Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik
Непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных (таблицы неопределенных интегралов)
- 27 августа 2023
- 5 минут
- 852
Непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных (таблицы неопределенных интегралов)
Таблица первообразных
Найти первообразную по известному дифференциалу функции мы можем в том случае, если используем свойства неопределенного интеграла. Из таблицы основных элементарных функций, используя равенства ∫d(F(x))=∫F'(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C и ∫k·f(x)dx=k·∫f(x)dx можно составить таблицу первообразных.
Запишем таблицу производных в виде дифференциалов.
Постоянная y=C (C)'=0 Степенная функция y=xp. (xp)'=p·xp-1 | Постоянная y=C d(C)=0·dx Степенная фунция y=xp. d(xp)=p·xp-1·dx |
Показательная функция y=ax. (ax)'=ax·ln a В частности при a=e имеем y=ex (ex)'=ex | Показательная функция y=ax. d(ax)=ax·ln α·dx В частности при a=e имеем y=ex d(ex)=ex·dx |
Логарифмические функия y=logax. (logax)'=1x·ln a В частности при a=e имеем y=ln x (ln x)'=1x | Логарифмические функия y=logax. d(logax)=dxx·ln a В частности при a=e имеем y=ln x d(ln x)=dxx |
Тригонометрические функции. (sin x)'=cos x(cos x)'=-sin x(tg x)'=1cos2 x(ctg x)'=-1sin2x | Тригонометрические функции. d(sin x)=cos x·dxd(cos x)=-sin x·dxd(tg x)=dxcos2 xd(ctg x)=-dxsin2x |
Обратные тригонометрические фунции. (arcsin x)'=1√1-x2(arccos x)'=-1√1-x2(arctg x)'=11+x2(arcctg x)'=-11+x2 | Обратные тригонометрические фунции. d(arcsin x)=dx√1-x2d(arccos x)=-dx√1-x2d(arctg x)=dx1+x2d(arcctg x)=-dx1+x2 |
Проиллюстрируем описанное выше примером. Найдем неопределенный интеграл степенной функции f(x)=xp.
Согласно таблице дифференциалов d(xp)=p·xp-1·dx . По свойствам неопределенного интеграла имеем ∫d(xp)=∫p·xp-1·dx=p·∫xp-1·dx=xp+C. Следовательно, ∫xp-1·dx=xpp+Cp, p≠0.Второй вариант записи выглядит следующим образом: ∫xp·dx=xp+1p+1+Cp+1=xp+1p+1+C1, p≠-1.
Примем равным -1, найдем множество первообразных степенной функции f(x)=xp : ∫xp·dx=∫x-1·dx=∫dxx .
Теперь нам понадобится таблица дифференциалов для натурального логарифма d(ln x)=dxx, x>0 , следовательно ∫d(ln x)=∫dxx=ln x. Поэтому ∫dxx=ln x, x>0.
Таблица первообразных (неопределенных интегралов)
∫xp·dx=xp+1p+1+C, p≠-1∫0·dx=C∫ax·dx=axln a+C, a≠1∫ex·dx=ex+C∫dxx=lnopenx|+C∫cos x·dx=sin x+C∫sin x·dx=-cos x+C∫dxcos2x=tg x+C∫dxsin2x=-ctg x+C∫dx√1-x2=arcsin x +C∫dx1+x2=arctg x+C | ∫dxa2+x2=1aarctgxa+C∫dx√a2-x2=arcsinxa+C∫dxx2-a2=12alnopenx-ax+a|+C∫dx√x2±a2=lnopenx+√x2±a|+C∫dxsin x=lnopen1-cos xsin x|+C∫dxcos x=lnopen1+sin xcos x|+C |
В левом столбце таблицы размещены формулы, которые носят название основных первообразных. В правом столбце формулы не являются основными, но могут использоваться при нахождении неопределенных интегралов. Их можно проверить дифференцированием.
Непосредственное интегрирование
Для выполнения непосредственного интегрирования мы будем использовать таблицы первообразных, правила интегрирования ∫f(k·x+b)dx=1k·F(k·x+b)+C , а также свойства неопределенных интегралов ∫k·f(x)dx=k·∫f(x)dx∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx
Таблицу основных интегралов и свойства интегралов можно использовать только после легкого преобразования подынтегрального выражения.
Найдем интеграл ∫3(sinx2+cosx2)2dx
Решение
Выносим из-под знака интеграла коэффициент 3:
∫3(sinx2+cosx2)2dx=3∫(sinx2+cosx2)2dx
По формулам тригонометрии преобразуем подынтегральную функцию:
3∫(sinx2+cosx2)2dx=3∫((sinx2)2+2sinx2cosx2+(cosx2)2)dx==3∫(1+2sinx2cosx2)dx=3∫(1+sin x)dx
Так как интеграл суммы равен сумме интегралов, то
3∫(1+sin x)dx=3(∫1·dx+∫sin xdx)
Используем данные из таблицы первообразных: 3(∫1·dx+∫sin xdx)=3(1·x+C1-cos x+C2)==openпусть 3(С1+С2)=С}=3x-3cos x+C
Ответ: ∫3(sinx2+cosx2)2dx=3x-3cos x+C.
Необходимо найти множество первообразных функции f(x)=234x-7 .
Решение
Используем таблицу первообразных для показательной функции: ∫ax·dx=axln a+C . Это значит, что ∫2x·dx=2xln 2+C.
Используем правило интегрирования ∫f(k·x+b)dx=1k·F(k·x+b)+C.
Получаем ∫234x-7·dx=134·234x-7ln 2+C=43·234x-7ln 2+C .
Ответ: f(x)=234x-7=43·234x-7ln 2+C
Используя таблицу первообразных, свойства и правило интегрирования, мы можем найти массу неопределенных интегралов. Это возможно в тех случаях, когда можно преобразовать подынтегральную функцию.
Для нахождения интеграла от функции логарифма, функции тангенса и котангенса и ряда других применяются специальные методы, которые мы рассмотрим в разделе «Основные методы интегрирования».
Сохранить статью удобным способом