Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik
Метод подведения под знак дифференциала при интегрировании
- 26 октября 2023
- 5 минут
- 4 283
Метод, описанный в этой статье, основывается на равенстве . Его цель – свести подынтегральную функцию к виду . Для его применения важно иметь под рукой таблицу первообразных и таблицу производных основных элементарных функций, записанную в виде дифференциалов.
Таблица первообразных
Таблица производных основных элементарных функций
Найдите неопределенный интеграл .
Решение
Мы видим, что в условии подынтегральное выражение уже находится под знаком дифференциала. Согласно таблице первообразных, , значит, .
Ответ:
Найдите множество первообразных функции .
Решение
Для того чтобы найти ответ, нам потребуется вычислить . Решим задачу с помощью метода подведения под знак дифференциала. Согласно таблице производных, , значит, . Используя ту же таблицу, можем сразу записать ответ: .
Здесь требуется небольшое пояснение. Мы можем ввести еще одну переменную и получить . Тогда, используя таблицу первообразных для степенных функций, можно записать, что . Теперь вернемся к исходной переменной и получим: .
Ответ: .
С помощью метода подведения под знак дифференциала также можно вычислить первообразные для тангенса и котангенса.
Найдите интеграл тангенса .
Решение
Поскольку , то можно подвести . Берем таблицу первообразных и находим, что , где .
Ответ: .
Самым сложным в применении этого метода является определение той части функции, которую нужно подвести под знак дифференциала. Умение быстро делать это приходит с опытом.
Вычислите неопределенный интеграл .
Решение
Согласно таблице производных, , значит, . Используем таблицу основных интегралов и находим, что . Значит, решить задачу методом подведения под знак дифференциала можно так:
Ответ:
Вычислите неопределенный интеграл .
Решение
Начнем с преобразования подкоренного выражения.
После этого можно записать, что .
Поскольку , то .
Посмотрим в таблицу первообразных и найдем ответ:
Ответ:
Зачастую предварительные преобразования подынтегрального выражения бывают весьма сложными.
Найдите множество первообразных функции .
Решение
Начнем также с преобразования выражения под интегралом.
Теперь подведем то, что получилось, под знак дифференциала.
Поскольку ,то:
Следовательно, мы можем записать, что:
Исходя из , можно преобразовать выражение так:
В итоге у нас получились два интеграла, значения которых можно взять из таблицы.
Ответ:
Советуем вам также прочесть статью про другие методы интегрирования.