Автор статьи

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных (таблицы неопределенных интегралов)

Содержание:

Непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных (таблицы неопределенных интегралов)

Таблица первообразных

Найти первообразную по известному дифференциалу функции мы можем в том случае, если используем свойства неопределенного интеграла. Из таблицы основных элементарных функций, используя равенства dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx=F(x)+C и k·f(x)dx=k·f(x)dx можно составить таблицу первообразных.

Запишем таблицу производных в виде дифференциалов.

Постоянная y=C

C'=0

Степенная функция y=xp.

(xp)'=p·xp-1

Постоянная y=C

d(C)=0·dx

Степенная фунция y=xp.

d(xp)=p·xp-1·dx

Показательная функция y=ax.

(ax)'=ax·ln a

В частности при a=e имеем y=ex

ex'=ex

Показательная функция y=ax.

d(ax)=ax·ln α·dx

В частности при a=e имеем y=ex

d(ex)=ex·dx 

Логарифмические функия y=logax.

logax'=1x·ln a

В частности при a=e имеем y=ln x

ln x'=1x

Логарифмические функия y=logax.

d(logax)=dxx·ln a

В частности при a=e имеем y=ln x

d(ln x)=dxx

Тригонометрические функции.

sin x'=cos x(cos x)'=-sin x(tg x)'=1cos2 x(ctg x)'=-1sin2x

Тригонометрические функции.

dsin x=cos x·dxd(cos x)=-sin x·dxd(tg x)=dxcos2 xd(ctg x)=-dxsin2x

Обратные тригонометрические фунции.

arcsin x'=11-x2arccos x'=-11-x2arctg x'=11+x2arcctg x'=-11+x2

Обратные тригонометрические фунции.

darcsin x=dx1-x2darccos x=-dx1-x2darctg x=dx1+x2darcctg x=-dx1+x2

Проиллюстрируем описанное выше примером. Найдем неопределенный интеграл степенной функции f(x)=xp.

Согласно таблице дифференциалов d(xp)=p·xp-1·dx . По свойствам неопределенного интеграла имеем d(xp)=p·xp-1·dx=p·xp-1·dx=xp+C. Следовательно, xp-1·dx=xpp+Cp, p0.Второй вариант записи выглядит следующим образом: xp·dx=xp+1p+1+Cp+1=xp+1p+1+C1, p-1.

Примем равным -1, найдем множество первообразных степенной функции f(x)=xp : xp·dx=x-1·dx=dxx .

Теперь нам понадобится таблица дифференциалов для натурального логарифма d(ln x)=dxx, x>0 , следовательно d(ln x)=dxx=ln x. Поэтому dxx=ln x, x>0.

Таблица первообразных (неопределенных интегралов)

xp·dx=xp+1p+1+C, p-10·dx=Cax·dx=axln a+C, a1ex·dx=ex+Cdxx=lnx+Ccos x·dx=sin x+Csin x·dx=-cos x+Cdxcos2x=tg x+Cdxsin2x=-ctg x+Cdx1-x2=arcsin x +Cdx1+x2=arctg x+C dxa2+x2=1aarctgxa+Cdxa2-x2=arcsinxa+Cdxx2-a2=12alnx-ax+a+Cdxx2±a2=lnx+x2±a+Cdxsin x=ln1-cos xsin x+Cdxcos x=ln1+sin xcos x+C

В левом столбце таблицы размещены формулы, которые носят название основных первообразных. В правом столбце формулы не являются основными, но могут использоваться при нахождении неопределенных интегралов. Их можно проверить дифференцированием.

Непосредственное интегрирование

Для выполнения непосредственного интегрирования мы будем использовать таблицы первообразных, правила интегрирования f(k·x+b)dx=1k·F(k·x+b)+C , а также свойства неопределенных интегралов k·f(x)dx=k·f(x)dx(f(x)±g(x))dx=f(x)dx±g(x)dx

Таблицу основных интегралов и свойства интегралов можно использовать только после легкого преобразования подынтегрального выражения.

Пример 1

Найдем интеграл 3sinx2+cosx22dx

Решение

Выносим из-под знака интеграла коэффициент 3:

3sinx2+cosx22dx=3sinx2+cosx22dx

По формулам тригонометрии преобразуем подынтегральную функцию:

3sinx2+cosx22dx=3sinx22+2sinx2cosx2+cosx22dx==31+2sinx2cosx2dx=31+sin xdx

Так как интеграл суммы равен сумме интегралов, то
31+sin xdx=31·dx+sin xdx

Используем данные из таблицы первообразных: 31·dx+sin xdx=3(1·x+C1-cos x+C2)==пусть 3С1+С2=С=3x-3cos x+C

Ответ: 3sinx2+cosx22dx=3x-3cos x+C.

Пример 2

Необходимо найти множество первообразных функции f(x)=234x-7 .

Решение

Используем таблицу первообразных для показательной функции: ax·dx=axln a+C . Это значит, что 2x·dx=2xln 2+C.

Используем правило интегрирования f(k·x+b)dx=1k·F(k·x+b)+C.

Получаем 234x-7·dx=134·234x-7ln 2+C=43·234x-7ln 2+C .

Ответ: f(x)=234x-7=43·234x-7ln 2+C

Используя таблицу первообразных, свойства и правило интегрирования, мы можем найти массу неопределенных интегралов. Это возможно в тех случаях, когда можно преобразовать подынтегральную функцию.

Для нахождения интеграла от функции логарифма, функции тангенса и котангенса и ряда других применяются специальные методы, которые мы рассмотрим в разделе «Основные методы интегрирования».

Навигация по статьям

Выполненные работы по высшей математике
  • Высшая математика

    Высшая математика

    • Вид работы:

      Домашняя работа

    • Выполнена:

      23 марта 2023 г.

    • Стоимость:

      1 800 руб

    Заказать такую же работу
  • Информационные технологии

    Электронный бизнес

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      28 февраля 2023 г.

    • Стоимость:

      1 000 руб

    Заказать такую же работу
  • Строительство

    Дистанционный экзамен Технология возведения инженерных сооружений

    • Вид работы:

      Дистанционный экзамен, онлайн-тест

    • Выполнена:

      10 февраля 2023 г.

    • Стоимость:

      1 600 руб

    Заказать такую же работу
  • MATLAB

    Выполнение заданий в матлаб для политеха курс факт радиосвязи

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      28 января 2023 г.

    • Стоимость:

      3 600 руб

    Заказать такую же работу
  • Эконометрика

    Домашнее творческое задание

    • Вид работы:

      Домашняя работа

    • Выполнена:

      17 января 2023 г.

    • Стоимость:

      2 100 руб

    Заказать такую же работу
  • Механика

    темы Структура и классификация механизмов Кинематический анализ рычажных механизмов Кинематический анализ передач

    • Вид работы:

      Решение задач

    • Выполнена:

      27 декабря 2022 г.

    • Стоимость:

      4 400 руб

    Заказать такую же работу
  • Не получается написать работу самому?

    Доверь это кандидату наук!