Нахождение ранга матрицы

Содержание:

13 февраля 2024
12 минут
8429

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В данной статье пойдет речь о таком понятии, как ранг матрицы и необходимых дополнительных понятиях. Мы приведем примеры и доказательства нахождения ранга матрицы, а также расскажем, что такое минор матрицы, и почему он так важен.

Минор матрицы

Чтобы понять, что такое ранг матрицы, необходимо разобраться с таким понятием, как минор матрицы.

Определение 1

Минор k-ого порядка матрицы — определитель квадратной матрицы порядка k×k, которая составлена из элементов матрицы А, находящихся в заранее выбранных k-строках и k-столбцах, при этом сохраняется положение элементов матрицы А.

Проще говоря, если в матрице А вычеркнуть (p-k) строк и (n-k) столбцов, а из тех элементов, которые остались, составить матрицу, сохраняя расположение элементов матрицы А, то определитель полученной матрицы и есть минор порядка k матрицы А.

Из примера следует, что миноры первого порядка матрицы А и есть сами элементы матрицы.

Можно привести несколько примеров миноров 2-ого порядка. Выберем две строки и два столбца. Например, 1-ая и 2 –ая строка, 3-ий и 4-ый столбец.

При таком выборе элементов минором второго порядка будет $|\begin{matrix} - 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{matrix}| = (- 1) \times 2 - 3 \times 0 = - 2$

Другим минором 2-го порядка матрицы А является $|\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}| = 0$

Предоставим иллюстрации построения миноров второго порядка матрицы А:

Минор 3-го порядка получается, если вычеркнуть третий столбец матрицы А:

$|\begin{matrix} 0 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & - 4 & 0 \end{matrix}| = 0 \times 1 \times 0 + 0 \times 2 \times (- 1) + 3 \times 1 \times (- 4) - 3 \times 1 \times (- 1) - 0 \times 1 \times 0 - 0 \times 2 \times (- 4) = - 9$

Иллюстрация, как получается минор 3-го порядка матрицы А:

Для данной матрицы миноров выше 3-го порядка не существует, потому что

$k \leq m i n (p, n) = m i n (3, 4) = 3$

Сколько существует миноров k-ого порядка для матрицы А порядка p×n?

Число миноров вычисляют по следующей формуле:

${C_{p}}^{k} \times {C_{n}}^{k}, г д е {С_{p}}^{k} = \frac{p!}{k! (p - k)!} и {C_{n}}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ — число сочетаний из p по k, из n по k соответственно.

После того, как мы определились, что такое миноры матрицы А, можно переходить к определению ранга матрицы А.

Ранг матрицы: методы нахождения

Определение 2

Ранг матрицы — наивысший порядок матрицы, отличный от нуля.

Обозначение 1

Rank (A), Rg (A), Rang (A).

Из определения ранга матрицы и минора матрицы становиться понятно, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы отличен от нуля.

Нахождение ранга матрицы по определению

Определение 3

Метод перебора миноров — метод, основанный на определении ранга матрицы.

Алгоритм действий способом перебора миноров:

Необходимо найти ранг матрицы А порядка p×n. При наличии хотя бы одного элемента, отличного от нуля, то ранг матрицы как минимум равен единице (т.к. есть минор 1-го порядка, который не равен нулю).

Далее следует перебор миноров 2-го порядка. Если все миноры 2-го порядка равны нулю, то ранг равен единице. При существовании хотя бы одного не равного нулю минора 2-го порядка, необходимо перейти к перебору миноров 3-го порядка, а ранг матрицы, в таком случае, будет равен минимум двум.

Аналогичным образом поступим с рангом 3-го порядка: если все миноры матрицы равняются нулю, то ранг будет равен двум. При наличии хотя бы одного ненулевого минора 3-го порядка, то ранг матрицы равен минимум трем. И так далее, по аналогии.

Пример 2

Найти ранг матрицы:

$А = (\begin{matrix} - 1 & 1 & - 1 & - 2 & 0 \\ 2 & 2 & 6 & 0 & - 4 \\ 4 & 3 & 11 & 1 & - 7 \end{matrix})$

Поскольку матрица ненулевая, то ее ранг минимум равен единице.

Минор 2-го порядка $|\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix}| = (- 1) \times 2 - 1 \times 2 = 4$ отличен от нуля. Отсюда следует, что ранг матрицы А не меньше двух.

Перебираем миноры 3-го порядка: ${С_{3}}^{3} \times {С_{5}}^{3} = 1 \frac{5!}{3! (5 - 3)!}$ = 10 штук.

