Непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных (таблицы неопределенных интегралов)

Непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных (таблицы неопределенных интегралов)

Таблица первообразных

Найти первообразную по известному дифференциалу функции мы можем в том случае, если используем свойства неопределенного интеграла. Из таблицы основных элементарных функций, используя равенства $\int d\left(F\left(x\right)\right)=\int F\text{'}\left(x\right)dx=\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$ и $\int k·f\left(x\right)dx=k·\int f\left(x\right)dx$ можно составить таблицу первообразных.

Запишем таблицу производных в виде дифференциалов.

Проиллюстрируем описанное выше примером. Найдем неопределенный интеграл степенной функции $f\left(x\right)=x^p$.

Согласно таблице дифференциалов $d\left(x^p\right)=p·x^{p-1}·dx$ . По свойствам неопределенного интеграла имеем $\int d\left(x^p\right)=\int p·x^{p-1}·dx=p·\int x^{p-1}·dx=x^p+C$. Следовательно, $\int x^{p-1}·dx=\frac{x^p}{p}+\frac{C}{p}, p\ne 0$.Второй вариант записи выглядит следующим образом: $\int x^p·dx=\frac{x^{p+1}}{p+1}+\frac{C}{p+1}=\frac{x^{p+1}}{p+1}+C_1, p\ne -1$.

Примем равным $-1$, найдем множество первообразных степенной функции $f\left(x\right)=x^p$ : $\int x^p·dx=\int x^{-1}·dx=\int \frac{dx}{x}$ .

Теперь нам понадобится таблица дифференциалов для натурального логарифма $d(\ln x)=\frac{dx}{x}, x>0$ , следовательно $\int d(\ln x)=\int \frac{dx}{x}=\ln x$. Поэтому $\int \frac{dx}{x}=\ln x, x>0$.

Таблица первообразных (неопределенных интегралов)

В левом столбце таблицы размещены формулы, которые носят название основных первообразных. В правом столбце формулы не являются основными, но могут использоваться при нахождении неопределенных интегралов. Их можно проверить дифференцированием.

Непосредственное интегрирование

Для выполнения непосредственного интегрирования мы будем использовать таблицы первообразных, правила интегрирования $\int f(k·x+b)dx=\frac{1}{k}·F(k·x+b)+C$ , а также свойства неопределенных интегралов $$\begin{gathered} \int k·f\left(x\right)dx=k·\int f\left(x\right)dx \\ \int \left(f\right(x)\pm g(x\left)\right)dx=\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx \end{gathered}$$

Таблицу основных интегралов и свойства интегралов можно использовать только после легкого преобразования подынтегрального выражения.

Используя таблицу первообразных, свойства и правило интегрирования, мы можем найти массу неопределенных интегралов. Это возможно в тех случаях, когда можно преобразовать подынтегральную функцию.

Для нахождения интеграла от функции логарифма, функции тангенса и котангенса и ряда других применяются специальные методы, которые мы рассмотрим в разделе «Основные методы интегрирования».