Метода Гаусса: примеры решения СЛАУ

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Содержание:

 В данной статье мы:

  • дадим определение методу Гаусса,
  • разберем алгоритм действий при решении линейных уравнений, где количество уравнений совпадает c количеством неизвестных переменных, а определитель не равен нулю;
  • разберем алгоритм действий при решении СЛАУ с прямоугольной или вырожденной матрицей.

Метод Гаусса — что это такое?

Определение 1

Метод Гаусса — это метод, который применяется при решении систем линейных алгебраических уравнений и имеет следующие преимущества:

  • отсутствует необходимость проверять систему уравнений на совместность;
  • есть возможность решать системы уравнений, где:
  • количество определителей совпадает с количеством неизвестных переменных;
  • количество определителей не совпадает с количеством неизвестных переменных;
  • определитель равен нулю.
  • результат выдается при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Основные определения и обозначения

Замечание 1

Есть система из  линейных уравнений с  неизвестными ( может быть равно ):

,

где  — неизвестные переменные,  — числа (действительные или комплексные),  — свободные члены.

Определение 2

Если , то такую систему линейных уравнений называют однородной, если наоборот — неоднородной.

Определение 3

Решение СЛАУ — совокупность значения неизвестных переменных , при которых все уравнения системы становятся тождественными друг другу.

Определение 4

Совместная СЛАУ — система, для которой существует хотя бы один вариант решения. В противном случае она называется несовместной.

Определение 5

Определенная СЛАУ — это такая система, которая имеет единственное решение. В случае, если решений больше одного, то такая система будет называться неопределенной.

Определение 6

Координатный вид записи:

Определение 7

Матричный вид записи: , где

 - основная матрица СЛАУ;

 - матрица-столбец неизвестных переменных;

 - матрица свободных членов.

Определение 8

Расширенная матрица — матрица, которая получается при добавлении в качестве  столбца матрицу-столбец свободных членов и имеет обозначение .

Определение 9

Вырожденная квадратная матрица  — матрица, определитель которой равняется нулю. Если определитель не равен нулю, то такая матрица, а потом называется невырожденной.

Описание алгоритма использования метода Гаусса для решения СЛАУ с равным количеством уравнений и неизвестных (обратный и прямой ход метода Гаусса)

Для начала разберемся с определениями прямого и обратного ходов метода Гаусса.

Определение 10

Прямой ход Гаусса — процесс последовательного исключения неизвестных.

Определение 11

Обратный ход Гаусса — процесс последовательного нахождения неизвестных от последнего уравнения к первому.

Алгоритм метода Гаусса:

Замечание 2

Решаем систему из  линейных уравнений с  неизвестными переменными:

Определитель матрицы не равен нулю.

  1.  не равен нулю - всегда можно добиться этого перестановкой уравнений системы;
  2. исключаем переменную  из всех уравнений систему, начиная со второго;
  3. прибавим ко второму уравнению системы первое, которое умножено на , прибавим к третьему уравнению первое умноженное на  и т.д.

После проведенных действий матрица примет вид:

,

где 

Далее производим аналогичные действия с выделенной частью системы:

Считается, что  не равна нулю. Таким образом, приступаем к исключению неизвестной переменной  из всех уравнений, начиная с третьего:

  • к третьему уравнению систему прибавляем второе, которое умножено на ;
  • к четвертому прибавляем второе, которое умножено на  и т.д.

После таких манипуляций СЛАУ имеет следующий вид:

,

где .

Таким образом, переменная  исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Далее приступаем к исключению неизвестной , действуя по аналоги с предыдущим образцом:

Примечание

После того как система приняла такой вид, можно начать обратный ход метода Гаусса:

  • вычисляем  из последнего уравнения как ;
  • с помощью полученного  находим  из предпоследнего уравнения и т.д., находим  из первого уравнения.
Пример 1

Найти решение системы уравнений методом Гаусса:

Решение

Коэффициент отличен от нуля, поэтому приступаем к прямому ходу решения, т.е. к исключению переменной из всех уравнений системы, кроме первого. Для того, чтобы это сделать, прибавляем к левой и правой частям 2-го, 3-го и 4-го уравнений левую и правую часть первого, которая умножена на :

.

Мы исключили неизвестную переменную , теперь приступаем к исключению переменной :

Для того чтобы завершить прямой ход метода Гаусса, необходимо исключить  из последнего уравнения системы  :

Обратный ход метода Гаусса:

  • из последнего уравнения имеем: ;
  • из 3-го уравнения получаем: ;
  • из 2-го: ;
  • из 1-го: .

