Решение квадратных неравенств через выделение квадрата двучлена

Содержание:

16 апреля 2023
13 минут
290

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Квадратные неравенства можно решать несколькими разными способами. Для лучшего понимания сути этих выражений полезно знать их все. Помимо привычного метода интервалов или графического способа существует и метод решения через выделение квадрата двучлена, о котором мы вам расскажем в данном материале.

Выделив квадрат двучлена в левой части, можно легко решить практически любое квадратное неравенство. Сейчас мы разберем данный метод по порядку, иллюстрируя каждый шаг решениями задач.

Основа метода выделения квадрата двучлена

Для начала объясним основную суть данного подхода на примере условного квадратного неравенства $a \cdot x^{2} + b \cdot x + c < 0$ . Между выражениями при этом может стоять и знак $\leq$ , и $\geq$ , и $>$ , это не принципиальный момент. Суть метода заключается в переходе от исходного неравенства к равносильному, которое имеет вид $(x - p)^{2} < q (\leq, >, \geq)$ , при этом $p$ и $q$ могут быть произвольными числами. Для этого мы используем равносильные преобразования, подробно описанные в одной из предыдущих статей. По полученному равенству можно будет судить о решении исходного.

Теперь перейдем к объяснению следующих двух моментов: как именно привести заданное в условии равенство к нужному виду и как потом его нужно решать.

Как преобразовать исходное равенство в (x−p)²<q (≤,>, ≥)

Для этого нам нужно последовательно выполнить несколько шагов. Вот они:

Определение 1

Если мы имеем коэффициент $a$ , который не равен $1$ , то нам нужно разделить на него правую и левую часть равенства. Если он меньше $0$ , то знак неравенства остается прежним, а если больше, то нужно поменять его на противоположный. В итоге у нас должно получиться равенство с коэффициентом при $x^{2}$ , которое будет равносильно исходному. Если коэффициент при $x^{2}$ равен единице, то первый шаг нужно пропустить.
Далее смотрим на коэффициент при $x$ . Если он не равен нулю, то мы можем слева выделить нужный нам квадрат двучлена. Если же слагаемое с $x$ в первой степени у нас отсутствует совсем, то этот шаг мы тоже пропускаем.
После этих действий нужно перенести оставшееся слагаемое-число направо с противоположным знаком.

Мы получили неравенство нужного нам вида. Разберем решения конкретных задач, чтобы увидеть преобразования на практике.

Пример 1

Допустим, у нас есть неравенство $x^{2} \geq 0$ . Видим, что коэффициент при $x^{2}$ – единица, значит, первый и второй шаги можно пропустить. Получается, что и на третьем шаге ничего не нужно переносить, ведь слагаемого-числа с левой стороны нет. Из этого заключаем, что имеющееся у нас неравенство уже имеет нужный нам вид $(x - p)^{2} \geq q$ , только $p = 0$ и $q = 0$ .

Ответ: имеющееся у нас неравенство уже имеет нужный нам вид $(x - p)^{2} \geq q$

Возьмем пример чуть сложнее.

Пример 2

Так, у нас есть квадратное неравенство $5 \cdot x^{2} < 0$ . Выполняем первый шаг, разделив обе части на старший коэффициент, равный пяти. Поскольку $5$ больше нуля, знак равенства при этом не меняется. После этого неравенство приобретает вид $x^{2} < 0$ , что соответствует нужным условиям при $p = 0$ и $q = 0$ . Два следующих шага можно пропустить.