$|\begin{matrix} - 1 & 1 & - 1 \\ 2 & 2 & 6 \\ 4 & 3 & 11 \end{matrix}| = (- 1) \times 2 \times 11 + 1 \times 6 \times 4 + (- 1) \times 2 \times 3 - (- 1) \times 2 \times 4 - 1 \times 2 \times 11 - (- 1) \times 6 \times 3 = 0$

$|\begin{matrix} - 1 & 1 & - 2 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & 3 & 1 \end{matrix}| = (- 1) \times 2 \times 1 + 1 \times 0 \times 4 + (- 2) \times 2 \times 3 - (- 2) \times 2 \times 4 - 1 \times 2 \times 1 - (- 1) \times 0 \times 3 = 0$

$|\begin{matrix} - 1 & - 1 & - 2 \\ 2 & 6 & 0 \\ 4 & 11 & 1 \end{matrix}| = (- 1) \times 6 \times 1 + (- 1) \times 0 \times 4 + (- 2) \times 2 \times 11 - (- 2) \times 6 \times 4 - (- 1) \times 2 \times 1 - (- 1) \times 0 \times 11 = 0$

$|\begin{matrix} - 1 & - 1 & 0 \\ 2 & 6 & - 4 \\ 4 & 11 & - 7 \end{matrix}| = (- 1) \times 6 \times (- 7) + (- 1) \times (- 4) \times 4 + 0 \times 2 \times 11 - 0 \times 6 \times 4 - (- 1) \times 2 \times (- 7) - (- 1) \times (- 4) \times 11 = 0$

$|\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 2 & 6 & - 4 \\ 3 & 11 & - 7 \end{matrix}| = 1 \times 6 \times (- 7) + (- 1) \times (- 4) \times 3 + 0 \times 2 \times 11 - 0 \times 6 \times 3 - (- 1) \times 2 \times (- 7) - 1 \times (- 4) \times 11 = 0$

$|\begin{matrix} 1 & - 2 & 0 \\ 2 & 0 & - 4 \\ 3 & 1 & - 7 \end{matrix}| = 1 \times 0 \times (- 7) + (- 2) \times (- 4) \times 3 + 0 \times 2 \times 1 - 0 \times 0 \times 3 - (- 2) \times 2 \times (- 7) - 1 \times (- 4) \times 1 = 0$

$|\begin{matrix} - 1 & - 2 & 0 \\ 6 & 0 & - 4 \\ 11 & 1 & - 7 \end{matrix}| = (- 1) \times 0 \times (- 7) + (- 2) \times (- 4) \times 11 + 0 \times 6 \times 1 - 0 \times 0 \times 11 - (- 2) \times 6 \times (- 7) - (- 1) \times (- 4) \times 1 = 0$

Миноры 3-го порядка равны нулю, поэтому ранг матрицы равен двум.

Ответ: Rank (A) = 2.

Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров

Определение 3

Метод окаймляющих миноров — метод, который позволяет получить результат при меньшей вычислительной работе.

Окаймляющий минор — минор $M_{o k} (k + 1)$ -го порядка матрицы А, который окаймляет минор M порядка k матрицы А, если матрица, которая соответствует минору $M_{o k}$ , «содержит» матрицу, которая соответствует минору М.

Проще говоря, матрица, которая соответствует окаймляемому минору М, получается из матрицы, соответствующей окаймляющему минору $M_{o k}$ , вычеркиванием элементов одной строки и одного столбца.

Пример 3

Найти ранг матрицы:

$А = (\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & - 1 & 3 \\ - 2 & 0 & 3 & 7 & 1 \\ 3 & 4 & - 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 6 & 5 \end{matrix})$

Для нахождения ранга берем минор 2-го порядка $М = |\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 4 & 1 \end{matrix}|$

Записываем все окаймляющие миноры:

$|\begin{matrix} 1 & 2 & - 1 \\ - 2 & 0 & 7 \\ 3 & 4 & 1 \end{matrix}|, |\begin{matrix} 2 & 0 & - 1 \\ 0 & 3 & 7 \\ 4 & - 2 & 1 \end{matrix}|, |\begin{matrix} 2 & - 1 & 3 \\ 0 & 7 & 1 \\ 4 & 1 & 1 \end{matrix}|, |\begin{matrix} 1 & 2 & - 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 6 \end{matrix}|, |\begin{matrix} 2 & 0 & - 1 \\ 4 & - 2 & 1 \\ 0 & 3 & 6 \end{matrix}|, |\begin{matrix} 2 & - 1 & 3 \\ 4 & 1 & 1 \\ 0 & 6 & 5 \end{matrix}| .$

Чтобы обосновать метод окаймляющих миноров, приведем теорему, формулировка которой не требует доказательной базы.

Теорема 1

Если все миноры, окаймляющие минор k-ого порядка матрицы А порядка p на n, равны нулю, то все миноры порядка (k+1) матрицы А равна нулю.

Алгоритм действий:

Чтобы найти ранг матрицы, необязательно перебирать все миноры, достаточно посмотреть на окаймляющие.

