Непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных (таблицы неопределенных интегралов)

Таблица первообразных

Найти первообразную по известному дифференциалу функции мы можем в том случае, если используем свойства неопределенного интеграла. Из таблицы основных элементарных функций, используя равенства $\int d (F (x)) = \int F' (x) d x = \int f (x) d x = F (x) + C$ $\int d (F (x)) = \int F' (x) d x = \int f (x) d x = F (x) + C$ и $\int k \cdot f (x) d x = k \cdot \int f (x) d x$ $\int k \cdot f (x) d x = k \cdot \int f (x) d x$ можно составить таблицу первообразных.

Запишем таблицу производных в виде дифференциалов.

Постоянная $y = C$ $y = C$

${(C)}^{'} = 0$ ${(C)}^{'} = 0$

Степенная функция $y = x^{p}$ $y = x^{p}$ .

$(x^{p})^{'} = p \cdot x^{p - 1}$ $(x^{p})^{'} = p \cdot x^{p - 1}$

Постоянная $y = C$ $y = C$

$d (C) = 0 \cdot d x$ $d (C) = 0 \cdot d x$

Степенная фунция $y = x^{p}$ $y = x^{p}$ .

$d (x^{p}) = p \cdot x^{p - 1} \cdot d x$ $d (x^{p}) = p \cdot x^{p - 1} \cdot d x$

Показательная функция $y = a^{x}$ $y = a^{x}$ .

$(a^{x})^{'} = a^{x} \cdot \ln a$ $(a^{x})^{'} = a^{x} \cdot \ln a$

В частности при $a = e$ $a = e$ имеем $y = e^{x}$ $y = e^{x}$

${(e^{x})}^{'} = e^{x}$ ${(e^{x})}^{'} = e^{x}$

Показательная функция $y = a^{x}$ $y = a^{x}$ .

$d (a^{x}) = a^{x} \cdot \ln α \cdot d x$ $d (a^{x}) = a^{x} \cdot \ln α \cdot d x$

В частности при $a = e$ $a = e$ имеем $y = e^{x}$ $y = e^{x}$

$d (e^{x}) = e^{x} \cdot d x$ $d (e^{x}) = e^{x} \cdot d x$

Логарифмические функия $y = \log_{a} x$ $y = \log_{a} x$ .

${(\log_{a} x)}^{'} = \frac{1}{x \cdot \ln a}$ ${(\log_{a} x)}^{'} = \frac{1}{x \cdot \ln a}$

В частности при $a = e$ $a = e$ имеем $y = \ln x$ $y = \ln x$

${(\ln x)}^{'} = \frac{1}{x}$ ${(\ln x)}^{'} = \frac{1}{x}$

Логарифмические функия $y = \log_{a} x$ $y = \log_{a} x$ .

$d (\log_{a} x) = \frac{d x}{x \cdot \ln a}$ $d (\log_{a} x) = \frac{d x}{x \cdot \ln a}$

В частности при $a = e$ $a = e$ имеем $y = \ln x$ $y = \ln x$

$d (\ln x) = \frac{d x}{x}$ $d (\ln x) = \frac{d x}{x}$

Тригонометрические функции.

${(\sin x)}^{'} = \cos x (\cos x)^{'} = - \sin x (t g x)^{'} = \frac{1}{c o s^{2} x} (c t g x)^{'} = - \frac{1}{\sin^{2} x}$ ${(\sin x)}^{'} = \cos x (\cos x)^{'} = - \sin x (t g x)^{'} = \frac{1}{c o s^{2} x} (c t g x)^{'} = - \frac{1}{\sin^{2} x}$

Тригонометрические функции.

$d (\sin x) = \cos x \cdot d x d (\cos x) = - \sin x \cdot d x d (t g x) = \frac{d x}{c o s^{2} x} d (c t g x) = - \frac{d x}{\sin^{2} x}$ $d (\sin x) = \cos x \cdot d x d (\cos x) = - \sin x \cdot d x d (t g x) = \frac{d x}{c o s^{2} x} d (c t g x) = - \frac{d x}{\sin^{2} x}$

Обратные тригонометрические фунции.

${(a r c \sin x)}^{'} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} {(a r c \cos x)}^{'} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} {(a r c t g x)}^{'} = \frac{1}{1 + x^{2}} {(a r c c t g x)}^{'} = - \frac{1}{1 + x^{2}}$ ${(a r c \sin x)}^{'} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} {(a r c \cos x)}^{'} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} {(a r c t g x)}^{'} = \frac{1}{1 + x^{2}} {(a r c c t g x)}^{'} = - \frac{1}{1 + x^{2}}$

Обратные тригонометрические фунции.

$d (a r c \sin x) = \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d (a r c \cos x) = - \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d (a r c t g x) = \frac{d x}{1 + x^{2}} d (a r c c t g x) = - \frac{d x}{1 + x^{2}}$ $d (a r c \sin x) = \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d (a r c \cos x) = - \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d (a r c t g x) = \frac{d x}{1 + x^{2}} d (a r c c t g x) = - \frac{d x}{1 + x^{2}}$

Проиллюстрируем описанное выше примером. Найдем неопределенный интеграл степенной функции $f (x) = x^{p}$ $f (x) = x^{p}$ .