Ответ

Пример 2

Найти решение этого примера методом Гаусса в матричной форме записи:

Решение

Расширенная матрица системы представлена в виде:

Прямой ход метода Гаусса в данном случае предполагает приведение расширенной матрицы к трапецеидальному виду при помощи элементарных преобразований. Этот процесс очень поход на процесс исключения неизвестных переменных в координатном виде.

Преобразование матрицы начинается с превращения всех элементов нулевые. Для этого к элементам 2-ой, 3-ей и 4-ой строк прибавляем соответствующие элементы 1-ой строки, которые умножены на 

Дальнейшие преобразования происходит по такой схеме: все элементы во 2-ом столбце, начиная с 3-ей строки, становятся нулевыми. Такой процесс соответствует процессу исключения переменной  . Для того, чтобы выполнить этой действие, необходимо к элементам 3-ей и 4-ой строк прибавить соответствующие элементы 1-ой строки матрицы, которая умножена на :

Теперь исключаем переменную  из последнего уравнения — прибавляем к элементам последней строки матрицы соответствующие элементы последней строки, которая умножена на .

Теперь применим обратных ход метода. В матричной форме записи такое преобразование матрицы, чтобы матрица, которая отмечена цветом на изображении:

стала диагональной, т.е. приняла следующий вид:

, где  - некоторые числа.

Такие преобразования выступают аналогом прямому ходу, только преобразования выполняются не от 1-ой строки уравнения, а от последней. Прибавляем к элементам 3-ей, 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы последней строки, которая умножена на

.

Далее прибавляем к элементам 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы 3-ей строки, которые умножены на

.

На последнем этапе прибавляем элементы 2-ой строки к соответствующим элементам 1-ой строки, которые умножены на .

Полученная матрица соответствует системе уравнений

, откуда находим неизвестные переменные.

Ответ: ​​​

Описание алгоритма использования метода Гаусса для решения СЛАУ с несовпадающим количеством уравнений и неизвестных, или с вырожденной системой матрицы

Определение 2

Если основная матрица квадратная или прямоугольная, то системы уравнений могут иметь единственное решение, могут не иметь решений, а могут иметь бесконечное множество решений.

Из данного раздела мы узнаем, как с помощью метода Гаусса определить совместность или несовместность СЛАУ, а также, в случае совместности, определить количество решений для системы.

В принципе, метод исключения неизвестных при таких СЛАУ остается таким же, однако есть несколько моментов, на которых необходимо заострить внимание.

Замечание 3

На некоторых этапах исключения неизвестных, некоторые уравнения обращаются в тождества 0=0. В таком случае, уравнения можно смело убрать из системы и продолжить прямой ход метода Гаусса.

Если мы исключаем из 2-го и 3-го уравнения , то ситуация оказывается следующей:

Из этого следует, что 2-ое уравнение можно смело удалять из системы и продолжать решение.

Если мы проводим прямой ход метода Гаусса, то одно или несколько уравнений может принять вид   — некоторое число, которое отлично от нуля.

Это свидетельствует о том, что уравнение, обратившееся в равенство , не может обратиться в равенство ни при каких любых значениях переменных. Проще говоря, такая система несовместна (не имеет решения).

Итог:

  • В случае если при проведении прямого хода метода Гаусса одно или несколько уравнений принимают вид , где  — некоторое число, которое отлично от нуля, то система несовместна.
  • Если же в конце прямого хода метода Гаусса получается система, число уравнений которой совпадает с количеством неизвестных, то такая система совместна и определена: имеет единственное решение, которое вычисляется обратным ходом метода Гаусса.
  • Если при завершении прямого хода метода Гаусса число уравнений в системе оказывается меньше количества неизвестных, то такая система совместна и имеет бесконечно количество решений, которые вычисляются при обратном ходе метода Гаусса.

Математические онлайн-калькуляторы

Навигация по статьям

Выполненные работы по математике

  • Математика

    Линейная алгебра и геометрия Теория вероятностей

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      17 мая 2012

    • Стоимость:

      600 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    теория вероятности

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      16 апреля 2012

    • Стоимость:

      500 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    теория вероятности

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      16 апреля 2012

    • Стоимость:

      500 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    исследование функции и построение графика

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      27 марта 2012

    • Стоимость:

      200 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    две контрольных работы

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      25 января 2012

    • Стоимость:

      1 100 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    контрольная работа

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      24 января 2012

    • Стоимость:

      700 руб.

    Заказать такую же работу