Ответ: $x^{2} < 0$

Пример 3

Если у нас есть квадратное неравенство $- \sqrt{3} \cdot x^{2} - 4 > 0$ , то сначала мы должны выполнить деление обоих частей на $- \sqrt{3}$ . Поскольку делитель является отрицательным числом, то нужно будет поменять знак равенства на противоположный. У нас получится $x^{2} + \frac{4}{\sqrt{3}} < 0$ . Избавившись от иррациональности в знаменателе, запишем $x^{2} + \frac{4}{\sqrt{3}} < 0$ . Коэффициента при $x$ у нас нет, поэтому второй шаг пропускаем. На последнем этапе переносим оставшийся свободный член вправо и получаем $x^{2} < - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ . Полученное равенство соответствует нужному нам виду $(x - p)^{2} < q$ , причем $p = 0$ , и $q = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

Ответ: $x^{2} < - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Пример 4

Разберем преобразование неравенства $\frac{1}{3} x^{2} + 2 \cdot x + 3 \leq 0$ . Первым делом разделим обе части на одну треть. Это действие аналогично умножению на три. Сохранив знак неравенства, получим $x^{2} + 6 \cdot x + 9 \leq 0$ . Поскольку слагаемое с $x$ у нас есть, нам нужно выделить квадрат двучлена: $(x + 3)^{2} \leq 0$ . Последний шаг мы не выполняем, поскольку числового слагаемого не осталось. Таким образом, мы заменили исходное квадратное неравенство на равносильное ему $(x - p)^{2} \leq q$ , где $p = - 3$ и $q = 0$ .

Ответ: $(x + 3)^{2} \leq 0$

Пример 5

Посмотрим еще один пример с квадратным неравенством $4 \cdot x^{2} - 4 \cdot x - 1 < 0$ . Начнем с деления на коэффициент при $x^{2}$ , т.е. на четыре. У нас получится $x^{2} - x - \frac{1}{4} < 0$ . Выделяем квадрат двучлена: $x^{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x + {(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} < 0$ и далее ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} < 0$ . Осталось перенести оставшееся свободное слагаемое в правую часть с другим знаком. Итоговое равносильное неравенство имеет вид ${(x - \frac{1}{2})}^{2} < \frac{1}{2}$ , где $p = \frac{1}{2}, q = \frac{1}{2}$ .

Ответ: ${(x - \frac{1}{2})}^{2} < \frac{1}{2}$

Решение полученного неравенства (x−p)²<q (≤,>, ≥)

Мы разобрали, как правильно преобразовывать имеющиеся неравенства для приведения их к исходному виду. Далее рассмотрим, как найти их решение. Разберем три основных случая, когда $q$ больше $0$ , меньше $0$ или равно $0$ .

Решение при q, меньшем 0

В этом случае в основе решения лежит свойство степени: любое число, возведенное в квадрат, является неотрицательным. Мы помним также, что квадрат числа, не равного нулю, всегда положителен, а квадрат нуля равен $0$ только в том случае, если $0$ лежит в основании степени. В буквенном виде это можно записать как $d^{2} \geq 0$ для любого $d$ , $d^{2} > 0$ при любом $d \neq 0$ , и $d^{2} = 0$ только тогда, когда $d = 0$ .

Допустим, что в основании лежит отрицательное число. Значение $(x - p)^{2}$ , согласно указанным выше свойствам квадрата, не может быть отрицательным. Следовательно, будут справедливы неравенства $(x - p)^{2} < p$ и $(x - p)^{2} \leq p$ , причем $x$ может быть любым. Таким образом, любое действительное число может считаться решением этих неравенств.

А вот $(x - p)^{2} < p$ и $(x - p)^{2} \leq p$ не будут справедливыми ни при каких значениях $x$ . Из этого можно сделать вывод, что решений у них нет.

Пример 6

Условие: найдите решение квадратного неравенства $x^{2} + 4 \cdot x + 5 > 0$ .

Решение

Cначала нам нужно выделить полный квадрат с левой стороны.

$x^{2} + 2 \cdot 2 \cdot x + 2^{2} - 2^{2} + 5 > 0, (x + 2)^{2} + 1 > 0$

После этого переносим $1$ вправо: $(x + 2)^{2} > - 1$ .

У нас получилось равенство, равносильное исходному. Для него любое действительное число может стать решением, поскольку выражение слева будет неотрицательным всегда, при любом значении $x$ . То же можно сказать и о $(x + 2)^{2} > - 1$ . Значит, решением неравенства, заданного в условии, может быть любое действительное число.

