Метода Гаусса: примеры решения СЛАУ

31 марта 2023
15 минут
10 439

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В данной статье мы:

дадим определение методу Гаусса,
разберем алгоритм действий при решении линейных уравнений, где количество уравнений совпадает c количеством неизвестных переменных, а определитель не равен нулю;
разберем алгоритм действий при решении СЛАУ с прямоугольной или вырожденной матрицей.

Метод Гаусса — что это такое?

Определение 1

Метод Гаусса — это метод, который применяется при решении систем линейных алгебраических уравнений и имеет следующие преимущества:

отсутствует необходимость проверять систему уравнений на совместность;
есть возможность решать системы уравнений, где:
количество определителей совпадает с количеством неизвестных переменных;
количество определителей не совпадает с количеством неизвестных переменных;
определитель равен нулю.
результат выдается при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Основные определения и обозначения

Пример 1

Есть система из $р$ линейных уравнений с $n$ неизвестными ( $p$ может быть равно $n$ ):

$\{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + . . . + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + . . . + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \\ \dots \\ a_{p 1} x_{1} + a_{p 2} x_{2} + . . . + a_{p n} x_{n} = b_{p} \end{cases}$ ,

где $x_{1}, x_{2}, . . . ., x_{n}$ — неизвестные переменные, $a_{i j}, i = 1, 2 . . ., p, j = 1, 2 . . ., n$ — числа (действительные или комплексные), $b_{1}, b_{2}, . . ., b_{n}$ — свободные члены.

Определение 2

Если $b_{1} = b_{2} = . . . = b_{n} = 0$ , то такую систему линейных уравнений называют однородной, если наоборот — неоднородной.

Определение 3

Решение СЛАУ — совокупность значения неизвестных переменных $x_{1} = a_{1}, x_{2} = a_{2}, . . ., x_{n} = a_{n}$ , при которых все уравнения системы становятся тождественными друг другу.

Определение 4

Совместная СЛАУ — система, для которой существует хотя бы один вариант решения. В противном случае она называется несовместной.

Определение 5

Определенная СЛАУ — это такая система, которая имеет единственное решение. В случае, если решений больше одного, то такая система будет называться неопределенной.

Определение 6

Координатный вид записи:

Определение 7

Матричный вид записи: $A X = B$ , где

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{p 1} & a_{p 2} & \dots & a_{p n} \end{matrix})$ - основная матрица СЛАУ;

$X = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})$ - матрица-столбец неизвестных переменных;

$B = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix})$ - матрица свободных членов.

Определение 8

Расширенная матрица — матрица, которая получается при добавлении в качестве $(n + 1)$ столбца матрицу-столбец свободных членов и имеет обозначение $Т$ .

$T = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ⋮ & a_{1 n} b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & ⋮ & a_{2 n} b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ ⋮ \\ a_{p 1} & a_{p 2} & ⋮ & a_{p n} b_{n} \end{matrix})$

Определение 9

Вырожденная квадратная матрица $А$ — матрица, определитель которой равняется нулю. Если определитель не равен нулю, то такая матрица, а потом называется невырожденной.

Описание алгоритма использования метода Гаусса для решения СЛАУ с равным количеством уравнений и неизвестных (обратный и прямой ход метода Гаусса)

Для начала разберемся с определениями прямого и обратного ходов метода Гаусса.

Определение 10

Прямой ход Гаусса — процесс последовательного исключения неизвестных.

Определение 11

Обратный ход Гаусса — процесс последовательного нахождения неизвестных от последнего уравнения к первому.

Алгоритм метода Гаусса:

Пример 2

Решаем систему из $n$ линейных уравнений с $n$ неизвестными переменными:

$\{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + a_{13} x_{3} + . . . + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + a_{23} x_{3} + . . . + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \\ a_{31} x_{1} + a_{32} x_{2} + a_{33} x_{3} + . . . + a_{3 n} x_{n} = b_{3} \\ \dots \\ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + a_{n 3} x_{3} + . . . + a_{n n} x_{n} = b_{n} \end{cases}$

Определитель матрицы не равен нулю.

