Действия над матрицами. Сложение и вычитание

13 февраля 2024
2 минуты
1 935

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Определение 1

Если у матриц совпадает количество столбцов и строк, то, считается, что у таких матриц одинаковая размерность (одинаковый порядок).

Пример 1

$А = (\begin{matrix} 1 & - 2 & 0 \\ 4 & - 2 & 1 \end{matrix}) и В = (\begin{matrix} 10 & - 2 & 0 \\ - 4 & - 2 & 1 \end{matrix}) \begin{matrix} \end{matrix}$

Данные матрицы одинакового порядка, т.к. у них одинаковое количество строк и столбцов (3 строки и 2 столбца).

Сложение матриц

Замечание

Матрицы одинаковой размерности можно складывать и вычитать.

Определение 2

$А = (α_{i j})_{m \times n} и B = (b_{i j})_{m \times n}$ - сумма матриц. Сумма этих матриц представлена выражением $С = (с_{i j})$ той же размерности, причем ее элементы вычисляются, как сумма соответствующих элементов исходных матриц:undefined. Сумма матриц имеет обозначение: $А + B$

Пример 2

Найти сумму матриц:

1). $А = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 3 & 1 \end{matrix}), В = (\begin{matrix} 12 & - 1 \\ - 3 & 5 \end{matrix});$

2). $А = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 3 & 1 \end{matrix}), В = (\begin{matrix} - 1 & 0 & 3 \\ - 12 & 5 & 3 \end{matrix})$

Решение:

1). $А + В = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 3 & 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 12 & - 1 \\ - 3 & 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 + 12 & - 1 + (- 1) \\ 3 + (- 3) & 1 + 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 14 & - 2 \\ 0 & 6 \end{matrix})$

2). Сложить данные матрицы нельзя, потому что они разной размерности

Свойства сложения матриц

Определение 3

Исходная матрица $А = (a_{i j})_{m \times n}$ . Противоположной матрицей считается выражение $- А = (- а_{i j})_{m \times n}$ ,где все элементы противоположны исходным.

Свойства сложения матриц:

А + В = В + А — коммуникативный закон сложения;
(А + В) + С = А + (В + С) — ассоциативный закон сложения;
А + 0 = 0 + А = А;
А + (-А) = -А + А = 0.

Вычитание матриц

Определение 4

Разностью матриц $А = (α_{i j})_{m \times n} и B = (b_{i j})_{m \times n}$ является матрица $С = (с_{i j})$ , у которой такая же размерность. Ее элементы вычисляются как сумма соответствующих элементов матриц:

$А = (a_{i j})_{m \times n}$ и $- В = (- b_{i j})_{m \times n}$ ; $c_{i j =} (a_{i j}) + (- b_{i j})$

Разность матриц обозначается как А — В.

Пример 3

Найти разность матриц:

1). $А = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 3 & 1 \end{matrix}), В = (\begin{matrix} 12 & - 1 \\ - 3 & 5 \end{matrix});$

2). $А = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 3 & 1 \end{matrix}), В = (\begin{matrix} - 1 & 0 & 3 \\ - 12 & 5 & 3 \end{matrix})$

Решение:

1). $А - В$ $= (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 3 & 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 12 & - 1 \\ - 3 & 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 + (- 12) & - 1 + (- (- 1)) \\ 3 + (- (- 3)) & 1 + (- 5) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 - 12 & - 1 + 1 \\ 3 + 3 & 1 - 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 10 & 0 \\ 6 & - 4 \end{matrix})$

2).Найти разность во втором варианте невозможно, потому что матрица разно размерные.