Ответ: любое действительное число.

Пример 7

Условие: вычислите $9 \cdot x^{2} + 6 \cdot x + 28 \leq 0$ .

Решение

Для данного квадратного неравенства подходит метод решения с помощью выделения квадрата двучлена. Для начала разделим левую и правую часть неравенства на девять и выделим нужный квадрат. У нас осталось одно слагаемое, которое надо перенести в правую часть с противоположным знаком.

$x^{2} + \frac{2}{3} \cdot x + \frac{28}{9} \leq 0 x^{2} + 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot x + {(\frac{1}{3})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{28}{9} \leq 0 {(x + \frac{1}{3})}^{2} + 3 \leq 0 {(x + \frac{1}{3})}^{2} \leq - 3$

Выражение в левой части будет неотрицательным при любом значении $x$ . Это значение также не может быть равно $- 3$ или быть меньше него. Получается, что итоговое равенство не имеет решения, следовательно, и исходное равенство, которое равносильно ему, также решений иметь не будет.

Ответ: решений у данного неравенства нет.

Решение при q, равном 0

Допустим, что значение $q$ равно $0$ , тогда нам нужно рассмотреть неравенства $(x - p)^{2} < 0, (x - p)^{2} \leq 0, (x - p)^{2} > 0$ и $(x - p)^{2} \geq 0)$ . Зная свойства числа, возведенного в квадрат, мы можем заключить, что значение $(x - p)^{2}$ будет больше нуля при таких значениях $x$ , которые будут соответствовать условию $x - p \neq 0$ , и будет равно нулю, если $x - p = 0$ .

Подытожим:

$(x - p)^{2} > 0$ будет верным неравенством при таких значениях переменной $x$ , когда $x - p \neq 0$ , то есть при $x \neq p$ .
$(x - p)^{2} \geq 0$ не будет верным равенством ни при одном действительном $x$ , если $x - p = 0$ .

Пример 8

Условие: выясните, есть ли решения у квадратного неравенства $- 0, 2 \cdot x^{2} + 4 \cdot x - 20 \geq 0$ .

Решение

Начнем с необходимых равносильных преобразований.

$x^{2} - 20 \cdot x + 100 \leq 0 (x - 10)^{2} \leq 0 .$

Получившееся в итоге равенство будет справедливым лишь в том случае, если $x - 10 = 0$ . Получается, что нужное нам значение $x$ равно $10$ . Следовательно, это число и будет единственным решением исходного неравенства.

Ответ: есть единственное решение $10$ .

Пример 9

Условие: найти решение $16 \cdot x^{2} + 40 \cdot x + 25 > 0$ .

Решение

Начнем с деления на $16$ , после чего нужно выделить квадрат двучлена.

$x^{2} + \frac{5}{2} \cdot x + \frac{25}{16} > 0 {(x + \frac{5}{4})}^{2} > 0 (x + 1 \frac{1}{4}) > 0$

Это неравенство имеет решения. Оно будет верным для всех значений $x$ , за исключением такого, которое обратит основание степени в $0$ , т.е. $x \neq - 1 \frac{1}{4}$ .

Ответ: $(- \infty, - 1 \frac{1}{4}) \cup (- 1 \frac{1}{4}, + \infty)$

Решение при q, большем 0

Последний случай, который нам нужно разобрать, – это решение неравенств $(x - p)^{2} < q, (x - p)^{2} \leq q, (x - p)^{2} > q$ и $(x - p)^{2} \geq q$ при значении $q$ больше $0$ .

Для этого нам понадобится вспомнить другие свойства корня: неравенство $u < v (\leq, >, \geq)$ можно преобразовать в $\sqrt{u} < \sqrt{v}$ при любых положительных $u$ и $v$ ; для любого положительного $t$ является верным равенство $\sqrt{t^{2}} = |t|$ .

