Определитель матрицы: алгоритм, примеры вычисления, правила

Перед тем как находить и считать определитель, дадим определение определителю матрицы.

Определение 1

Что такое определитель матрицы или детерминант матрицы? Определитель матрицы — это некоторое число, с которым можно сопоставить любую квадратную матрицу $А = (a_{i j})_{n \times n}$ .

|А|, $∆$ , det A - символы, которыми обозначают определитель матрицы.

Как найти определитель матрицы? Вычислить определитель или найти определитель можно с помощью разных способов (в том числе онлайн и при помощи калькулятора). Конкретный способ поиска и того, как решать, выбирают в зависимости от порядка матрицы.

Пример 1

Определитель матрицы второго порядка можно вычислять по формуле:

$А = (\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 3 & 1 \end{matrix})$ .

Решение матрицы:

$d e t A$ = $open\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 3 & 1 \end{matrix}| = 1 \times 1 - 3 \times (- 2) = 1 + 6 = 7$

Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника

Нахождение определителя матрицы 3-го порядка осуществляется по одному из правил:

он может считаться по правилу треугольника;
расчет также проводится по правилу Саррюса.

Как найти определитель матрицы третьего порядка по методу треугольника (определитель матрицы 3x3)?

$open\begin{matrix} а_{11} & а_{12} & а_{13} \\ а_{21} & а_{22} & а_{23} \\ а_{31} & а_{32} & а_{33} \end{matrix}| = a_{11} \times a_{22} \times a_{33} + a_{31} \times a_{12} \times a_{23} + a_{21} \times a_{32} \times a_{13} - a_{31} \times a_{22} \times a_{13} - a_{21} \times a_{12} \times a_{33} - a_{11} \times a_{23} \times a_{32}$

Пример 2

$А = (\begin{matrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 5 & - 1 \end{matrix})$

Решение:

$d e t A = open\begin{matrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 5 & - 1 \end{matrix}| = 1 \times 2 \times (- 2) + 1 \times 3 \times 1 + 4 \times 0 \times 5 - 1 \times 2 \times 4 - 0 \times 3 \times (- 1) - 5 \times 1 \times 1 = (- 2) + 3 + 0 - 8 - 0 - 5 = - 12$

Правило Саррюса

Чтобы вычислить определитель по методу Саррюса, необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия:

дописать слева от определителя два первых столбца;
перемножить элементы, которые расположены на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
перемножить элементы, которые расположены на побочных диагоналях и параллельных им, взяв произведения со знаком «—».

Пример 3

$А = open\begin{matrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 1 \\ - 2 & 5 & - 1 \end{matrix}| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \\ - 2 & 5 \end{matrix} = 1 \times 2 \times (- 1) + 3 \times 1 \times (- 2) + 4 \times 0 \times 5 - 4 \times 2 \times (- 2) - 1 \times 1 \times 5 - 3 \times 0 \times (- 1) = - 2 - 6 + 0 + 16 - 5 - 0 = 3$

Методы разложения по элементам строки и столбца

Чтобы вычислить определитель матрицы четвертого порядка, можно воспользоваться одним из 2-х способов:

разложением по элементам строки;
разложением по элементам столбца.

Представленные способы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n-1 за счет представления определителя суммой произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример 4

Разложение матрицы по элементам строки:

$d e t A = a_{i 1} \times A_{i 1} + a_{i 2} \times A_{i 2} + . . . + а_{i n} \times А_{i n}$

Разложение матрицы по элементам столбца:

$d e t A = а_{1 i} \times А_{1 i} + а_{2 i} \times А_{2 i} + . . . + а_{n i} \times А_{n i}$

Замечание

Если раскладывать матрицу по элементам строки (столбца), необходимо выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.

Пример 5

$А = (\begin{matrix} 0 & 1 & - 1 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 4 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \end{matrix})$

Решение:

раскладываем по 2-ой строке:

$А = open\begin{matrix} 0 & 1 & - 1 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 4 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \end{matrix}| = 2 \times (- 1)^{3} \times open\begin{matrix} 1 & - 1 & 3 \\ - 2 & 5 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{matrix}| = - 2 \times open\begin{matrix} 1 & - 1 & 3 \\ 4 & 5 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix}| + 1 \times open\begin{matrix} 0 & - 1 & 3 \\ - 2 & 5 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{matrix}|$

раскладываем по 4-му столбцу:

$А = open\begin{matrix} 0 & 1 & - 1 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 4 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \end{matrix}| = 3 \times (- 1)^{5} \times open\begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ - 2 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix}| + 1 \times (- 1)^{7} \times open\begin{matrix} 0 & 1 & - 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix}| = - 3 \times open\begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ - 2 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix}| - 1 \times open\begin{matrix} 0 & 1 & - 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix}|$

Свойства определителя

Свойства определителя:

если преобразовывать столбцы или строки незначительными действиями, то это не влияет на значение определителя;
если поменять местами строки и столбцы, то знак поменяется на противоположный;
определитель треугольной матрицы представляет собой произведение элементов, которые расположены на главной диагонали.

Замечание

В рамках темы советуем обратиться к модулю определителя.

Пример 6

$А = (\begin{matrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix})$