Умножение корней: методы и применение

Содержание:

18 мая 2023
4 минуты
13694

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Известно, что знак корня $\sqrt{}$ является квадратным корнем из некоторого числа. Однако знак корня означает не только алгебраическое действие, но и применяется в деревообрабатывающем производстве — в расчете относительных размеров.

Если вы хотите узнать, как умножить корни «с» или «без» множителей, то эта статья для вас. В ней мы рассмотрим методы умножения корней:

без множителей;
с множителями;
с разными показателями.

Метод умножения корней без множителей

Алгоритм действий:

Убедиться, что у корня одинаковые показатели (степени). Вспомним, что степень записывается слева над знаком корня. Если нет обозначения степени, это значит, что корень квадратный, т.е. со степенью 2, и его можно умножать на другие корни со степенью 2.

Пример

Пример 1: $\sqrt{18} \times \sqrt{2} = ?$

Пример 2: $\sqrt{10} \times \sqrt{5} = ?$

Пример 3: $\sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{9} = ?$

Далее необходимо перемножить числа под корнем.

Пример

Пример 1: $\sqrt{18} \times \sqrt{2} = \sqrt{36}$

Пример 2: $\sqrt{10} \times \sqrt{5} = \sqrt{50}$

Пример 3: $\sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{27}$

Упростить подкоренные выражения. Когда мы умножаем корни друг на друга, мы можем упростить полученное подкоренное выражение до произведения числа (или выражения) на полный квадрат или куб:

Пример

Пример 1: $\sqrt{36} = 6$ . 36 - квадратный корень из шести $(6 \times 6 = 36)$ .

Пример 2: $\sqrt{50} = \sqrt{(25 \times 2)} = \sqrt{(5 \times 5) \times 2} = 5 \sqrt{2}$ . Число $50$ раскладываем на произведение $25$ и $2$ . Корень из $25 - 5$ , поэтому выносим $5$ из-под знака корня и упрощаем выражение.

Пример 3: $\sqrt[3]{27} = 3 .$ Кубический корень из $27$ равен $3 : 3 \times 3 \times 3 = 27 .$

Метод умножения показателей с множителями

Алгоритм действий:

Умножить множители. Множитель — число, которое стоит перед знаком корня. В случае отсутствия множителя, он, по умолчанию, считается единицей. Далее необходимо перемножить множители:

Пример

Пример 1: $3 \sqrt{2} \times \sqrt{10} = 3 \sqrt{?} 3 \times 1 = 3$

Пример 2: $4 \sqrt{3} \times 3 \sqrt{6} = 12 \sqrt{?} 4 \times 3 = 12$

Умножить числа под знаком корня. Как только вы перемножили множители, смело умножайте числа, стоящие под знаком корня:

Пример

Пример 1: $3 \sqrt{2} \times \sqrt{10} = 3 \sqrt{(2 \times 10)} = 3 \sqrt{20}$

Пример 2: $4 \sqrt{3} \times 3 \sqrt{6} = 12 \sqrt{(3 \times 6)} = 12 \sqrt{18}$

Упростить подкоренное выражение. Далее следует упростить значения, которые стоят под знаком корня, — требуется вынести соответствующие числа за знак корня. После этого, необходимо перемножить числа и множители, которые стоят перед знаком корня:

Пример

Пример 1: $3 \sqrt{20} = 3 \sqrt{(4 \times 5)} = 3 \sqrt{(2 \times 2) \times 5} = (3 \times 2) \sqrt{5} = 6 \sqrt{5}$

Пример 2: $12 \sqrt{18} = 12 \sqrt{(9 \times 2)} = 12 \sqrt{(3 \times 3) \times 2} = (12 \times 3) \sqrt{2} = 36 \sqrt{2}$

Метод умножения корней с разными показателями

Алгоритм действий:

Найти наименьшее общее кратное (НОК) показателей. Наименьшее общее кратное — наименьшее число, делящееся на оба показателя.

Пример

Необходимо найти НОК показателей для следующего выражения:

$\sqrt[3]{5} \times \sqrt[2]{2}$

Показатели равны $3$ и $2$ . Для этих двух чисел наименьшим общим кратным является число $6$ (оно делится без остатка и на $3$ , и на $2$ ). Для умножения корней необходим показатель $6$ .

Записать каждое выражение с новым показателем:

$\sqrt[6]{5} \times \sqrt[6]{2}$

Найти числа, на которые нужно умножить показатели, чтобы получить НОК.

В выражении $\sqrt[3]{5}$ необходимо умножить $3$ на $2$ , чтобы получить $6$ . А в выражении $\sqrt[2]{2}$ — наоборот, необходимо умножить на $3$ , чтобы получить $6$ .

Возвести число, которое стоит под знаком корня, в степень равную числу, которое было найдено в предыдущем шаге. Для первого выражения $5$ нужно возвести в степень $2$ , а втором — $2$ в степень $3$ :

$2 \to \sqrt[6]{5} = \sqrt[6]{5^{2}} 3 \to \sqrt[6]{2} = \sqrt[6]{2^{3}}$