$a_{11}$ не равен нулю - всегда можно добиться этого перестановкой уравнений системы;
исключаем переменную $x_{1}$ из всех уравнений систему, начиная со второго;
прибавим ко второму уравнению системы первое, которое умножено на $- \frac{a_{21}}{a_{11}}$ , прибавим к третьему уравнению первое умноженное на $- \frac{a_{21}}{a_{11}}$ и т.д.

После проведенных действий матрица примет вид:

$\{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + a_{13} x_{3} + . . . + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ {a^{(1)}}_{22} x_{2} + {a^{(1)}}_{23} x_{3} + . . . + {a^{(1)}}_{2 n} x_{n} = {b^{(1)}}_{2} \\ {a^{(1)}}_{32} x_{2} + {a^{(1)}}_{33} x_{3} + . . . + {a^{(1)}}_{3 n} x_{n} = {b^{(1)}}_{3} \\ \dots \\ {a^{(1)}}_{n 2} x_{2} + {a^{(1)}}_{n 3} x_{3} + . . . + {a^{(1)}}_{n n} x_{n} = {b^{(1)}}_{n} \end{cases}$ ,

где ${a_{i j}}^{(1)} = a_{i j} + a_{1 j} (- \frac{a_{i 1}}{a_{11}}), i = 2, 3, . . ., n, j = 2, 3, . . ., n, {b_{i}}^{(1)} = b_{i} + b_{1} (- \frac{a_{i 1}}{a_{11}}), i = 2, 3, . . ., n .$

Далее производим аналогичные действия с выделенной частью системы:

Считается, что ${a_{22}}^{(1)}$ не равна нулю. Таким образом, приступаем к исключению неизвестной переменной $x_{2}$ из всех уравнений, начиная с третьего:

к третьему уравнению систему прибавляем второе, которое умножено на $- \frac{{a^{(1)}}_{42}}{{a^{(1)}}_{22}}$ ;
к четвертому прибавляем второе, которое умножено на $- \frac{{a^{(1)}}_{42}}{{a^{(1)}}_{22}}$ и т.д.

После таких манипуляций СЛАУ имеет следующий вид:

$\{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + a_{13} x_{3} + . . . + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ {a^{(1)}}_{22} x_{2} + {a^{(1)}}_{23} x_{3} + . . . + {a^{(1)}}_{2 n} x_{n} = {b^{(1)}}_{2} \\ {a^{(2)}}_{33} x_{3} + . . . + {a^{(2)}}_{3 n} x_{n} = {b^{(2)}}_{3} \\ \dots \\ {a^{(2)}}_{n 3} x_{3} + . . . + {a^{(2)}}_{n n} x_{n} = {b^{(2)}}_{n} \end{cases}$ ,

где ${a_{i j}}^{(2)} = {a^{(1)}}_{i j} + a_{2 j} (- \frac{{a^{(1)}}_{i 2}}{{a^{(1)}}_{22}}), i = 3, 4, . . ., n, j = 3, 4, . . ., n, {b_{i}}^{(2)} = {b^{(1)}}_{i} + {b^{(1)}}_{2} (- \frac{{a^{(1)}}_{i 2}}{{a^{(1)}}_{22}}), i = 3, 4, . . ., n .$ .

Таким образом, переменная $x_{2}$ исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Далее приступаем к исключению неизвестной $x_{3}$ , действуя по аналоги с предыдущим образцом:

$\{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + a_{13} x_{3} + . . . + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ {a^{(1)}}_{22} x_{2} + {a^{(1)}}_{23} x_{3} + . . . + {a^{(1)}}_{2 n} x_{n} = {b^{(1)}}_{2} \\ {a^{(2)}}_{33} x_{3} + . . . + {a^{(2)}}_{3 n} x_{n} = {b^{(2)}}_{3} \\ \dots \\ {a^{(n - 1)}}_{n n} x_{n} = {b^{(n - 1)}}_{n} \end{cases}$

Примечание

После того как система приняла такой вид, можно начать обратный ход метода Гаусса:

вычисляем $x_{n}$ из последнего уравнения как $x_{n} = \frac{{b_{n}}^{(n - 1)}}{{a_{n n}}^{(n - 1)}}$ ;
с помощью полученного $x_{n}$ находим $x_{n - 1}$ из предпоследнего уравнения и т.д., находим $x_{1}$ из первого уравнения.

