Метод Крамера для решения СЛАУ: алгоритм, примеры задач

В данной статье мы разберем, как найти неизвестные переменные по методу Крамера и опишем решение систем линейных уравнений.

Определение 1

Метод Крамера предназначен для того, чтобы решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равняется числу уравнений, а определитель основной матрицы не равен нулю.

Метод Крамера — вывод формул

Условие

Найти решение системы линейных уравнений вида:

${\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + . . . + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + . . . + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \\ ⋮ \\ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + . . . + a_{n n} x_{n} = b_{n} \end{cases}$

В этой системе $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ - неизвестные переменные,

$a_{i j}, i = 1, 2, . . ., n; j = 1, 2, . . ., n$ - числовые коэффициенты,

$b_{1}, b_{2}, . . ., b_{n}$ - свободные члены.

Решение такой системы линейных алгебраических уравнений — набор значений $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ , при которых все уравнения системы становятся тождественными.

Матричный вид записи такой системы линейных уравнений:

$A X = B$ , где $A = (\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array})$ — основная матрица системы, в которой ее элементы — это коэффициенты при неизвестных переменных;

$B = (\begin{array}{l} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{array})$ — матрица-столбец свободных членов;

$X = (\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array})$ — матрица-столбец неизвестных переменных.

После того как мы найдем неизвестные переменные $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ , матрица $X = (\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array})$ становится решением системы уравнений, а равенство $A X = B$ обращается в тождество.

Метод Крамера основан на 2-х свойствах определителя матрицы:

Определитель квадратной матрицы $A = | | a_{i j} | |, i = 1, 2, . . ., n; j = 1, 2, . . ., n$ равняется сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

$| \begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |$ $= a_{p 1} \times A_{p 1} + a_{p 2} \times A_{p 2} + . . . + a_{p n} \times A_{p n} = a_{1 q} \times A_{1 q} + a_{2 q} \times A_{2 q} + . . . + a_{n q} \times A_{n q}$

Сумма произведений какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующие элементы другой матрицы равняется нулю:

$a_{p 1} \times A_{p 1} + a_{p 2} \times A_{p 2} + . . . + a_{p n} \times A_{p n} = 0 a_{1 q} \times A_{1 q} + a_{2 q} \times A_{2 q} + . . . + a_{n q} \times A_{n q} = 0$

$p = 1, 2, . . ., n, q = 1, 2, . . ., n$ $p$ не равно $q$

Приступаем к нахождению неизвестной переменной $x_{1}$ :

Умножаем обе части первого уравнения системы на $А_{11}$ , обе части второго уравнения на $А_{21}$ и т.д. Таким образом, мы умножаем уравнения системы на соответствующие алгебраические дополнения 1-го столбца матрицы $А$ :

${\begin{cases} A_{11} a_{11} x_{1} + A_{11} a_{12} x_{2} + . . . + A_{11} a_{1 n} x_{n} = A_{11} b_{1} \\ A_{21} a_{21} x_{1} + A_{21} a_{22} x_{2} + . . . + A_{21} x_{2 n} x_{n} = A_{21} b_{2} \\ \dots \\ A_{n 1} a_{n 1} x_{1} + A_{n 1} a_{n 2} x_{2} + . . . + A_{n 1} a_{n n} x_{n} = A_{n 1} b_{n} \end{cases}$

Складываем все левые части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных , и приравниваем получившуюся сумму к сумме всех правых частей уравнения:

$x_{1} (A_{11} a_{11} + A_{21} a_{21} + . . . + A_{n 1} a_{n 1}) + + x_{2} (A_{11} a_{12} + A_{21} a_{22} + . . . + A_{n 1} a_{n 2}) + + . . . + + x_{n} (A_{11} a_{1 n} + A_{21} a_{2 n} + . . . + A_{n 1} a_{n n}) = = A_{11} b_{1} + A_{21} b_{2} + . . . + A_{n 1} b_{n}$

Если воспользоваться свойствами определителя, то получится:

${\begin{cases} А_{11} а_{11} + А_{21} а_{21} + . . . + А_{n 1} a_{n 1} = | А | \\ А_{11} а_{12} + А_{21} а_{22} + . . . + А_{n 1} а_{n 2} = 0 \\ ⋮ \\ A_{11} a_{1 n} + A_{21} a_{2 n} + . . . + A_{n 1} a_{n n} = 0 \end{cases}$

$A_{11} b_{1} + A_{21} b_{2} + . . . + A_{n 1} b_{n =}$ $| \begin{array}{l} b_{1} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ b_{2} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{n} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |$

Предыдущее равенство будет иметь следующий вид:

$x_{1} | A | =$ $| \begin{array}{l} b_{1} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ b_{2} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{n} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |$ .