Согласно таблице дифференциалов $d (x^{p}) = p \cdot x^{p - 1} \cdot d x$ $d (x^{p}) = p \cdot x^{p - 1} \cdot d x$ . По свойствам неопределенного интеграла имеем $\int d (x^{p}) = \int p \cdot x^{p - 1} \cdot d x = p \cdot \int x^{p - 1} \cdot d x = x^{p} + C$ $\int d (x^{p}) = \int p \cdot x^{p - 1} \cdot d x = p \cdot \int x^{p - 1} \cdot d x = x^{p} + C$ . Следовательно, $\int x^{p - 1} \cdot d x = \frac{x^{p}}{p} + \frac{C}{p}, p \neq 0$ $\int x^{p - 1} \cdot d x = \frac{x^{p}}{p} + \frac{C}{p}, p \neq 0$ .Второй вариант записи выглядит следующим образом: $\int x^{p} \cdot d x = \frac{x^{p + 1}}{p + 1} + \frac{C}{p + 1} = \frac{x^{p + 1}}{p + 1} + C_{1}, p \neq - 1$ $\int x^{p} \cdot d x = \frac{x^{p + 1}}{p + 1} + \frac{C}{p + 1} = \frac{x^{p + 1}}{p + 1} + C_{1}, p \neq - 1$ .

Примем равным $- 1$ $- 1$ , найдем множество первообразных степенной функции $f (x) = x^{p}$ $f (x) = x^{p}$ : $\int x^{p} \cdot d x = \int x^{- 1} \cdot d x = \int \frac{d x}{x}$ $\int x^{p} \cdot d x = \int x^{- 1} \cdot d x = \int \frac{d x}{x}$ .

Теперь нам понадобится таблица дифференциалов для натурального логарифма $d (\ln x) = \frac{d x}{x}, x > 0$ $d (\ln x) = \frac{d x}{x}, x > 0$ , следовательно $\int d (\ln x) = \int \frac{d x}{x} = \ln x$ $\int d (\ln x) = \int \frac{d x}{x} = \ln x$ . Поэтому $\int \frac{d x}{x} = \ln x, x > 0$ $\int \frac{d x}{x} = \ln x, x > 0$ .

Таблица первообразных (неопределенных интегралов)

\int x^{p} \cdot d x = \frac{x^{p + 1}}{p + 1} + C, p \neq - 1 \int 0 \cdot d x = C \int a^{x} \cdot d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C, a \neq 1 \int e^{x} \cdot d x = e^{x} + C \int \frac{d x}{x} = \ln openx| + C \int \cos x \cdot d x = \sin x + C \int \sin x \cdot d x = - \cos x + C \int \frac{d x}{\cos^{2} x} = t g x + C \int \frac{d x}{\sin^{2} x} = - c t g x + C \int \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}} = a r c \sin x + C \int \frac{d x}{1 + x^{2}} = a r c t g x + C

$\int x^{p} \cdot d x = \frac{x^{p + 1}}{p + 1} + C, p \neq - 1 \int 0 \cdot d x = C \int a^{x} \cdot d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C, a \neq 1 \int e^{x} \cdot d x = e^{x} + C \int \frac{d x}{x} = \ln openx| + C \int \cos x \cdot d x = \sin x + C \int \sin x \cdot d x = - \cos x + C \int \frac{d x}{\cos^{2} x} = t g x + C \int \frac{d x}{\sin^{2} x} = - c t g x + C \int \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}} = a r c \sin x + C \int \frac{d x}{1 + x^{2}} = a r c t g x + C$

\int \frac{d x}{a^{2} + x^{2}} = \frac{1}{a} a r c t g \frac{x}{a} + C \int \frac{d x}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = a r c \sin \frac{x}{a} + C \int \frac{d x}{x^{2} - a^{2}} = \frac{1}{2 a} \ln open\frac{x - a}{x + a}| + C \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}} = \ln openx + \sqrt{x^{2} \pm a}| + C \int \frac{d x}{\sin x} = \ln open\frac{1 - \cos x}{\sin x}| + C \int \frac{d x}{\cos x} = \ln open\frac{1 + \sin x}{\cos x}| + C

$\int \frac{d x}{a^{2} + x^{2}} = \frac{1}{a} a r c t g \frac{x}{a} + C \int \frac{d x}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = a r c \sin \frac{x}{a} + C \int \frac{d x}{x^{2} - a^{2}} = \frac{1}{2 a} \ln open\frac{x - a}{x + a}| + C \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}} = \ln openx + \sqrt{x^{2} \pm a}| + C \int \frac{d x}{\sin x} = \ln open\frac{1 - \cos x}{\sin x}| + C \int \frac{d x}{\cos x} = \ln open\frac{1 + \sin x}{\cos x}| + C$

В левом столбце таблицы размещены формулы, которые носят название основных первообразных. В правом столбце формулы не являются основными, но могут использоваться при нахождении неопределенных интегралов. Их можно проверить дифференцированием.