Пример 3

Найти решение системы уравнений методом Гаусса:

$\{\begin{cases} 3 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + x_{4} = - 2 \\ x_{1} - x_{2} + 4 x_{3} - x_{4} = - 1 \\ - 2 x_{1} - 2 x_{2} - 3 x_{3} + x_{4} = 9 \\ x_{1} + 5 x_{2} - x_{3} + 2 x_{4} = 4 \end{cases}$

Как решать?

Коэффициент $a_{11}$ отличен от нуля, поэтому приступаем к прямому ходу решения, т.е. к исключению переменной $x_{11}$ из всех уравнений системы, кроме первого. Для того, чтобы это сделать, прибавляем к левой и правой частям 2-го, 3-го и 4-го уравнений левую и правую часть первого, которая умножена на $- \frac{a_{21}}{a_{11}}$ :

$- \frac{1}{3}, - \frac{а_{31}}{а_{11}} = - \frac{- 2}{3} = \frac{2}{3} и - \frac{а_{41}}{а_{11}} = - \frac{1}{3}$ .

$\{\begin{cases} 3 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + x_{4} = - 2 \\ x_{1} - x_{2} + 4 x_{3} - x_{4} = - 1 \\ - 2 x_{1} - 2 x_{2} - 3 x_{3} + x_{4} = 9 \\ x_{1} + 5 x_{2} - x_{3} + 2 x_{4} = 4 \end{cases} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + x_{4} = - 2 \\ x_{1} - x_{2} + 4 x_{3} - x_{4} + (- \frac{1}{3}) (3 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + x_{4}) = - 1 + (- \frac{1}{3}) (- 2) \\ - 2 x_{1} - 2 x_{2} - 3 x_{3} + x_{4} + \frac{2}{3} (3 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + x_{4}) = 9 + \frac{2}{3} (- 2) \\ x_{1} + 5 x_{2} - x_{3} + 2 x_{4} + (- \frac{1}{3}) (3 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + x_{4}) = 4 + (- \frac{1}{3}) (- 2) \end{cases} \Leftrightarrow$

Мы исключили неизвестную переменную $x_{1}$ , теперь приступаем к исключению переменной $x_{2}$ :

$- \frac{{a_{32}}^{(1)}}{{a_{22}}^{(1)}} = - \frac{- \frac{2}{3}}{- \frac{5}{3}} = - \frac{2}{5} и \frac{{а_{42}}^{(1)}}{{а_{22}}^{(1)}} = - \frac{\frac{13}{3}}{- \frac{5}{3}} = \frac{13}{5} :$

$\{\begin{cases} 3 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + x_{4} = - 2 \\ - \frac{5}{3} x_{2} + \frac{11}{3} x_{3} - \frac{4}{3} x_{4} = - \frac{1}{3} \\ - \frac{2}{3} x_{2} - \frac{7}{3} x_{3} + \frac{5}{3} x_{4} = \frac{23}{3} \\ \frac{13}{3} x_{2} - \frac{4}{3} x_{3} + \frac{5}{3} x_{4} = \frac{14}{3} \end{cases} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + x_{4} = - 2 \\ - \frac{5}{3} x_{2} + \frac{11}{3} x_{3} - \frac{4}{3} x_{4} = - \frac{1}{3} \\ - \frac{2}{3} x_{2} - \frac{7}{3} x_{3} + \frac{5}{3} x_{4} + (- \frac{2}{5}) (- \frac{5}{3} x_{2} + \frac{11}{3} x_{3} - \frac{4}{3} x_{4}) = \frac{23}{3} + (- \frac{2}{5}) (- \frac{1}{3}) \\ \frac{13}{3} x_{2} - \frac{4}{3} x_{3} + \frac{5}{3} x_{4} + \frac{13}{5} (- \frac{5}{3} x_{2} + \frac{11}{3} x_{3} - \frac{4}{3} x_{4}) = \frac{14}{3} + \frac{13}{5} (- \frac{1}{3}) \end{cases} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + x_{4} = - 2 \\ - \frac{5}{3} x_{2} + \frac{11}{3} x_{3} - \frac{4}{3} x_{4} = - \frac{1}{3} \\ - \frac{19}{5} x_{3} + \frac{11}{5} x_{4} = \frac{39}{5} \\ \frac{41}{5} x_{3} - \frac{9}{5} x_{4} = \frac{19}{5} \end{cases}$