Если окаймляющие миноры равняются нулю, то ранг матрицы нулевой. Если существует хотя бы один минор, который не равен нулю, то рассматриваем окаймляющие миноры.

Если все они равны нулю, то Rank(A) равняется двум. При наличии хотя бы одного ненулевого окаймляющего минора, то приступаем к рассматриванию его окаймляющих миноров. И так далее, аналогичным образом.

Пример 4

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров

$А = (\begin{matrix} 2 & 1 & 0 & - 1 & 3 \\ 4 & 2 & 1 & 0 & - 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 & - 4 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & - 14 \end{matrix})$

Как решить?

Поскольку элемент $а_{11}$ матрицы А не равен нулю, то возьмем минор 1-го порядка. Начнем искать окаймляющий минор, отличный от нуля:

$|\begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix}| = 2 \times 2 - 1 \times 4 = 0 |\begin{matrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{matrix}| = 2 \times 1 - 0 \times 4 = 2$

Мы нашли окаймляющий минор 2-го порядка не равный нулю $|\begin{matrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{matrix}|$ .

Осуществим перебор окаймляющих миноров — (их $(4 - 2) \times (5 - 2)$ =6 штук).

$|\begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix}| = 0; |\begin{matrix} 2 & 0 & - 1 \\ 4 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix}| = 0; |\begin{matrix} 2 & 0 & 3 \\ 4 & 1 & - 1 \\ 2 & 1 & - 4 \end{matrix}| = 0; |\begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}| = 0; |\begin{matrix} 2 & 0 & - 1 \\ 4 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \end{matrix}| = 0; |\begin{matrix} 2 & 0 & 3 \\ 4 & 1 & - 1 \\ 0 & 2 & - 14 \end{matrix}| = 0$

Ответ: Rank(A) = 2.

Нахождение ранга матрицы методом Гаусса (с помощью элементарных преобразований)

Вспомним, что представляют собой элементарные преобразования.

Элементарные преобразования:

путем перестановки строк (столбцов) матрицы;
путем умножение всех элементов любой строки (столбца) матрицы на произвольное ненулевое число k;

путем прибавления к элементам какой-либо строки (столбца) элементов, которые соответствуют другой стоки (столбца) матрицы, которые умножены на произвольное число k.

Определение 5

Нахождение ранга матрицы методом Гаусса — метод, который основывается на теории эквивалентности матриц: если матрица В получена из матрицы А при помощи конечного числа элементарных преобразований, то Rank(A) = Rank(B).

Справедливость данного утверждения следует из определения матрицы:

в случае перестановки строк или столбцов матрицы ее определитель меняет знак. Если он равен нулю, то и при перестановке строк или столбцов остается равным нулю;
в случае умножения всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k, которое не равняется нулю, определитель полученной матрицы равен определителю исходной матрицы, которая умножена на k;

в случае прибавления к элементам некоторой строки или столбца матрицы соответствующих элементов другой строки или столбца, которые умножены на число k, не изменяет ее определителя.

Суть метода элементарных преобразований: привести матрицу ,чей ранг необходимо найти, к трапециевидной при помощи элементарных преобразований.

Для чего?

Ранг матриц такого вида достаточно просто найти. Он равен количеству строк, в которых есть хотя бы один ненулевой элемент. А поскольку ранг при проведении элементарных преобразований не изменяется, то это и будет ранг матрицы.

Проиллюстрируем этот процесс:

для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк которых больше числа столбцов:

$А ~ (\begin{matrix} 1 & b_{12} & b_{13} & \dots & b_{1 n - 1} & b_{1 n} \\ 0 & 1 & b_{23} & \dots & b_{2 n - 2} & b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & b_{n - 1 n} \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \end{matrix}), R a n k (A) = n \begin{matrix} \end{matrix}$

или

$А ~ (\begin{matrix} 1 & b_{12} & b_{13} & \dots & b_{1 k} & b_{1 k + 1} & \dots & b_{1 n} \\ 0 & 1 & b_{23} & \dots & b_{2 k} & b_{2 k + 1} & \dots & b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & b_{k k + 1} & \dots & b_{k n} \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \end{matrix}), R a n k (A) = k$

для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк которых меньше числа столбцов:

$А ~ (\begin{matrix} 1 & b_{12} & b_{13} & \dots & b_{1 p} & b_{1 p + 1} & \dots & b_{1 n} \\ 0 & 1 & b_{23} & \dots & b_{2 p} & b_{2 p + 1} & \dots & b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & b_{p p + 1} & \dots & b_{p n} \end{matrix}), R a n k (A) = p$

или

для квадратных матриц А порядка n на n:

$А ~ (\begin{matrix} 1 & b_{12} & b_{13} & \dots & b_{1 n - 1} & b_{1 n} \\ 0 & 1 & b_{23} & \dots & b_{2 n - 1} & b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & b_{n - 1 n} \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{matrix}), R a n k (A) = n$

