Вычисление площади фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой

Условие: найдите площадь фигуры, которую образует линия, заданная уравнениями вида $\left\{\begin{array}{l}x=2\cos t\\ y=3\sin t\end{array}\right.$.

Решение

У нас есть параметрически заданная линия. Графически ее можно отобразить в виде эллипса с двумя полуосями $2$ и $3$. См на иллюстрацию:

Попробуем найти площадь $\frac{1}{4}$ полученной фигуры, которая занимает первый квадрант. Область находится в интервале $x\in \left[a; b\right]=\left[0; 2\right]$. Далее умножим полученное значение на $4$ и найдем площадь целой фигуры.

Вот ход наших вычислений:

$$\begin{gathered} x=\phi \left(t\right)=2\cos t \\ y=\psi \left(t\right)=3\sin t \\ \phi \left(\alpha \right)=a\iff 2\cos \alpha =0\iff \alpha =\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{Z}, \\ \mathrm{\phi }\left(\mathrm{\beta }\right)=\mathrm{b}\iff 2\cos \mathrm{\beta }=2\iff \mathrm{\beta }=2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{Z} \end{gathered}$$

При $k$, равном $0$, мы получим интервал $\left[\beta ; \alpha \right]=\left[0; \frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$. Функция $x=\phi \left(t\right)=2\cos t$ на нем будет монотонно убывать (подробнее см. статью об основных элементарных функциях и их свойствах).  Значит, можно применить формулу вычисления площади и найти определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$$\begin{gathered} -{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}3 \sin t·\left(2\cos t\right)\text{'}dt=6{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\sin }^{2}t dt=3{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}(1-\cos (2t)dt= \\ ={\overline{)3·\left(t-\frac{\sin \left(2t\right)}{2}\right)}}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}=3·\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\frac{\sin \left(2·{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{2}}\right)}{2}-\left(0-\frac{\sin \left(2·0\right)}{2}\right)\right)=\frac{3\mathrm{\pi }}{2} \end{gathered}$$

Значит, площадь фигуры, заданной исходной кривой, будет равна $S\left(G\right)=4·\frac{3\mathrm{\pi }}{2}=6\mathrm{\pi }$.

Ответ: $S\left(G\right)=6\mathrm{\pi }$

Условие: найдите, чему будет равна площадь фигуры, которая ограничена параметрически заданной кривой $\left\{\begin{array}{l}x=3{\cos }^{3}t\\ y=2{\sin }^{3}t\end{array}\right.$.

Решение

Сразу уточним, что данная кривая имеет вид вытянутой астроиды. Обычно астроида выражается с помощью уравнения вида $\left\{\begin{array}{l}x=a·{\cos }^{3}t\\ y=a·{\sin }^{3}t\end{array}\right.$.

Теперь разберем подробно, как построить такую кривую. Выполним построение по отдельным точкам. Это самый распространенный метод, который применим для большинства задач. Более сложные примеры требуют проведения дифференциального исчисления, чтобы выявить параметрически заданную функцию.

У нас $x=\phi \left(t\right)=3{\cos }^{3}t, y=\psi \left(t\right)=2{\sin }^{3}t$.

Данные функции являются определенными для всех действительных значений $t$. Для $\sin$ и $\cos$ известно, что они являются периодическими и их период составляет $2$ пи. Вычислив значения функций $x=\phi \left(t\right)=3{\cos }^{3}t, y=\psi \left(t\right)=2{\sin }^{3}t$ для некоторых $t=t_0\in \left[0; 2\mathrm{\pi }\right] \left(\frac{\pi }{8}, \frac{\mathrm{\pi }}{4}, \frac{3\mathrm{\pi }}{8}, \frac{\mathrm{\pi }}{2},..., \frac{15\mathrm{\pi }}{8}\right)$, получим точки $\left(x_0; y_0\right)=\left(\phi \right(t_0); \psi (t_0\left)\right)$.

Составим таблицу итоговых значений:

После этого отметим нужные точки на плоскости и соединим их одной линией.

Теперь нам надо найти площадь той части фигуры, что находится в первой координатной четверти. Для нее $x\in \left[a; b\right]=\left[0; 3\right]$:

$$\begin{gathered} \phi \left(\alpha \right)=a\iff 3{\cos }^{3}t=0 \iff \alpha =\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{Z}, \\ \mathrm{\phi }\left(\mathrm{\beta }\right)=\mathrm{b}\iff 3{\cos }^3\mathrm{t}=3\iff \mathrm{\beta }=2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{Z} \end{gathered}$$

Если $k$ равен $0$, то у нас получится интервал $\left[\beta ; \alpha \right]=\left[0; \frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$, и функция $x=\phi \left(t\right)=3{\cos }^{3}t$ на нем будет монотонно убывать. Теперь берем формулу площади и считаем:

$$\begin{gathered} -{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}2{\sin }^{3}t·{\left(3{\cos }^{3}t\right)}^{\text{'}}dt=18{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{4}t·{\cos }^{2}tdt= \\ =18{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{4}t·(1-{\sin }^{2}t)dt=18\left({\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\sin }^{4}tdt-{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\sin }^{6}tdt\right) \end{gathered}$$

У нас получились определенные интегралы, которые можно вычислить с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Первообразные для этой формулы можно найти, используя рекуррентную формулу $J_n\left(x\right)=-\frac{\cos x·{\sin }^{n-1}\left(x\right)}{n}+\frac{n-1}{n}{J}_{n-2}\left(x\right)$, где $J_n\left(x\right)=\int {\sin }^{n}xdx$.

$$\begin{gathered} \int {\sin }^{4}tdt=-\frac{\cos t·{\sin }^{3}t}{4}+\frac{3}{4}\int {\sin }^{2}tdt= \\ =-\frac{\cos t·{\sin }^{3}t}{4}+\frac{3}{4}\left(-\frac{\cos t·\sin t}{2}+\frac{1}{2}\int {\sin }^{0}tdt\right)= \\ =-\frac{\cos t·{\sin }^{3}t}{4}-\frac{3\cos t·\sin t}{8}+\frac{3}{8}t+C\Rightarrow \\ {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\sin }^{4}tdt={\overline{)\left(-\frac{\cos t·{\sin }^{3}t}{4}-\frac{3\cos t·\sin t}{8}+\frac{3}{8}t\right)}}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{3\mathrm{\pi }}{16} \\ \int {\sin }^{6}tdt=-\frac{\cos t·{\sin }^{5}t}{6}+\frac{5}{6}\int {\sin }^{4}tdt\Rightarrow \\ {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\sin }^{6}tdt={\overline{)\left(-\frac{\cos t·{\sin }^{5}t}{6}\right)}}_0^{\frac{\pi }{2}}+\frac{5}{6}{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\sin }^{4}tdt=\frac{5}{6}·\frac{3\mathrm{\pi }}{16}=\frac{15\mathrm{\pi }}{96} \end{gathered}$$

Мы вычислили площадь четверти фигуры. Она равна $18\left({\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\sin }^{4}tdt-{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\sin }^{6}tdt\right)=18\left(\frac{3\mathrm{\pi }}{16}-\frac{15\mathrm{\pi }}{96}\right)=\frac{9\mathrm{\pi }}{16}$.

Если мы умножим это значение на $4$, получим площадь всей фигуры – $\frac{9\mathrm{\pi }}{4}$.