Для того чтобы завершить прямой ход метода Гаусса, необходимо исключить $x_{3}$ из последнего уравнения системы $- \frac{{а_{43}}^{(2)}}{{а_{33}}^{(2)}} = - \frac{\frac{41}{5}}{- \frac{19}{5}} = \frac{41}{19}$ :

$\{\begin{cases} 3 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + x_{4} = - 2 \\ - \frac{5}{3} x_{2} + \frac{11}{3} x_{3} - \frac{4}{3} x_{4} = - \frac{1}{3} \\ - \frac{19}{5} x_{3} + \frac{11}{5} x_{4} = \frac{39}{5} \\ \frac{41}{5} x_{3} - \frac{9}{5} x_{4} = \frac{19}{5} \end{cases} \Leftrightarrow$

Обратный ход метода Гаусса:

из последнего уравнения имеем: $x_{4} = \frac{\frac{392}{19}}{\frac{56}{19}} = 7$ ;
из 3-го уравнения получаем: $x_{3} = - \frac{5}{19} (\frac{39}{5} - \frac{11}{5} x_{4}) = - \frac{5}{19} (\frac{39}{5} - \frac{11}{5} \times 7) = \frac{38}{19} = 2$ ;
из 2-го: $x_{2} = - \frac{3}{5} (- \frac{1}{3} - \frac{11}{3} x_{4} + \frac{4}{3} x_{4}) = - \frac{3}{5} (- \frac{1}{3} - \frac{11}{3} \times 2 + \frac{4}{3} \times 7) = - 1$ ;
из 1-го: $x_{1} = \frac{1}{3} (- 2 - 2 x_{2} - x_{3} - x_{4}) = \frac{- 2 - 2 \times (- 1) - 2 - 7}{3} = - \frac{9}{3} = - 3$ .

Ответ: $x_{1} = - 3; x_{2} = - 1; x_{3} = 2; x_{4} = 7$

Пример 4

Найти решение этого же примера методом Гаусса в матричной форме записи:

$\{\begin{cases} 3 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + x_{4} = - 2 \\ x_{1} - x_{2} + 4 x_{3} - x_{4} = - 1 \\ - 2 x_{1} - 2 x_{2} - 3 x_{3} + x_{4} = 9 \\ x_{1} + 5 x_{2} - x_{3} + 2 x_{4} = 4 \end{cases}$

Как решать?

Расширенная матрица системы представлена в виде:

$x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} (\begin{matrix} 3 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 4 & - 1 \\ - 2 & - 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 5 & - 1 & 2 \end{matrix}) \begin{matrix} - 2 \\ - 1 \\ 9 \\ 4 \end{matrix}$

Прямой ход метода Гаусса в данном случае предполагает приведение расширенной матрицы к трапецеидальному виду при помощи элементарных преобразований. Этот процесс очень поход на процесс исключения неизвестных переменных в координатном виде.

Преобразование матрицы начинается с превращения всех элементов нулевые. Для этого к элементам 2-ой, 3-ей и 4-ой строк прибавляем соответствующие элементы 1-ой строки, которые умножены на $- \frac{a_{21}}{a_{11}} = - \frac{1}{3}, - \frac{a_{31}}{a_{11}} = - \frac{- 2}{3} = \frac{2}{3} и н а - \frac{а_{41}}{а_{11}} = - \frac{1}{3} .$

