=-\cos x+C$, значит, $\int \sin \left(x^2\right)d\left(x^2\right)=-\cos \left(x^2\right)+C$.

Ответ: $\int \sin \left(x^2\right)d\left(x^2\right)=-\cos \left(x^2\right)+C$

Найдите множество первообразных функции $y=\frac{{\ln }^{3}x}{x}$.

Решение 

Для того чтобы найти ответ, нам потребуется вычислить $\int \frac{{\ln }^{3}x}{x}dx$. Решим задачу с помощью метода подведения под знак дифференциала. Согласно таблице производных, $\frac{dx}{x}=d\left(\ln x\right)$, значит, $\int \frac{{\ln }^{3}x}{x}dx=\int {\ln }^{3}xd(\ln x)$. Используя ту же таблицу, можем сразу записать ответ: $\int \frac{{\ln }^{3}x}{x}dx=\int {\ln }^{3}xd(\ln x)=\frac{{\displaystyle {\ln }^4}{\displaystyle }{\displaystyle x}}{4}+C$.

Здесь требуется небольшое пояснение. Мы можем ввести еще одну переменную $z=\ln x$ и получить $\int \frac{{\ln }^{3}x}{x}dx=\int {\ln }^{3}xd(\ln x)=\left\{\ln x=z\right\}=\int z^{3}dz$. Тогда, используя таблицу первообразных для степенных функций, можно записать, что $\int z^{3}dz=\frac{z^4}{4}+C$. Теперь вернемся к исходной переменной и получим: $\frac{z^4}{4}+C=\left\{z=\ln x\right\}=\frac{{\displaystyle {\ln }^4}{\displaystyle x}}{4}+C$.

Ответ: $\int \frac{{\ln }^{3}x}{x}dx=\frac{{\displaystyle {\ln }^{4}x}}{4}+C$.

Найдите интеграл тангенса $\int tg xdx$.

Решение

$\int tg xdx=\int \frac{\sin xdx}{\cos x}$

Поскольку $\sin xdx=-d(\cos x)$, то можно подвести $\int \frac{{\displaystyle \sin xdx}}{\cos x}=-\int \frac{d(\cos x)}{\cos x}$. Берем таблицу первообразных и находим, что $-\int \frac{d(\cos x)}{\cos x}=-\left(\ln \left|\cos x\right|+C_1\right)=-\ln \left|\cos x\right|+C$, где $C=-C_1$.

Ответ: $\int tg xdx=-\ln \left|\cos x\right|+C$.

Вычислите неопределенный интеграл $\int \frac{x^{2}dx}{1+x^6}$.

Решение

Согласно таблице производных, $d\left(x^3\right)=3x^{2}dx$, значит, $x^{2}dx=\frac{1}{3}d\left(x^3\right)$. Используем таблицу основных интегралов и находим, что $\int \frac{dx}{1+x^2}=arcrg x+C$. Значит, решить задачу методом подведения под знак дифференциала можно так:

$$\begin{gathered} \int \frac{x^{2}dx}{1+x^6}=\int \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}d\left(x^3\right)}}{1+{\left(x^3\right)}^2}=\left\{x^3=t\right\}= \\ =\frac{1}{3}\int \frac{dt}{1+t^2}=\frac{1}{3}arctg \left(t\right)+C=\left\{x^3=t\right\}=\frac{1}{3}arctg\left(x^3\right)+C \end{gathered}$$

Ответ: $\int \frac{x^{2}dx}{1+x^6}=\frac{1}{3}arctg\left(x^3\right)+C$

Вычислите неопределенный интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+4}}$.

Решение

Начнем с преобразования подкоренного выражения.

$x^2+2x+4=x^2+2x+1-1+4=x^2+2x+1+3={\left(x+1\right)}^2+3$

После этого можно записать, что $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+4}}=\int \frac{dx}{\sqrt{{\displaystyle {\left(x+1\right)}^2}{\displaystyle +}{\displaystyle 3}}}$.

Поскольку $d(x+1) = dx$, то $\int \frac{dx}{\sqrt{{\left(x+1\right)}^2+3}}=\int \frac{dx(x+1)}{\sqrt{{\displaystyle {\left(x+1\right)}^2}{\displaystyle +}{\displaystyle 3}}}=\left\{x+1=z\right\}=\int \frac{dz}{\sqrt{z^2+3}}$.

Посмотрим в таблицу первообразных и найдем ответ:

$$\begin{gathered} \int \frac{dz}{\sqrt{z^2+3}}=\ln \left|z+\sqrt{z^2+3}\right|+C=\left\{z=x+1\right\}=\ln \left|x+1+\sqrt{(x+1{)}^2+3}\right|+C= \\ =\ln \left|x+1+\sqrt{x^2+2x+4}\right|+C \end{gathered}$$

Ответ: $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+4}}=\ln \left|x+1+\sqrt{x^2+2x+4}\right|+C$

Найдите множество первообразных функции $\int \frac{xdx}{\sqrt{4x^2+2x+1}}$.