или

$A ~ (\begin{matrix} 1 & b_{12} & b_{13} & \dots & b_{1 k} & b_{1 k + 1} & \dots & b_{1 n} \\ 0 & 1 & b_{23} & \dots & b_{2 k} & b_{2 k + 1} & \dots & b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & b_{k k + 1} & \dots & b_{k n} \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \end{matrix}), R a n k (A) = k, k < n$

Пример 5

Найти ранг матрицы А при помощи элементарных преобразований:

$А = (\begin{matrix} 2 & 1 & - 2 & 6 \\ 3 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 & - 7 \\ 5 & - 2 & 4 & - 15 \\ 7 & 2 & - 4 & 11 \end{matrix})$

Как решить?

Поскольку элемент $а_{11}$ отличен от нуля, то необходимо умножить элементы первой строки матрицы А на $\frac{1}{а_{11}} = \frac{1}{2}$ :

$А = (\begin{matrix} 2 & 1 & - 2 & 6 \\ 3 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 & - 7 \\ 5 & - 2 & 4 & - 15 \\ 7 & 2 & - 4 & 11 \end{matrix}) ~$

Прибавляем к элементам 2-ой строки соответствующие элементы 1-ой строки, которые умножены на (-3). К элементам 3-ей строки прибавляем элементы 1-ой строки, которые умножены на (-1):

$~ А^{(1)} = (\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & - 1 & 3 \\ 3 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 & - 7 \\ 5 & - 2 & 4 & - 15 \\ 7 & 2 & - 4 & 11 \end{matrix}) ~ А^{(2)} = = (\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & - 1 & 3 \\ 3 + 1 (- 3) & 0 + \frac{1}{2} (- 3) & 0 + (- 1) (- 3) & - 1 + 3 (- 3) \\ 1 + 1 (- 3) & - 1 + \frac{1}{2} (- 3) & 2 + (- 1) (- 1) & - 7 + 3 (- 1) \\ 5 + 1 (- 5) & - 2 + \frac{1}{2} (- 5) & 4 + (- 1) (- 5) & - 15 + 3 (- 5) \\ 7 + 1 (- 7) & 2 + \frac{1}{2} (- 7) & - 4 + (- 1) (- 7) & 11 + 3 (- 7) \end{matrix}) =$

$= (\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & - 1 & 3 \\ 0 & - \frac{3}{2} & 3 & - 10 \\ 0 & - \frac{3}{2} & 3 & - 10 \\ 0 & - \frac{9}{2} & 9 & - 30 \\ 0 & - \frac{3}{2} & 3 & - 10 \end{matrix})$

Элемент ${а_{22}}^{(2)}$ отличен от нуля, поэтому мы умножаем элементы 2-ой строки матрицы А на $А^{(2)} н а \frac{1}{{а_{22}}^{(2)}} = - \frac{2}{3}$ :

$А^{(3)} = (\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & - 1 & 3 \\ 0 & 1 & - 2 & \frac{20}{3} \\ 0 & - \frac{3}{2} & 3 & - 10 \\ 0 & - \frac{9}{2} & 9 & - 30 \\ 0 & - \frac{3}{2} & 3 & - 10 \end{matrix}) ~ А^{(4)} = (\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & - 1 & 3 \\ 0 & 1 & - 2 & \frac{20}{3} \\ 0 & - \frac{3}{2} + 1 \frac{3}{2} & 3 + (- 2) \frac{3}{2} & - 10 + \frac{20}{3} \times \frac{3}{2} \\ 0 & - \frac{9}{2} + 1 \frac{9}{2} & 9 + (- 2) \frac{9}{2} & - 30 + \frac{20}{3} \times \frac{9}{2} \\ 0 & - \frac{3}{2} + 1 \frac{3}{2} & 3 + (- 2) \frac{3}{2} & - 10 + \frac{20}{3} \times \frac{3}{2} \end{matrix}) = = (\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & - 1 & 3 \\ 0 & 1 & - 2 & \frac{20}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

К элементам 3-ей строки полученной матрицы прибавляем соответствующие элементы 2-ой строки ,которые умножены на $\frac{3}{2}$ ;
к элементам 4-ой строки — элементы 2-ой строки, которые умножены на $\frac{9}{2}$ ;
к элементам 5-ой строки — элементы 2-ой строки, которые умножены на $\frac{3}{2}$ .

Все элементы строк равны нулю. Таким образом, при помощи элементарных преобразований ,мы привели матрицу к трапецеидальному виду, откуда видно, что $R a n k (A^{(4)}) = 2$ . Отсюда следует, что ранг исходной матрицы также равен двум.

Замечание

Если проводить элементарные преобразования, то не допускаются приближенные значения!

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.