Дальнейшие преобразования происходит по такой схеме: все элементы во 2-ом столбце, начиная с 3-ей строки, становятся нулевыми. Такой процесс соответствует процессу исключения переменной . Для того, чтобы выполнить этой действие, необходимо к элементам 3-ей и 4-ой строк прибавить соответствующие элементы 1-ой строки матрицы, которая умножена на $- \frac{{а_{32}}^{(1)}}{{а_{22}}^{(1)}} = \frac{- \frac{2}{3}}{- \frac{5}{3}} = - \frac{2}{5} и - \frac{{а_{42}}^{(1)}}{{а_{22}}^{(1)}} = - \frac{\frac{13}{3}}{- \frac{5}{3}} = \frac{13}{5}$ :

$x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} (\begin{matrix} 3 & 2 & 1 & 1 & | & - 2 \\ 0 & - \frac{5}{3} & \frac{11}{3} & - \frac{4}{3} & | & - \frac{1}{3} \\ 0 & - \frac{2}{3} & - \frac{7}{3} & \frac{5}{3} & | & \frac{23}{3} \\ 0 & \frac{13}{3} & - \frac{4}{3} & \frac{5}{3} & | & \frac{14}{3} \end{matrix}) ~$

$x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} ~ (\begin{matrix} 3 & 2 & 1 & 1 & | & - 2 \\ 0 & - \frac{5}{3} & \frac{11}{3} & - \frac{4}{3} & | & - \frac{1}{3} \\ 0 & - \frac{2}{3} + (- \frac{2}{5}) (- \frac{5}{3}) & - \frac{7}{3} + (- \frac{2}{5}) \frac{11}{3} & \frac{5}{3} + (- \frac{2}{5}) (- \frac{4}{3}) & | & \frac{23}{3} + (- \frac{2}{5}) (- \frac{1}{3}) \\ 0 & \frac{13}{3} + \frac{13}{5} (- \frac{5}{3}) & - \frac{4}{3} + \frac{13}{5} \times \frac{11}{3} & \frac{5}{3} + \frac{13}{5} (- \frac{4}{3}) & | & \frac{14}{3} + \frac{13}{5} (- \frac{1}{3}) \end{matrix}) ~$

$x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} ~ (\begin{matrix} 3 & 2 & 1 & 1 & | & - 2 \\ 0 & - \frac{5}{3} & \frac{11}{3} & - \frac{4}{3} & | & - \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & - \frac{19}{5} & \frac{11}{5} & | & \frac{39}{5} \\ 0 & 0 & \frac{41}{5} & - \frac{9}{5} & | & \frac{19}{5} \end{matrix})$

Теперь исключаем переменную $x_{3}$ из последнего уравнения — прибавляем к элементам последней строки матрицы соответствующие элементы последней строки, которая умножена на $\frac{{а_{43}}^{(2)}}{{а_{33}}^{(2)}} = - \frac{\frac{41}{5}}{- \frac{19}{5}} = \frac{41}{19}$ .

$x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} (\begin{matrix} 3 & 2 & 1 & 1 & | & - 2 \\ 0 & - \frac{5}{3} & \frac{11}{3} & - \frac{4}{3} & | & - \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & - \frac{19}{5} & \frac{11}{5} & | & \frac{39}{5} \\ 0 & 0 & \frac{41}{5} & - \frac{9}{5} & | & \frac{19}{5} \end{matrix}) ~$

Теперь применим обратных ход метода. В матричной форме записи такое преобразование матрицы, чтобы матрица, которая отмечена цветом на изображении:

$x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} (\begin{matrix} 3 & 2 & 1 & 1 & | & - 2 \\ 0 & - \frac{5}{3} & \frac{11}{3} & - \frac{4}{3} & | & - \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & - \frac{19}{5} & \frac{11}{5} & | & \frac{39}{5} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{56}{19} & | & \frac{392}{19} \end{matrix})$

стала диагональной, т.е. приняла следующий вид:

$x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} (\begin{matrix} 3 & 0 & 0 & 0 & | & а_{1} \\ 0 & - \frac{5}{3} & 0 & 0 & | & а_{2} \\ 0 & 0 & - \frac{19}{5} & 0 & | & а_{3} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{56}{19} & | & \frac{392}{19} \end{matrix})$ , где $а_{1}, а_{2}, а_{3}$ - некоторые числа.

