Арифметические корни натуральной степени

13 февраля 2024
4 минуты
2 179

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Арифметический корень второй степени

Определение 1

Корень второй степени (квадратный корень) из числа a — это число, которое становится равным a, если его возвести во вторую степень (в квадрат).

Пример 1

$8^{2} = 8 \times 8 = 64$ - число 8 - это корень второй степени из 64

$0, 6^{2} = 0, 6 \times 0, 6 = 0, 36$ - число 0,6 - это корень второй степени из 0,36

$1^{2} = 1 \times 1 = 1$ - число 1 - это корень второй степени из числа 1

Не забудем упомянуть, что есть числа, для которых невозможно найти равный этому числу квадрат, который являлся бы действительным числом. Проще говоря, не для всех чисел можно найти действительное число, квадрат которого был бы равен данному числу.

Замечание 1

Для любого числа $a$ , $a = b^{2}$ при отрицательном показателе $a$ не является верным, поскольку $a = b^{2}$ не может иметь отрицательное значение при любом показателе $b$ .
Отсюда следует вывод: для действительных чисел не существует квадратный корень из отрицательного числа.

Поскольку $0^{2} = 0 \times 0 = 0$ , то нуль и есть квадратный корень числа «нуль».

Определение 2

Арифметический корень второй степени числа $a (a \geq 0)$ — неотрицательное число, которое становится равным $a$ , если возвести его в квадрат.

Арифметический корень второй степени из числа $a$ имеет следующее обозначение: $\sqrt{a}$ . Однако встречается и такое обозначение: $\sqrt[2]{a}$ , но двойку (показатель корня) не нужно прописывать.

Знак арифметического корня « $\sqrt{}$ » также имеет название «радикал». Следует запомнить, что «корень» и «радикал» являются полными синонимами (имеют абсолютно одинаковое значение и употребляются и в том, и в том варианте).

Число, стоящее под знаком корня, — это подкоренное число. Если под знаком корня стоит целое выражение, то его принято называть подкоренным выражением, соответственно.

Определение 3

Глядя на определение понятия «арифметический корень», можно вывести следующую формулу:

Для любого $a \geq 0 :$

$(\sqrt[]{a})^{2} = a, \sqrt{a} \geq 0 .$

Слово «арифметический» при чтении записи $\sqrt{9}$ можно опустить.

Далее мы рассмотрим исключительно арифметические корни из неотрицательных чисел и выражений.

Кубический корень

Определение 4

Арифметический корень третьей степени (кубический корень) — неотрицательное число, которое при условии возведении его в куб, станет равным $a$ . Обозначается как $\sqrt[3]{a}$ .

Число $3$ в данной записи — показатель корня. Число или выражение, стоящее под знаком корня — подкоренное.

Опять же, слово «арифметический» чаще всего не используют, а просто говорят: «корень третьей степени из числа $a$ ».

Пример 2

$\sqrt[3]{3, 5}$ - арифметический корень 3-й степени из $3, 5$ или кубический корень из $3, 5$ ;

$\sqrt[3]{x + 5}$ - арифметический корень 3-й степени из $x + 5$ или кубический корень из $x + 5$ .

Арифметический корень n-ной степени

Определение 5

Арифметический корень n-ной степени из числа $a \geq 0$ — неотрицательное число, которое, при условии возведения в степень, становится равным числу $a$ и обозначается: $\sqrt[n]{a}$ , где $a$ — подкоренное число или выражение, а $n$ — показатель корня.

Арифметический корень можно записать при помощи следующих символов:

$(\sqrt[n]{a})^{n} = a$ .

Пример 3

$\sqrt[9]{1, 2}$ — арифметический корень седьмой степени из числа $1, 2$ , где $1, 2$ — подкоренное число, а $9$ — показатель корня.

$\sqrt[6]{y^{2} + 6}$ — арифметический корень из $y^{2} + 6$ где $y^{2} + 6$ — подкоренное выражение, а $6$ — показатель корня.

Исходя из определения арифметического корня $n$ -ной степени, подкоренным выражением должно являться неотрицательное число или выражение. Если в равенстве $(\sqrt[n]{a})^{n} = a$ обе части умножить на $- 1$ , то получатся две равносильные части равенства: $- (\sqrt[n]{a})^{n} = - a$

Из этого следует, что для нечетных показателей арифметического корня записывают следующее равенство:

$\sqrt[n]{- a} = - \sqrt[n]{a}$