Вычисление площади фигуры в полярных координатах

В этом разделе мы продолжим разбирать тему вычисления площадей плоских фигур. Рекомендуем тем, кто изучает темы не по порядку, сначала обратиться к статье «Геометрический смысл определенного интеграла» и разобрать способы вычисления площади криволинейной трапеции. Нам понадобится вычислять площади фигур, которые ограничены ограничены линиями $y=f\left(x\right), x=g\left(y\right)$ в прямоугольной системе координат. А также раздел «Свойства площади фигур», где была разобрана квадрируемость плоских фигур.

Краткий обзор статьи

• Начнем с определения понятия криволинейного сектора, получим формулу для вычисления его площади. Для этого мы используем понятие определенного интеграла Дарбу.
• Подробно разберем решения задач с использованием таких кривых как кардиоида, архимедова спираль и лемниската Бернулли.
• В отдельную подтему мы выделили нахождение площади фигуры, которая представлена как разность двух криволинейных секторов.

Полярная система координат и криволинейный сектор

На рисунке мы отметили начало координат (полюс) жирной черной точкой, полярная ось имеет вид луча черного цвета, а красная точка определяется углом ${\phi }_0=\frac{3\mathrm{\pi }}{4}$ и расстоянием до полюса $r_0=4$.

Мы можем рассматривать полярную систему координат одновременно с прямоугольной декартовой. Для этого необходимо совместить начала координат обеих систем, а ось абсцисс и полярной осью. 

Задать связь полярных и декартовых координат можно соотношениями $\left\{\begin{array}{l}r=\sqrt{x^2+y^2}\\ \phi =arctg\frac{y}{x}, x\ne 0\end{array}\right.$ и обратно $\left\{\begin{array}{l}x=r·\cos \phi \\ y=r·\sin \phi \end{array}\right.$.

Координаты красной точки на чертеже $\left(2\sqrt{3}; 2\right)$. Положение этой точки задается углом ${\phi }_0=arctg\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\pi }{6}$ и расстоянием $r_0=\sqrt{{\left(2\sqrt{3}\right)}^2+2^2}=4$.

В полярной системе координат равенство $\phi =\alpha$ задает луч, который выходит из точки начала координат и составляет угол $\alpha$ с полярной осью. При этом, угол $\alpha$ может быть задан как в радианах, так и в градусах. Полярную ось мы можем задать уравнением вида $\phi =0$. Равенство $r=C>0$ задает окружность с центром в начале координат, где  - это радиус.

Функция $r=p\left(\phi \right), \phi \in \left[\alpha ; \beta \right]$ определяет некоторую линию в полярных координатах.

Следует учитывать тот факт, что с позиции геометрии функция $r=p\left(\phi \right), \phi \in \left[\alpha ; \beta \right]$ во всех случаях будет неотрицательной. Связано это с тем, что она задает расстояние от начала координат до точки для заданного значения угла $\phi ={\phi }_0\in \left[\alpha ; \beta \right]$. Однако мы будем встречать и отрицательные значения$r=p\left(\phi \right)$ функции, что зависит от отношения к данному вопросу конкретных исследователей и преподавателей.

На рисунке мы изобразили несколько примеров линий в полярной системе координат.

Дадим определение криволинейному сектору.

На рисунке мы привели несколько примеров криволинейных секторов.

На последнем рисунке мы рассмотрели случай, когда фигура располагается между лучами $\phi =-\frac{\mathrm{\pi }}{6}, \phi =\frac{\mathrm{\pi }}{6}$, которые не являются ее границами.

Площадь криволинейного сектора - вывод формулы

Для вычисления площади криволинейного сектора мы можем вывести формулу. Для этого мы можем использовать формулу площади кругового сектора радиуса $R$ с внутренним углом $\gamma$ из школьного курса геометрии: $S_{кругового сектора}=\frac{\gamma ·R^2}{2}$. Задаем внутренний угол $\gamma$ в радианах.

Разобьем криволинейный сектор на $n$ частей такими лучами 

$\phi ={\phi }_1, \phi ={\phi }_2,..., \phi ={\phi }_{n-1}$, что $\alpha ={\phi }_0<{\phi }_1<{\phi }_2<...<{\phi }_{n-1}<\beta$ и $\lambda =\underset{i=1, 2,..., n}{max}\left({\phi }_i-{\phi }_{i-1}\right)\to 0$ при $n\to +\infty$.