Решение

Начнем также с преобразования выражения под интегралом.

$$\begin{gathered} \int \frac{xdx}{\sqrt{4x^2+2x+1}}=\int \frac{xdx}{\sqrt{4\left(x^2{\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}}=\int \frac{xdx}{2\sqrt{x^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{1}{4}}}}= \\ =\frac{1}{2}\int \frac{xdx}{\sqrt{x^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{1}{16}}-{\displaystyle \frac{1}{16}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}}}=\frac{1}{2}\int \frac{xdx}{\sqrt{{\displaystyle {\left(x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2}{\displaystyle +}{\displaystyle \frac{3}{16}}}} \end{gathered}$$

Теперь подведем то, что получилось, под знак дифференциала.

Поскольку $d\left({\left(x+\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{3}{16}\right)={\left({\left(x+\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{3}{16}\right)}^{\text{'}}dx=2·{\left(x+\frac{1}{4}\right)}^{2}dx=2xdx+\frac{dx}{2}$,то:

$$\begin{gathered} 2xdx=d\left({\left(x+\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{3}{16}\right)-\frac{dx}{2}\Rightarrow \\ xdx=\frac{1}{2}d\left({\left(x+\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{3}{16}\right)-\frac{dx}{4} \end{gathered}$$

Следовательно, мы можем записать, что:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}\int \frac{xdx}{\sqrt{{\left(x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{3}{16}}}}=\frac{1}{2}\int \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}d\left({\left(x+\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{3}{16}\right)-\frac{dx}{4}}}{\sqrt{{\displaystyle {\left(x+\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{3}{16}}}}= \\ =\frac{1}{4}\int \frac{d\left({\left(x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{3}{16}}\right)}{\sqrt{{\displaystyle {\left(x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2}{\displaystyle +}{\displaystyle \frac{3}{16}}}}-\frac{1}{8}\int \frac{dx}{\sqrt{{\displaystyle {\left(x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2}{\displaystyle +}{\displaystyle \frac{3}{16}}}} \end{gathered}$$

Исходя из $dx=d\left(x+\frac{1}{4}\right)$, можно преобразовать выражение так:

$$\begin{gathered} \frac{1}{4}\int \frac{d\left({\left(x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{3}{16}}\right)}{\sqrt{{\displaystyle {\left(x+\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{3}{16}}}}-\frac{1}{8}\int \frac{dx}{\sqrt{{\displaystyle {\left(x+\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{3}{16}}}}= \\ =\frac{1}{4}\int \frac{d\left({\left(x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{3}{16}}\right)}{\sqrt{{\left(x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{3}{16}}}}-\frac{1}{8}\int \frac{d\left(x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}{\sqrt{{\left(x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{3}{16}}}}= \\ =\left\{{\left(x+\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{3}{16}=z \\ x+\frac{1}{4}=t\right\}=\frac{1}{4}\int z^{-\frac{1}{2}}dz-\frac{1}{8}\int \frac{dt}{\sqrt{t^2+{\displaystyle \frac{3}{16}}}} \end{gathered}$$

В итоге у нас получились два интеграла, значения которых можно взять из таблицы.

$$\begin{gathered} \frac{1}{4}\int z^{-\frac{1}{2}}dz-\frac{1}{8}\int \frac{dt}{\sqrt{t^2+{\displaystyle \frac{3}{16}}}}=\frac{1}{4}·\frac{1}{-{\displaystyle \frac{1}{2}}+1}{z}^{-\frac{1}{2}+1}-\frac{1}{8}\ln \left|t+\sqrt{t^2+\frac{3}{16}}\right|+C= \\ =\frac{1}{2}{z}^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{8}\ln \left|t+\sqrt{t^2+\frac{3}{16}}\right|+C= \\ =\frac{1}{2}{\left({\left(x+\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{3}{16}\right)}^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{8}\ln \left|x+\frac{1}{4}+\sqrt{{\left(x+\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{3}{16}}\right|+C= \\ =\frac{1}{2}\sqrt{x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}}-\frac{1}{8}\ln \left|x+\frac{1}{4}+\sqrt{x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}}\right|+C \end{gathered}$$

Ответ: $\int \frac{xdx}{\sqrt{4x^2+2x+1}}=\frac{1}{2}\sqrt{x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}}-\frac{1}{8}\ln \left|x+\frac{1}{4}+\sqrt{x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}}\right|+C$