Умножение матриц: примеры, алгоритм действий, свойства произведения

9 января 2024
4 минуты
25 247

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Произведение двух матриц

Определение 1

Произведение матриц (С= АВ) — операция только для согласованных матриц А и В, у которых число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:

$\underset{m \times n}{\underset{⏟}{C}} = \underset{m \times p}{\underset{⏟}{A}} \times \underset{p \times n}{\underset{⏟}{B}}$

Пример 1

Даны матрицы:

$A = a_{(i j)}$ размеров $m \times n$ ;
$B = b_{(i j)}$ размеров $p \times n$

Матрицу $C$ , элементы $c_{i j}$ которой вычисляются по следующей формуле:

$c_{i j} = a_{i 1} \times b_{1 j} + a_{i 2} \times b_{2 j} + . . . + a_{i p} \times b_{p j}, i = 1, . . . m, j = 1, . . . m$

Пример 2

Вычислим произведения АВ=ВА:

$А = (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix}), В = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})$

Решение, используя правило умножения матриц:

$\underset{2 \times 3}{\underset{⏟}{А}} \times \underset{3 \times 2}{\underset{⏟}{В}} = (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \times 1 + 2 \times 0 + 1 \times 1 & 1 \times 0 + 2 \times 1 + 1 \times 1 \\ 0 \times 1 + 1 \times 0 + 2 \times 1 & 0 \times 0 + 1 \times 1 + 2 \times 1 \end{matrix}) = = \underset{2 \times 2}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 2 & 3 \\ 2 & 3 \end{matrix})}}$

$\underset{3 \times 2}{\underset{⏟}{В}} \times \underset{2 \times 3}{\underset{⏟}{А}} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 1 \times 1 + 0 \times 0 & 1 \times 2 + 0 \times 1 & 1 \times 1 + 0 \times 2 \\ 0 \times 1 + 1 \times 0 & 0 \times 2 + 1 \times 1 & 0 \times 1 + 1 \times 2 \\ 1 \times 1 + 1 \times 0 & 1 \times 2 + 1 \times 1 & 1 \times 1 + 1 \times 2 \end{matrix}) = \underset{3 \times 3}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 3 \end{matrix})}}$

Произведение $А В и В А$ найдены, но являются матрицами разных размеров: $А В$ не равна $В А$ .

Свойства умножения матриц

Свойства умножения матриц:

$(А В) С = А (В С)$ — ассоциативность умножения матриц;
$А (В + С) = А В + А С$ — дистрибутивность умножения;
$(А + В) С = А С + В С$ — дистрибутивность умножения;
$λ (А В) = (λ А) В$

Пример 1

Проверяем свойство №1: $(А В) С = А (В С)$ :

$(А \times В) \times А = [(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix})] \times (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 19 & 44 \\ 43 & 100 \end{matrix})$ ,

$А (В \times С) = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) \times [\begin{matrix} (\begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix}) & (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}) \end{matrix}] = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 5 & 12 \\ 7 & 16 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 19 & 44 \\ 43 & 100 \end{matrix}) .$

Пример 2

Проверяем свойство №2: $А (В + С) = А В + А С$ :

$А \times (В + С) = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) \times [\begin{matrix} (\begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix}) + & (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}) \end{matrix}] = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 6 & 6 \\ 7 & 10 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 20 & 26 \\ 46 & 58 \end{matrix})$ ,

$А В + А С = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 & 4 \\ 3 & 8 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 20 & 26 \\ 46 & 58 \end{matrix})$ .

Произведение трех матриц

Произведение трех матриц $А В С$ вычисляют 2-мя способами:

найти $А В$ и умножить на $С : (А В) С;$
либо найти сначала $В С$ , а затем умножить $А (В С) .$

Пример 3

Перемножить матрицы 2-мя способами:

$(\begin{matrix} 4 & 3 \\ 7 & 5 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 28 & 93 \\ 38 & - 126 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 7 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix})$

Алгоритм действий:

найти произведение 2-х матриц;
затем снова найти произведение 2-х матриц.

1). $А В = (\begin{matrix} 4 & 3 \\ 7 & 5 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 28 & 93 \\ 38 & - 126 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 (- 28) + 3 \times 38 & 4 \times 93 + 3 (- 126) \\ 7 (- 28) + 5 \times 38 & 7 \times 93 + 5 (- 126) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & - 6 \\ - 6 & 21 \end{matrix})$

2). $А В С = (А В) С = (\begin{matrix} 2 & - 6 \\ - 6 & 21 \end{matrix}) (\begin{matrix} 7 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \times 7 - 6 \times 2 & 2 \times 3 - 6 \times 1 \\ - 6 \times 7 + 21 \times 2 & - 6 \times 3 + 21 \times 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}) .$

Используем формулу $А В С = (А В) С$ :