Учитывая свойства площади фигуры, мы можем представить площадь исходного криволинейного сектора $S\left(G\right)$ как сумму площадей секторов $S\left(G_i\right)$ на каждом из участков разбиения:

$S\left(G\right)=\sum _{i=1}^{n}S\left(G_i\right)$

Обозначим наибольшее и наименьшее значения функции $r=p\left(\phi \right)$ на $i$-ом отрезке $\left[{\phi }_{i-1}; {\phi }_i\right], i=1, 2,..., n$ как $Rmi{n}_i$ и $Rma{x}_i$ . На каждом из отрезков построим по два круговых сектора $P_i$ и $Q_i$ с максимальным и минимальным радиусами $Rmi{n}_i$ и $Rma{x}_i$ соответственно.

Фигуры, которые являются объединением круговых секторов $Q_i, i=1, 2,..., n; P_i, i=1, 2,..., n$, обозначим как $P$ и $Q$ соответственно.

Их площади будут равны $S\left(P\right)=\sum _{i=1}^{n}S\left(P_i\right)=\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}(Rmi{n}_i{)}^2·\left({\phi }_i-{\phi }_{i-1}\right)$ и $S\left(Q\right)=\sum _{i=1}^{n}S\left(Q_i\right)=\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}(Rma{x}_i{)}^2·\left({\phi }_i-{\phi }_{i-1}\right)$, причем $S\left(P\right)\le S\left(G\right)\le S\left(Q\right)$.

Так как функция $r=p\left(\phi \right)$ непрерывна на отрезке $\left[\alpha ; \beta \right]$, то функция $\frac{1}{2}{p}^2\left(\phi \right)$ будет непрерывна на этом отрезке. Если рассматривать $S\left(P\right)$ и $S\left(Q\right)$ для этой функции как нижнюю и верхнюю суммы Дарбу, то мы можем прийти к равенству:

$$\begin{gathered} \underset{\lambda \to 0}{\lim }S\left(P\right)=\underset{\lambda \to 0}{\lim }S\left(Q\right)=S\left(G\right)\Rightarrow \\ S\left(G\right)=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{ i=1}^n\frac{1}{2}(Rmi{n}_i{)}^2·\left({\phi }_i-{\phi }_{i-1}\right)= \\ =\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{ i=1}^n\frac{1}{2}(Rma{x}_i)·\left({\phi }_i-{\phi }_{i-1}\right)=\frac{1}{2}{\int }_{\beta }^{\alpha }{p}^2\left(\phi \right)d\phi \end{gathered}$$

Примеры вычисления площади криволинейного сектора

Рассмотрим алгоритмы вычисления площади криволинейного сектора с полярной системе координат на конкретных примерах.

Задача упрощается в тех случаях, когда лучи $\phi ={\phi }_1, \phi ={\phi }_2$, ограничивающие фигуру, заданы. Тогда нам не нужно задумываться о пределах интегрирования при проведении вычисления площади.

Чаще встречаются задачи, где фигуру ограничивает лишь кривая $r=p\left(\phi \right)$. В этих случаях применить формулу $S\left(G\right)=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{p}^2\left(\phi \right)d\phi$ сразу не получится. Для начала придется решить неравенство $p\left(\phi \right)\ge 0$  для нахождения пределов интегрирования. Так мы можем поступить в тех случаях, когда функция $r=p\left(\phi \right)$ неотрицательная. В противном случае нам придется ориентироваться  только на область определения и период функции.

В тех случаях, когда в полярной системе координат задается множество кривых, которые по форме напоминают листья клевера или цветка, площадь фигур, ограниченных этими кривыми, часто одинаковы. В этих случаях можно вычислить площадь одного «лепестка» и умножить ее на количество криволинейных фигур.

Аналогичным образом можно найти площади фигур, имеющих сходное строение. Примером может служить лемниската Бернулли.

Площадь фигуры, которую ограничивает лемниската Бернулли

Лемниската служит границей фигуры, которую можно представить как два равных по площади участка.

Для вычисления площади используем нужную формулу:

$$\begin{gathered} S\left(G\right)=2·\frac{1}{2}{\int }_{-\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}{a}^2\cos \left(2\phi \right)2\phi ={\overline{)\frac{a^2}{2}\left(\sin \right(2\phi \left)\right)}}_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}= \\ =\frac{a^2}{2}\left(\sin \left(2·\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)-\sin \left(2·\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)\right)\right)=a^2 \end{gathered}$$

Получается, что площадь фигуры, которую ограничивает лемниската Бернулли, равна квадрату коэффициента $a$.

Площадь фигуры, границей которой является кардиоида

В полярной системе координат кардиоида задается уравнением вида $r=2a(1+\cos \phi )$. В этом уравнении $a$ – некоторое положительное число. Задающая кардиоиду функция является периодической с периодом $2\pi$. Она определена для всех действительных значений угла. Это значит, что для вычисления площади нижним пределом интегрирования мы будем считать любое число,  а верхним, то, которое на $2\pi$ больше нижнего.