Откуда

$x_{1} =$ $\frac{| \begin{array}{l} b_{1} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ b_{2} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{n} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |}{| A |}$

Таким же образом находим все оставшиеся неизвестные переменные.

Если обозначить

$∆ =$ $| \begin{array}{l} b_{1} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ b_{2} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{n} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |$ , $∆_{x_{1}} =$ $| \begin{array}{l} b_{1} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ b_{2} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{n} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |$ ,

$∆_{x_{2}} =$ $| \begin{array}{l} b_{1} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ b_{2} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{n} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |$ , ... $∆_{x_{n}} =$ $| \begin{array}{l} b_{1} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ b_{2} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{n} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |$ .

то получаются формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера:

$x_{1} = \frac{∆_{x_{1}}}{∆}, x_{2} = \frac{∆_{x_{2}}}{∆}, . . ., x_{n} = \frac{∆_{x_{n}}}{∆} .$

Алгоритм решения СЛАУ методом Крамера

Необходимо вычислить определитель матрицы системы и убедиться, что он не равен нулю.
Найти определители

$∆_{x_{1}} =$ $| \begin{array}{l} b_{1} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ b_{2} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{n} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |$

$∆_{x_{2}} =$ $| \begin{array}{l} b_{1} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ b_{2} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{n} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |$

$⋮$

$∆_{x_{n}} =$ $| \begin{array}{l} b_{1} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ b_{2} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{n} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |$

Эти определители являются определителями матриц, которые получены из матрицы $А$ путем замены $k$ -столбца на столбец свободных членов.

Вычислить неизвестные переменные при помощи формул:

$x_{1} = \frac{∆_{x_{1}}}{∆}, x_{2} = \frac{∆_{x_{2}}}{∆}, . . ., x_{n} = \frac{∆_{x_{n}}}{∆} .$

Выполнить проверку результатов: если все определители являются тождествами, то решение найдено верно.

Примеры решения СЛАУ методом Крамера

Пример 1

Найти решение неоднородной системы линейных уравнений методом Крамера:

${\begin{cases} 3 x_{1} - 2 x_{2} = \frac{5}{6} \\ 2 x_{1} + 3 x_{2} = 2 \end{cases}$

Решение

Основная матрица представлена в виде $(\begin{array}{l} 3 & - 2 \\ 2 & 3 \end{array})$ .

Мы можем вычислить ее определитель по формуле:

$| \begin{array}{l} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} | = a_{11} \times a_{22} - a_{12} \times a_{21} : ∆ = | \begin{array}{l} 3 & - 2 \\ 2 & 3 \end{array} | = 3 \times 3 - (- 2) \times 2 = 9 + 4 = 13$

Записываем определители $∆_{x_{1}}$ и $∆_{x_{2}}$ . Заменяем 1-ый столбец основной матрицы на столбец свободных членов и получаем определитель $∆_{x_{1}} = | \begin{array}{l} \frac{5}{6} & - 2 \\ 2 & 3 \end{array} |$

По аналогии заменяем второй столбец основной матрицы на столбец свободных членов и получаем определитель:

$∆_{x_{2}} = | \begin{array}{l} 3 & \frac{5}{6} \\ 2 & 2 \end{array} |$

Находим эти определители:

$∆_{x_{1}} = | \begin{array}{l} \frac{5}{6} & - 2 \\ 2 & 3 \end{array} |$ $= \frac{5}{6} \times 3 - 2 (- 2) = \frac{5}{2} + 4 = \frac{13}{2}$

$∆_{x_{2}} = | \begin{array}{l} 3 & \frac{5}{6} \\ 2 & 2 \end{array} |$ $= 3 \times 2 - \frac{5}{6} \times 2 = 6 - \frac{5}{3} = \frac{13}{3}$

Находим неизвестные переменные по следующим формулам

$x_{1} = \frac{∆_{x_{1}}}{∆}, x_{2} = \frac{∆_{x_{2}}}{∆}$

$x_{1} = \frac{∆_{x_{1}}}{∆}$ $= \frac{\frac{13}{2}}{13} = \frac{1}{2}$

$x_{2} = \frac{∆_{x_{2}}}{∆}$ $= \frac{3}{13} = \frac{1}{3}$

Выполняем проверку — подставляем полученные значения переменных в в исходную систему уравнений:

${\begin{cases} 3 \frac{1}{2} - 2 \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \\ 2 \frac{1}{2} + 3 \frac{1}{3} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} \frac{5}{6} = \frac{5}{6} \\ 2 = 2 \end{cases}$

Оба уравнения превращаются в тождества, поэтому решение верное.