1). $В С = (\begin{matrix} - 28 & 93 \\ 38 & - 126 \end{matrix}) (\begin{matrix} 7 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 28 \times 7 + 93 \times 2 & - 28 \times 3 + 93 \times 1 \\ 38 \times 7 - 126 \times 2 & 38 \times 3 - 126 \times 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 10 & 9 \\ 14 & - 12 \end{matrix})$

2). $А В С = (А В) С = (\begin{matrix} 7 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} - 10 & 9 \\ 14 & - 12 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 (- 10) + 3 \times 14 & 4 \times 9 + 3 (- 12) \\ 7 (- 10) + 5 \times 14 & 7 \times 9 + 5 (- 12) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix})$

Ответ: $(\begin{matrix} 4 & 3 \\ 7 & 5 \end{matrix}) (\begin{matrix} - 28 & 93 \\ 38 & - 126 \end{matrix}) (\begin{matrix} 7 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix})$

Умножение матрицы на число

Определение 2

Произведение матрицы $А$ на число $k$ — это матрица $В = А k$ того же размера, которая получена из исходной умножением на заданное число всех ее элементов:

$b_{i, j} = k \times a_{i, j}$

Свойства умножения матрицы на число:

$1 \times А = А$
$0 \times А =$ нулевая матрица
$k (A + B) = k A + k B$
$(k + n) A = k A + n A$
$(k \times n) \times A = k (n \times A)$

Пример 4

Найдем произведение матрицы $А = (\begin{matrix} 4 & 2 \\ 9 & 0 \end{matrix})$ на 5.

Решение:

$5 А = 5 (\begin{matrix} 4 & 2 \\ 9 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 5 \times 4 & 5 \times 2 \\ 5 \times 9 & 5 \times 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 20 & 10 \\ 45 & 0 \end{matrix})$

Умножение матрицы на вектор

Определение 3

Чтобы найти произведение матрицы и вектора, необходимо умножать по правилу «строка на столбец»:

если умножить матрицу на вектор-столбец число столбцов в матрице должно совпадать с числом строк в векторе-столбце;
результатом умножения вектора-столбца является только вектор-столбец:

$А В = (\begin{matrix} а_{11} & а_{12} & \dots & а_{1 n} \\ а_{21} & а_{22} & \dots & а_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ а_{m 1} & а_{m 2} & \dots & а_{m n} \end{matrix}) (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \dots \\ b_{1 n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} \times b_{1} + & a_{12} \times b_{2} + & \dots + & a_{1 n} \times b_{n} \\ a_{21} \times b_{1} + & a_{22} \times b_{2} + & \dots + & a_{2 n} \times b_{n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m 1} \times b_{1} + & a_{m 2} \times b_{2} + & \dots + & a_{m n} \times b_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ \dots \\ c_{1 m} \end{matrix})$

если умножить матрицу на вектор-строку, то умножаемая матрица должна быть исключительно вектором-столбцом, причем количество столбцов должно совпадать с количеством столбцов в векторе-строке:

$А В = (\begin{matrix} а \\ а \\ \dots \\ а \end{matrix}) (\begin{matrix} b & b & \dots & b \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} \times b_{1} & a_{1} \times b_{2} & \dots & a_{1} \times b_{n} \\ a_{2} \times b_{1} & a_{2} \times b_{2} & \dots & a_{2} \times b_{n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n} \times b_{1} & a_{n} \times b_{2} & \dots & a_{n} \times b_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1 n} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ c_{n 1} & c_{n 2} & \dots & c_{n n} \end{matrix})$

Пример 5

Найдем произведение матрицы $А$ и вектора-столбца $В$ :

$А В = (\begin{matrix} 2 & 4 & 0 \\ - 2 & 1 & 3 \\ - 1 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \times 1 + & 4 \times 2 + & 0 \times (- 1) \\ - 2 \times 1 + & 1 \times 2 + & 3 \times (- 1) \\ - 1 \times 1 + & 0 \times 2 + & 1 \times (- 1) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 + & 8 + & 0 \\ - 2 + & 2 - & 3 \\ - 1 + & 0 - & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 10 \\ - 3 \\ - 2 \end{matrix})$

Пример 6

Найдем произведение матрицы $А$ и вектора-строку $В$ :

$А = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}), В = (\begin{matrix} - 1 & 1 & 0 & 2 \end{matrix})$

Решение:

$А В = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 1 & 1 & 0 & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \times (- 1) & 3 \times 1 & 3 \times 0 & 3 \times 2 \\ 2 \times (- 1) & 2 \times 1 & 2 \times 0 & 2 \times 2 \\ 0 \times (- 1) & 0 \times 1 & 0 \times 0 & 0 \times 2 \\ 1 \times (- 1) & 1 \times 1 & 1 \times 0 & 1 \times 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 & 3 & 0 & 6 \\ - 2 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 & 2 \end{matrix})$

Ответ: $А В = (\begin{matrix} - 3 & 3 & 0 & 6 \\ - 2 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 & 2 \end{matrix})$