Непосредственное интегрирование

Для выполнения непосредственного интегрирования мы будем использовать таблицы первообразных, правила интегрирования $\int f (k \cdot x + b) d x = \frac{1}{k} \cdot F (k \cdot x + b) + C$ $\int f (k \cdot x + b) d x = \frac{1}{k} \cdot F (k \cdot x + b) + C$ , а также свойства неопределенных интегралов $\int k \cdot f (x) d x = k \cdot \int f (x) d x \int (f (x) \pm g (x)) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x$ $\int k \cdot f (x) d x = k \cdot \int f (x) d x \int (f (x) \pm g (x)) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x$

Таблицу основных интегралов и свойства интегралов можно использовать только после легкого преобразования подынтегрального выражения.

Пример 1

Найдем интеграл $\int 3 {(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})}^{2} d x$ $\int 3 {(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})}^{2} d x$

Решение

Выносим из-под знака интеграла коэффициент $3$ $3$ :

$\int 3 {(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})}^{2} d x = 3 \int {(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})}^{2} d x$ $\int 3 {(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})}^{2} d x = 3 \int {(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})}^{2} d x$

По формулам тригонометрии преобразуем подынтегральную функцию:

$3 \int {(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})}^{2} d x = 3 \int ({(\sin \frac{x}{2})}^{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + {(\cos \frac{x}{2})}^{2}) d x = = 3 \int (1 + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}) d x = 3 \int (1 + \sin x) d x$ $3 \int {(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})}^{2} d x = 3 \int ({(\sin \frac{x}{2})}^{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + {(\cos \frac{x}{2})}^{2}) d x = = 3 \int (1 + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}) d x = 3 \int (1 + \sin x) d x$

Так как интеграл суммы равен сумме интегралов, то
$3 \int (1 + \sin x) d x = 3 (\int 1 \cdot d x + \int \sin x d x)$ $3 \int (1 + \sin x) d x = 3 (\int 1 \cdot d x + \int \sin x d x)$

Используем данные из таблицы первообразных: $3 (\int 1 \cdot d x + \int \sin x d x) = 3 (1 \cdot x + C_{1} - \cos x + C_{2}) = = openп у с т ь 3 (С_{1} + С_{2}) = С\} = 3 x - 3 \cos x + C$ $3 (\int 1 \cdot d x + \int \sin x d x) = 3 (1 \cdot x + C_{1} - \cos x + C_{2}) = = openп у с т ь 3 (С_{1} + С_{2}) = С\} = 3 x - 3 \cos x + C$

Ответ: $\int 3 {(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})}^{2} d x = 3 x - 3 \cos x + C$ $\int 3 {(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})}^{2} d x = 3 x - 3 \cos x + C$ .

Пример 2

Необходимо найти множество первообразных функции $f (x) = 2^{\frac{3}{4} x - 7}$ $f (x) = 2^{\frac{3}{4} x - 7}$ .

Решение

Используем таблицу первообразных для показательной функции: $\int a^{x} \cdot d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C$ $\int a^{x} \cdot d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C$ . Это значит, что $\int 2^{x} \cdot d x = \frac{2^{x}}{\ln 2} + C$ $\int 2^{x} \cdot d x = \frac{2^{x}}{\ln 2} + C$ .

Используем правило интегрирования $\int f (k \cdot x + b) d x = \frac{1}{k} \cdot F (k \cdot x + b) + C$ $\int f (k \cdot x + b) d x = \frac{1}{k} \cdot F (k \cdot x + b) + C$ .

Получаем $\int 2^{\frac{3}{4} x - 7} \cdot d x = \frac{1}{\frac{3}{4}} \cdot \frac{2^{\frac{3}{4} x - 7}}{\ln 2} + C = \frac{4}{3} \cdot \frac{2^{\frac{3}{4} x - 7}}{\ln 2} + C$ $\int 2^{\frac{3}{4} x - 7} \cdot d x = \frac{1}{\frac{3}{4}} \cdot \frac{2^{\frac{3}{4} x - 7}}{\ln 2} + C = \frac{4}{3} \cdot \frac{2^{\frac{3}{4} x - 7}}{\ln 2} + C$ .

Ответ: $f (x) = 2^{\frac{3}{4} x - 7} = \frac{4}{3} \cdot \frac{2^{\frac{3}{4} x - 7}}{\ln 2} + C$ $f (x) = 2^{\frac{3}{4} x - 7} = \frac{4}{3} \cdot \frac{2^{\frac{3}{4} x - 7}}{\ln 2} + C$

Используя таблицу первообразных, свойства и правило интегрирования, мы можем найти массу неопределенных интегралов. Это возможно в тех случаях, когда можно преобразовать подынтегральную функцию.

Для нахождения интеграла от функции логарифма, функции тангенса и котангенса и ряда других применяются специальные методы, которые мы рассмотрим в разделе «Основные методы интегрирования».