Ответ: $x_{1} = \frac{1}{2}, x_{2} = \frac{1}{3}$

Поскольку некоторые элементы системы линейных уравнений могут равняться нулю, то в системе не будет соответствующих неизвестных переменных.

Пример 2

Найти решение 3-х нелинейных уравнений методом Крамера с 3-мя неизвестными:

${\begin{cases} 2 y + x + z = - 1 \\ - z - y + 3 x = - 1 \\ - 2 x + 3 z + 2 y = 5 \end{cases}$

Решение

За основную матрицу нельзя брать $(\begin{array}{l} 2 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 3 \\ - 2 & 3 & 2 \end{array})$ .

Необходимо привести к общему порядку все неизвестные переменные во всех уравнениях системы:

${\begin{cases} x + 2 y + z = - 1 \\ 3 x - y - z = - 1 \\ - 2 x + 2 y + 3 z = 5 \end{cases}$

С этого момента основную матрицу хорошо видно:

$(\begin{array}{l} 1 & 2 & 1 \\ 3 & - 1 & - 1 \\ - 2 & 2 & 3 \end{array})$

Вычисляем ее определитель:

$∆ = | \begin{array}{l} 1 & 2 & 1 \\ 3 & - 1 & - 1 \\ - 2 & 2 & 3 \end{array} |$ $= 1 \times (- 1) \times 3 + 2 \times (- 1) (- 2) + 1 \times 2 \times 3 - 1 (- 1) (- 2) - 2 \times 3 \times 3 - - 1 (- 1) \times 2 = - 11$

Записываем определители и вычисляем их:

$∆_{x} = | \begin{array}{l} - 1 & 2 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 5 & 2 & 3 \end{array} | = (- 1) (- 1) \times 3 + 2 (- 1) \times 5 + 1 (- 1) \times 2 - 1 (- 1) \times 5 - 2 (- 1) \times 3 - - 1 (- 1) \times 2 = 0$

$∆_{y} = | \begin{array}{l} 1 & - 1 & 1 \\ 3 & - 1 & - 1 \\ - 2 & 5 & 3 \end{array} | = 1 (- 1) \times 3 + (- 1) (- 1) (- 2) + 1 \times 3 \times 5 - 1 (- 1) (- 2) - (- 1) - - 1 (- 1) \times 2 = 22$

$∆_{z} = | \begin{array}{l} 1 & 2 & - 1 \\ 3 & - 1 & - 1 \\ - 2 & 2 & 5 \end{array} | = 1 (- 1) \times 5 + 2 (- 1) (- 2) + (- 1) \times 3 \times 2 - (- 1) (- 1) (- 2) - 2 \times 3 \times 5 - - 1 (- 1) \times 2 = - 33$

Находим неизвестные переменные по формулам:

$x = \frac{∆_{x}}{∆},$ $y = \frac{∆_{y}}{∆},$ $z = \frac{∆_{z}}{∆} .$

$x = \frac{∆_{x}}{∆} = \frac{0}{- 11} = 0$

$y = \frac{∆_{y}}{∆} = \frac{22}{- 11} = - 2$

$z = \frac{∆_{z}}{∆} = \frac{- 33}{- 11} = 3$

Выполняем проверку — умножаем основную матрицу на полученное решение $(\begin{array}{l} 0 \\ - 2 \\ 3 \end{array})$ :

$(\begin{array}{l} 1 & 2 & 1 \\ 3 & - 1 & - 1 \\ - 2 & 2 & 3 \end{array}) \times (\begin{array}{l} 0 \\ - 2 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{l} 1 \times 0 + 2 (- 2) + 1 \times 3 \\ 3 \times 0 + (- 1) (- 2) + (- 1) \times 3 \\ (- 2) \times 0 + 2 (- 2) + 3 \times 3 \end{array}) = (\begin{array}{l} - 1 \\ - 1 \\ 5 \end{array})$

Результатом являются столбцы свободных членов исходной системы уравнений, следовательно, решение верное.

Ответ: $x = 0, y = - 2, z = 3$