Вычислим площадь фигуры, ограниченной кардиоидой $r=2a(1+\cos \phi )$, для $\phi \in \left[0; 2\mathrm{\pi }\right]$:

$$\begin{gathered} S\left(G\right)=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\mathrm{\pi }}\left(2a\right(1+\cos \phi ){)}^{2}d\phi =2a^2{\int }_0^{2\mathrm{\pi }}(1+2\cos \phi +{\cos }^2\phi )d\phi = \\ =2a^2{\int }_0^{2\mathrm{\pi }}\left(1+2\cos \phi +\frac{1+\cos \left(2\phi \right)}{2}\right)d\phi = \\ =2a^2{\int }_0^{2\mathrm{\pi }}\left(\frac{3}{2}+2\cos \phi +\frac{\cos \left(2\phi \right)}{2}\right)d\phi = \\ ={\overline{)2a^2\left(\frac{3}{2}\phi +2\sin \phi +\frac{1}{4}\sin \left(2\phi \right)\right)}}_0^{2\mathrm{\pi }}=6\mathrm{\pi }·{\mathrm{a}}^2 \end{gathered}$$

Площадь фигуры, которую ограничивает улитка Паскаля

В полярной системе координат улитка Паскаля может быть задана уравнением $r=b+2a·\cos \phi$. В этом уравнении $a$ – это некоторое положительное число, $b$ – любое действительное число. Кардиоиду можно рассматривать как частный случай улитки Паскаля. Получить кардиоиду можно при  $b=2a$.

Улитка Паскаля в зависимости от значений параметров $a$ и $b$ может принимать различный вид. В данном разделе мы рассмотрим случаи, когда  функцию $r$ неотрицательная.

При $b<-2a$ функция $r=b+2a·\cos \phi$ будет отрицательной для любого значения угла $\phi$.

При $b=-2a$ улитка Паскаля имеет вид точки, которая совпадает с полюсом.

При $-2a< b< 0$ функция $r=b+2a·\cos \phi$ неотрицательна для $\phi \in \left[-arc\cos \left(-\frac{b}{2a}\right)+2\mathrm{\pi k}; \arccos \left(-\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}\right)+2\mathrm{\pi k}\right], k\in Z$.

При $0<b<2a$ функция $r=b+2a·\cos \phi$ неотрицательна для $\phi \in \left[-arc\cos \left(-\frac{b}{2a}\right)+2\mathrm{\pi k}; \arccos \left(-\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}\right)+2\mathrm{\pi k}\right], k\in Z$. Она ограничивает фигуру, которая по конфигурации напоминает кардиоиду.

При $b>2a$ функция $r=b+2a·\cos \phi$ является неотрицательной для любого значения угла. Графическая иллюстрация этого случая приведена ниже

Для того, чтобы правильно определить пределы интегрирования, необходимо учитывать соотношение параметров $a$ и $b$.

Площадь фигур, границей которых является спираль Архимеда или логарифмическая спираль

Сразу обратимся к примеру.

Нахождение площади фигуры, которую можно представить как разность двух криволинейных секторов

Пусть фигура в полярной системе координат ограничена лучами $\phi =\alpha , \phi =\beta$ и непрерывными и неотрицательными на интервале $\phi \in \left[\alpha ; \beta \right]$ функциями $r=p_1\left(\phi \right)$ и $r=p_2\left(\phi \right)$, причем $p_1\left(\phi \right)\le p_2\left(\phi \right)$ для любого угла $\phi ={\phi }_0\in \left[\alpha ; \beta \right]$.

Находим площадь фигуры по формуле $S\left(G\right)=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }\left(p_2^2\left(\phi \right)-p_1^2\left(\phi \right)\right)d\phi$.

Действительно, в силу свойства аддитивности площади, фигуру $G$ можно представить как разность двух криволинейных секторов $G_2$ и $G_1$.

Тогда площадь фигуры $G$ равна разности площадей этих криволинейных секторов:

$$\begin{gathered} S\left(G\right)=S\left(G_2\right)-S\left(G_1\right)=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{p}_2^2\left(\phi \right)d\phi -\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{p}_1^2\left(\phi \right)d\phi = \\ =\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }\left(p_2^2\left(\phi \right)-p_1^2\left(\phi \right)\right)d\phi \end{gathered}$$

Последний переход возможен в силу третьего свойства определенного интеграла.

А теперь рассмотрим пример, когда фигура ограничена линиями, заданными в прямоугольной системе координат. Площадь такой фигуры намного проще вычислять, используя полярные координаты.