Определенный интеграл Римана, Дарбу, Ньютона-Лейбница, виды интегрируемых функций

Определение интеграла было дано еще в школе при вычислении площади криволинейной трапеции. Была рассмотрена непрерывная неотрицательная функция$y=f\left(x\right)$ на отрезке $[a; b]$, тогда сам отрезок развивался на $n$ равных частей точками $a=x_0<x_1<x_2<...<x_{n-1}<x_n=b$.  Отсюда получали, что площадь криволинейной трапеции была представлена в виде площадей элементарных треугольников

$$\begin{gathered} S_n=f\left(x_0\right)·(x_1-x_0)+f\left(x_1\right)·(x_2-x_1)+...+f\left(x_{n-1}\right)·\left(x_n-x_{n-1}\right)= \\ =f\left(x_0\right)·\frac{b-a}{n}+f\left(x_1\right)·\frac{b-a}{n}+...+f\left(x_{n-1}\right)·\frac{b-a}{n}= \\ =\frac{b-a}{n}·\left(f\left(x_0\right)+f\left(x_1\right)+...+f\left(x_{n-1}\right)\right) \end{gathered}$$

Значение данного выражения стремилось к числу $I$ при бесконечном увеличении количества точек разбиения отрезка $[a; b]$.

Его геометрическое понятие было показано в школе в $11$ классе. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже. Имеем изображение определенного интеграла.

В данной статье будет показано определения определенного интеграла, которые были заданы Риманом и Дарбу, Ньютоном-Лейбницом. Подробно будет показано условие интегрируемости функции на заданном определенном отрезке с перечислением интегрируемых функций.

Определенный интеграл Римана

Рассмотрим функцию $y=f(x$), которая определяется на заданном отрезке $[a; b]$. Необходимо разбить даны отрезок на $n$ количество частей $\left[x_{i-1}; x_i\right], i=1, 2,..., n$ точками $a=x_0<x_1<x_2<...<x_{n-1}<x_n=b$.  Примем обозначение $\lambda =\underset{i=1, 2,..., n}{max}(x_i-x_{i-1})$, а сами точки $x_i, i=1, 2,..., n-1$ необходимо выбрать таким образом, чтобы $\lambda \to 0$ при $n\to +\infty$.  В выбранном отрезке $\left[x_{i-1}; x_i\right], i=1, 2,..., n$ необходимо выбрать точку ${\zeta }_i$. При заданных условиях существует множество способов выбора точек $x_i, i=1, 2,..., n-1$ и ${\zeta }_i, i=1, 2,..., n$.

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Для того, чтобы разбить заданный отрезок $[a; b]$ и выбрать точки ${\zeta }_i, i=1, 2,..., n$, получаем интегральную сумму. Иначе говоря, получаем множество интегральных сумм  с различными вариациями выбора $x_i, i=1, 2,..., n$ и ${\zeta }_i, i=1, 2,..., n$.

За обозначение интеграла Римана принято брать выражение вида ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$.  Из определения получим, что определенный интеграл Римана записывается так: ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sigma$.

Значение определенного интеграла Римана не зависит от переменной интегрирования , тогда получаем интеграл вида ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_a^{b}f\left(t\right)dt={\int }_a^{b}f\left(u\right)du={\int }_a^{b}f\left(q\right)dq$.

Определенный интеграл Дарбу

Чтобы понять необходимо и достаточное условие существования определенного интеграла Дарбу, необходимо применить несколько определений.

Возьмем на рассмотрение функцию $y=f\left(x\right)$, определенную на отрезке $[a; b]$. Необходимо разбить заданный отрезок на n количество частей при помощи точек $a=x_0<x_1<x_2<...<x_{n-1}<x_n<b$ с условием $\lambda \to 0$ при $n\to +\infty$. Тогда $m_i$ и $M_i$ являются нижней и верхней гранью множества значений заданной функции на $i$-ом отрезке $i=1, 2,..., n$. Получаем, что для непрерывной и ограниченной функции $m_i=\underset{x\in \left[x_{i-1}; x_i\right]}{min}f\left(x\right), M_i=\underset{x\in \left[x_{i-1}; x_i\right]}{max}f\left(x\right), i=1, 2,..., n$.

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Отсюда видно, для того, чтобы разбиение данного отрезка было фиксированным, необходимо использовать двойное неравенство $s\le \sigma \le S$, которое является справедливым. Иначе говоря, $s$ и $S$ считаются нижней и верхней гранями множества интегральных сумм.

Определенный интеграл Ньютона-Лейбница

Рассмотрим подробно понятие определенного интеграла Ньютона-Лейбница.

Данное определение связано в формулой Ньютона-Лейбница ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$. В ней $F\left(x\right)$ является первообразной из множества, а определенный интеграл имеет первообразную, которая  становится равной нулю при $х=а$.

Необходимое условие интегрируемости функции на отрезке, виды интегрируемых функций

Рассмотрим необходимое условие существования определенного интеграла функции на отрезке.

Когда функция вида $y=f\left(x\right)$ интегрируема на отрезке $[a; b]$, то имеется  в виду, что она им ограничена.  Условие считается необходимым, но не достаточным, так как функция ограничена отрезком, при этом она не всегда на нем интегрируема. Это условие применяют для проверки возможности интегрирования имеющейся функции на заданном отрезке. Иначе говоря, проверяется ее ограниченность.

Виды функций, для которых существует определенный интеграл:

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже. На нем располагается пример интегрируемой функции.

Итоги

Задавание определенного интеграла Римана происходит через предел интегральных сумм, а интеграл Дарбу – предел разности верхних и нижних сумм Дарбу, в свою очередь интеграл Ньютона-Лейбница – при помощи значения первообразной.

Одновременное существование интеграла Римана и Ньютона-Лейбница, определенных на отрезке $[a; b]$, возможно, при этом их значения будут равными. Для ограниченной функции существование определенного интеграла Дарбу и Римана невозможно.