Такие преобразования выступают аналогом прямому ходу, только преобразования выполняются не от 1-ой строки уравнения, а от последней. Прибавляем к элементам 3-ей, 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы последней строки, которая умножена на

$- \frac{\frac{11}{5}}{\frac{56}{19}} = - \frac{209}{280}, н а - \frac{- \frac{4}{3}}{\frac{56}{19}} = \frac{19}{42} и н а - \frac{1}{\frac{56}{19}} = \frac{19}{56}$ .

$x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} (\begin{matrix} 3 & 2 & 1 & 1 & | & - 2 \\ 0 & - \frac{5}{3} & \frac{11}{3} & - \frac{4}{3} & | & - \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & - \frac{19}{5} & \frac{11}{5} & | & \frac{39}{5} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{56}{19} & | & \frac{392}{19} \end{matrix}) ~$

$x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} ~ (\begin{matrix} 3 & 2 & 1 & 1 + (- \frac{19}{56}) \frac{56}{19} & | & - 2 + (- \frac{19}{56}) \frac{392}{19} \\ 0 & - \frac{5}{3} & \frac{11}{3} & - \frac{4}{3} + \frac{19}{42} \times \frac{56}{19} & | & - \frac{1}{3} + \frac{19}{42} \times \frac{392}{19} \\ 0 & 0 & - \frac{19}{5} & \frac{11}{5} + (- \frac{209}{280}) \frac{56}{19} & | & \frac{39}{5} + (- \frac{209}{280}) \frac{392}{19} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{56}{19} & | & \frac{392}{19} \end{matrix}) ~$

$x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} ~ (\begin{matrix} 3 & 2 & 1 & 0 & | & - 9 \\ 0 & - \frac{5}{3} & \frac{11}{3} & 0 & | & 9 \\ 0 & 0 & - \frac{19}{5} & 0 & | & - \frac{38}{5} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{56}{19} & | & \frac{392}{19} \end{matrix})$

Далее прибавляем к элементам 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы 3-ей строки, которые умножены на

$- \frac{\frac{11}{3}}{- \frac{19}{5}} = \frac{55}{57} и н а - \frac{1}{- \frac{19}{5}} = \frac{5}{19}$ .

$x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} (\begin{matrix} 3 & 2 & 1 & 0 & | & - 9 \\ 0 & - \frac{5}{3} & \frac{11}{3} & 0 & | & 9 \\ 0 & 0 & - \frac{19}{5} & 0 & | & - \frac{38}{5} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{56}{19} & | & \frac{392}{19} \end{matrix}) ~$

$x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} ~ (\begin{matrix} 3 & 2 & 1 + \frac{5}{19} (- \frac{19}{5}) & 0 & | & - 9 + \frac{5}{19} (- \frac{38}{5}) \\ 0 & - \frac{5}{3} & \frac{11}{3} + \frac{55}{57} (- \frac{19}{5}) & 0 & | & 9 + \frac{55}{57} (- \frac{38}{5}) \\ 0 & 0 & - \frac{19}{5} & 0 & | & - \frac{38}{5} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{56}{19} & | & \frac{392}{19} \end{matrix}) ~$

$x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} ~ (\begin{matrix} 3 & 2 & 1 & 0 & | & - 11 \\ 0 & - \frac{5}{3} & 0 & 0 & | & \frac{5}{3} \\ 0 & 0 & - \frac{19}{5} & 0 & | & - \frac{38}{5} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{56}{19} & | & \frac{392}{19} \end{matrix})$

На последнем этапе прибавляем элементы 2-ой строки к соответствующим элементам 1-ой строки, которые умножены на $- \frac{2}{- \frac{5}{3}} = \frac{6}{5}$ .