Первое свойство позволяет нам перейти от обычного квадратного неравенства к иррациональному, а второе – к неравенству с модулем. В обоих случаях полученные неравенства будут равносильными исходному.

Чтобы решить неравенство с модулем, нужно раскрыть этот модуль. Так, мы можем преобразовать $|x - p| < \sqrt{q}$ в две системы неравенств без модуля $\{\begin{cases} x - p \geq 0 \\ x - p < \sqrt{q} \end{cases}$ и $\{\begin{cases} x - p < 0 \\ - (x - p) < \sqrt{q} \end{cases}$ . Покажем пример решения задачи.

Пример 10

Условие: вычислите $x^{2} - 6 \cdot x - 7 > 0$ , предварительно выделив квадрат двучлена.

Решение

Выделив нужный квадрат, получим $x^{2} - 2 \cdot 3 \cdot x + 3^{2} - 3^{2} - 7 > 0, (x - 3)^{2} - 16 > 0$ . Теперь перенесем слагаемое $- 16$ вправо с положительным знаком и получим $(x - 3)^{2} > 16$ . Теперь запишем равносильное ему иррациональное неравенство $\sqrt{{(x - 3)}^{2}} > \sqrt{16}$ ,далее $| x - 3 | > 4$ . Теперь преобразуем его в совокупность двух систем неравенств, чтобы избавиться от модуля.

$\{\begin{cases} x - 3 \geq 0 \\ x - 3 > 4 \end{cases} \{\begin{cases} x - 3 < 0 \\ - (x - 3) > 4 \end{cases}$ $\{\begin{cases} x \geq 3 \\ x > 7 \end{cases} \{\begin{cases} x < 3 \\ x < - 1 \end{cases}$ $x > 7 x < - 1$

У нас получилось, что решением исходного квадратного неравенства будет $x < - 1, x > 7$ .

Ответ: $x < - 1, x > 7$ .

Существует еще один удобный и наглядный способ решения неравенств $|x - p| < \sqrt{q}$ $(\leq, >, \geq)$ . С его помощью можно обойтись без введения систем. Для его применения необходимо понимать геометрический смысл модуля.

В рамках геометрических представлений модуль $| x - p |$ представляет собой расстояние то точки с координатой $x$ до точки с координатой $p$ , отложенное по оси координат. Отсюда можно сделать следующие выводы:

Решениями неравенства $|x - p| < \sqrt{q}$ будут координаты таких точек, расстояние от которых до точки с координатой $p$ будет меньшим, чем значение $\sqrt{q}$ . См. на иллюстрацию:

Решение при q, большем 0

Таким образом, данному неравенству будут удовлетворять значения переменных из интервала $(p - \sqrt{q}, p + \sqrt{q})$ .

Решением неравенства $|x - p| \leq \sqrt{q}$ будут все те значения $x$ , при которых расстояние от точки с координатой $p$ будет меньше или равно $\sqrt{q}$ . Графически это можно представить так:

Решение при q, большем 0

Следовательно, решением данного неравенства будут числа из интервала $[p - \sqrt{q}, p + \sqrt{q}]$

Если нам нужно найти решение $|x - p| > \sqrt{q}$ , то мы должны взять точки, расстояние от которых до точки $p$ будет больше $\sqrt{q}$ . См. на иллюстрацию:

Решение при q, большем 0

Решения данного неравенства будут лежат в интервале $(- \infty, p - \sqrt{q}) \cup (p + \sqrt{q}, + \infty)$ .

Вернемся к решению предыдущей задачи, чтобы наглядно показать эти выкладки.

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.

Основа метода выделения квадрата двучлена

Как преобразовать исходное равенство в (x−p)2<q (≤,>, ≥)

Решение полученного неравенства (x−p)2<q (≤,>, ≥)

Решение при q, меньшем 0

Решение при q, равном 0

Решение при q, большем 0

Как преобразовать исходное равенство в (x−p)²<q (≤,>, ≥)

Решение полученного неравенства (x−p)²<q (≤,>, ≥)