Умножение корней: методы и применение

Известно, что знак корня $\sqrt{}$ является квадратным корнем из некоторого числа. Однако знак корня означает не только алгебраическое действие, но и применяется в деревообрабатывающем производстве — в расчете относительных размеров.

Если вы хотите узнать, как умножить корни «с» или «без» множителей, то эта статья для вас. В ней мы рассмотрим методы умножения корней:

• без множителей;
• с множителями;
• с разными показателями.

Метод умножения корней без множителей

Алгоритм действий:

Убедиться, что у корня одинаковые показатели (степени). Вспомним, что степень записывается слева над знаком корня. Если нет обозначения степени, это значит, что корень квадратный, т.е. со степенью 2, и его можно умножать на другие корни со степенью 2.

Далее необходимо перемножить числа под корнем. 

Упростить подкоренные выражения. Когда мы умножаем корни друг на друга, мы можем упростить полученное подкоренное выражение до произведения числа (или выражения) на полный квадрат или куб:

Метод умножения показателей с множителями

Алгоритм действий:

Умножить множители. Множитель — число, которое стоит перед знаком корня. В случае отсутствия множителя, он, по умолчанию, считается единицей. Далее необходимо перемножить множители:

Умножить числа под знаком корня. Как только вы перемножили множители, смело умножайте числа, стоящие под знаком корня:

Упростить подкоренное выражение. Далее следует упростить значения, которые стоят под знаком корня, — требуется вынести соответствующие числа за знак корня. После этого, необходимо перемножить числа и множители, которые стоят перед знаком корня:

Метод умножения корней с разными показателями

Алгоритм действий:

Найти наименьшее общее кратное (НОК) показателей. Наименьшее общее кратное — наименьшее число, делящееся на оба показателя.

Записать каждое выражение с новым показателем:

$\sqrt[6]{5}\times \sqrt[6]{2}$

Найти числа, на которые нужно умножить показатели, чтобы получить НОК.

В выражении $\sqrt[3]{5}$ необходимо умножить $3$ на $2$, чтобы получить $6$. А в выражении $\sqrt[2]{2}$ — наоборот, необходимо умножить на $3$, чтобы получить $6$.

Возвести число, которое стоит под знаком корня, в степень равную числу, которое было найдено в предыдущем шаге. Для первого выражения $5$ нужно возвести в степень $2$, а втором — $2$ в степень $3$:

$$\begin{gathered} 2\to \sqrt[6]{5}=\sqrt[6]{5^2} \\ 3\to \sqrt[6]{2}=\sqrt[6]{2^3} \end{gathered}$$

Возвести в степень выражения и записать результат под знаком корня:

$$\begin{gathered} \sqrt[6]{5^2}=\sqrt[6]{(5\times 5)}=\sqrt[6]{25} \\ \sqrt[6]{2^3}=\sqrt[6]{(2\times 2\times 2)}=\sqrt[6]{8} \end{gathered}$$

Перемножить числа под корнем:

$\sqrt[6]{(8\times 25)}$

Записать результат:

$\sqrt[6]{(8\times 25)}=\sqrt[6]{200}$

По возможности необходимо упростить выражение, но в данном случае оно не упрощается.