$x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} (\begin{matrix} 3 & 2 & 1 & 0 & | & - 11 \\ 0 & - \frac{5}{3} & 0 & 0 & | & \frac{5}{3} \\ 0 & 0 & - \frac{19}{5} & 0 & | & - \frac{38}{5} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{56}{19} & | & \frac{392}{19} \end{matrix}) ~$

$x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} ~ (\begin{matrix} 3 & 2 + \frac{6}{5} (- \frac{5}{3}) & 0 & 0 & | & - 11 + \frac{6}{5} \times \frac{5}{3}) \\ 0 & - \frac{5}{3} & 0 & 0 & | & \frac{5}{3} \\ 0 & 0 & - \frac{19}{5} & 0 & | & - \frac{38}{5} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{56}{19} & | & \frac{392}{19} \end{matrix}) ~$

$x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} ~ (\begin{matrix} 3 & 0 & 0 & 0 & | & - 9 \\ 0 & - \frac{5}{3} & 0 & 0 & | & \frac{5}{3} \\ 0 & 0 & - \frac{19}{5} & 0 & | & - \frac{38}{5} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{56}{19} & | & \frac{392}{19} \end{matrix})$

Полученная матрица соответствует системе уравнений

$\{\begin{cases} 3 x_{1} = - 9 \\ - \frac{5}{3} x_{2} = \frac{5}{3} \\ - \frac{19}{5} x_{3} = - \frac{38}{5} \\ \frac{56}{19} x_{4} = \frac{392}{19} \end{cases}$ , откуда находим неизвестные переменные.

Ответ: $x_{1} = - 3, x_{2} = - 1, x_{3} = 2, x_{4} = 7 .$

Описание алгоритма использования метода Гаусса для решения СЛАУ с несовпадающим количеством уравнений и неизвестных, или с вырожденной системой матрицы

Определение 2

Если основная матрица квадратная или прямоугольная, то системы уравнений могут иметь единственное решение, могут не иметь решений, а могут иметь бесконечное множество решений.

Из данного раздела мы узнаем, как с помощью метода Гаусса определить совместность или несовместность СЛАУ, а также, в случае совместности, определить количество решений для системы.

В принципе, метод исключения неизвестных при таких СЛАУ остается таким же, однако есть несколько моментов, на которых необходимо заострить внимание.

Пример 5

На некоторых этапах исключения неизвестных, некоторые уравнения обращаются в тождества 0=0. В таком случае, уравнения можно смело убрать из системы и продолжить прямой ход метода Гаусса.

Если мы исключаем из 2-го и 3-го уравнения $x_{1}$ , то ситуация оказывается следующей:

$\{\begin{cases} x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} + 3 x_{4} = 7 \\ 2 x_{1} + 4 x_{2} - 2 x_{3} + 6 x_{4} = 14 \\ x - x + 3 x + x = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow$

$\{\begin{cases} x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} + 3 x_{4} = 7 \\ 2 x_{1} + 4 x_{2} - 2 x_{3} + 6 x_{4} + (- 2) (x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} + 3 x_{4}) = 14 + (- 2) \times 7 \\ x - x + 3 x + x + (- 1) (x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} + 3 x_{4}) = - 1 + (- 1) \times 7 \end{cases} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} + 3 x_{4} = 7 \\ 0 = 0 \\ - 3 x_{2} + 4 x_{3} - 2 x_{4} = - 8 \end{cases}$

Из этого следует, что 2-ое уравнение можно смело удалять из системы и продолжать решение.

Если мы проводим прямой ход метода Гаусса, то одно или несколько уравнений может принять вид — некоторое число, которое отлично от нуля.

Это свидетельствует о том, что уравнение, обратившееся в равенство $0 = λ$ , не может обратиться в равенство ни при каких любых значениях переменных. Проще говоря, такая система несовместна (не имеет решения).

Итог:

В случае если при проведении прямого хода метода Гаусса одно или несколько уравнений принимают вид $0 = λ$ , где $λ$ — некоторое число, которое отлично от нуля, то система несовместна.
Если же в конце прямого хода метода Гаусса получается система, число уравнений которой совпадает с количеством неизвестных, то такая система совместна и определена: имеет единственное решение, которое вычисляется обратным ходом метода Гаусса.
Если при завершении прямого хода метода Гаусса число уравнений в системе оказывается меньше количества неизвестных, то такая система совместна и имеет бесконечно количество решений, которые вычисляются при обратном ходе метода Гаусса.