Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik
Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница
- 19 мая 2023
- 10 минут
- 7 133
Решение прикладных задач сводится к вычислению интеграла, но не всегда это возможно сделать точно. Иногда необходимо знать значение определенного интеграла с некоторой степенью точности, к примеру, до тысячной.
Существуют задачи, когда следовало бы найти приближенное значение определенного интеграла с необходимой точностью, тогда применяют численное интегрирование такое, как метод Симпосна, трапеций, прямоугольников. Не все случаи позволяют вычислить его с определенной точностью.
Данная статья рассматривает применение формулы Ньютона-Лейбница. Это необходимо для точного вычисления определенного интеграла. Будут приведены подробные примеры, рассмотрены замены переменной в определенном интеграле и найдем значения определенного интеграла при интегрировании по частям.
Формула Ньютона-Лейбница
Когда функция y=y(x) является непрерывной из отрезка [a; ,а является одной из первообразных функции этого отрезка, тогда формула Ньютона-Лейбница считается справедливой. Запишем ее так .
Данную формулу считают основной формулой интегрального исчисления.
Чтобы произвести доказательство этой формулы, необходимо использовать понятие интеграла с имеющимся переменным верхним пределом.
Когда функция непрерывна из отрезка , тогда значение аргумента , а интеграл имеет вид и считается функцией верхнего предела. Необходимо принять обозначение функции примет вид , она является непрерывной, причем для нее справедливо неравенство вида .
Зафиксируем, что приращении функции соответствует приращению аргумента , необходимо воспользоваться пятым основным свойством определенного интеграла и получим
где значение .
Зафиксируем равенство в виде . По определению производной функции необходимо переходить к пределу при , тогда получаем формулу вида . Получаем, что является одной из первообразных для функции вида, расположенной на . Иначе выражение можно записать
, где значение является постоянной.
Произведем вычисление с использованием первого свойства определенного интеграла. Тогда получаем, что
, отсюда получаем, что . Результат применим при вычислении и получим:
, иначе говоря, . Равенство доказывает формулу Ньютона-Лейбница .
Приращение функции принимаем как . С помощью обозначения формулу Ньютона-Лейбница принимает вид .
Чтобы применить формулу, обязательно необходимо знать одну из первообразных подынтегральной функции из отрезка , произвести вычисление приращения первообразной из этого отрезка. Рассмотрим несколько примером вычисления, используя формулу Ньютона-Лейбница.
Произвести вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.
Решение
Рассмотрим, что подынтегральная функция вида является непрерывной из отрезка , тогда и интегрируема на этом отрезке. По таблице неопределенных интегралов видим, что функция имеет множество первообразных для всех действительных значений , значит, запишется как . Необходимо взять первообразную с , тогда получаем, что .
Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница и получим, что вычисление определенного интеграла примет вид .
Ответ:
Произвести вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.
Решение
Заданная функция непрерывна из отрезка , значит, на нем интегрируема. Необходимо найти значение неопределенного интеграла при помощи метода подведения под знак дифференциала , тогда получаем .
Отсюда имеем множество первообразных функции , которые действительны для всех , .
Необходимо взять первообразную при и применить формулу Ньютона-Лейбница. Тогда получим выражение вида
Ответ:
Произвести вычисление интегралов и .
Решение
Отрезок говорит о том, что функция, находящаяся под знаком интеграла, является непрерывной, значит, она интегрируема. Отсюда найдем множество первообразных функции . Получаем, что
Необходимо взять первообразную , тогда, применив формулу Ньютона-Лейбница, получаем интеграл, который вычисляем:
Производим переход к вычислению второго интеграла.
Из отрезка имеем, что подынтегральная функция считается неограниченной, потому как , тогда отсюда следует, что необходимым условием интегрируемости из отрезка. Тогда не является первообразной для из отрезка , так как точка принадлежит отрезку, но не входит в область определения. Значит, что имеется определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции из отрезка.
Ответ: , имеется определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции из отрезка.
Перед использованием формулы Ньютона-Лейбница нужно точно знать о существовании определенного интеграла.
Замена переменной в определенном интеграле
Когда функция является определенной и непрерывной из отрезка , тогда имеющееся множество считается областью значений функции , определенной на отрезке с имеющейся непрерывной производной, где и , отсюда получаем, что .
Данную формулу применяют тогда, когда нужно вычислять интеграл , где неопределенный интеграл имеет вид , вычисляем при помощи метода подстановки.
Произвести вычисление определенного интеграла вида .
Решение
Подынтегральная функция считается непрерывной на отрезке интегрирования, значит определенный интеграл имеет место на существование. Дадим обозначение, что . Значение , значит, что , а при получаем, что , тогда . При подстановке полученных значений в формулу получаем, что
По таблице неопределенных интегралов имеем, что одна из первообразных функции принимает значение . Тогда при применении формулы Ньютона-Лейбница получаем, что
Нахождение можно было производить, не используя формулу .
Если при методе замены использовать интеграл вида , то можно прийти к результату .
Отсюда произведем вычисления по формуле Ньютона-Лейбница и вычислим определенный интеграл. Получаем, что
Результаты совпали.
Ответ:
Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла
Если на отрезке определены и непрерывны функции и , тогда их производные первого порядка являются интегрируемыми, таким образом из этого отрезка для интегрируемой функции равенство справедливо.
Формулу можно использовать тогда, необходимо вычислять интеграл , причем необходимо было искать его при помощи интегрирования по частям.
Произвести вычисление определенного интеграла .
Решение
Функция интегрируема на отрезке , значит она непрерывна.
Пусть , тогда , причем , а . Из формулы получим, что
Решение примера можно выполнить другим образом.
Найти множество первообразных функции при помощи интегрирования по частям с применением формулы Ньютона-Лейбница:
Ответ:
Сохранить статью удобным способом