Эквивалентные бесконечно малые, применение к нахождению пределов

Доказать эквивалентность бесконечно малых величин $\ln (1+\alpha (x\left)\right)$ и $\alpha \left(x\right)$.

Решение

Необходимо вычислить предел отношения данных величин $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\ln (1+\alpha (x\left)\right)}{\alpha \left(x\right)}$.

При использовании одно свойства логарифмов, получаем, что

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\ln (1+\alpha (x\left)\right)}{\alpha \left(x\right)}=\frac{1}{\alpha \left(x\right)}\ln (1+\alpha (x\left)\right)=\ln (1+\alpha (x){)}^{\frac{1}{\alpha \left(x\right)}}$

Запишем предел вида

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\ln (1+\alpha (x\left)\right)}{\alpha \left(x\right)}=\ln (1+\alpha (x){)}^{\frac{1}{\alpha \left(x\right)}}$

Логарифмическая функция считается непрерывной на своей области определения, тогда необходимо применять свойство предела непрерывных функций, причем сменить знак перед предельным переходом и логарифмом. Получаем, что

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\ln (1+\alpha (x\left)\right)}{\alpha \left(x\right)}=\ln (1+\alpha (x){)}^{\frac{1}{\alpha \left(x\right)}}=\ln \left(\underset{x\to x_0}{\lim }{\left(1+\alpha \left(x\right)\right)}^{\frac{1}{a\left(x\right)}}\right)$

Необходимо произвести замену переменных $t=\alpha \left(x\right)$. Имеем, что $\alpha \left(x\right)$ является бесконечно малой функцией с $x\to x_0$, тогда $\underset{x\to x_0}{\lim }a\left(x\right)=0$. Отсюда следует, что $t\to 0$.

Предел принимает вид

$$\begin{gathered} \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\ln (1+\alpha (x\left)\right)}{\alpha \left(x\right)}=\ln (1+\alpha (x){)}^{\frac{1}{\alpha \left(x\right)}}=\ln \left(\underset{x\to x_0}{\lim }{\left(1+\alpha \left(x\right)\right)}^{\frac{1}{a\left(x\right)}}\right)= \\ =\ln \left(\underset{t\to 0}{\lim }(1+t{)}^{\frac{1}{t}}\right)=\ln (e)=1 \end{gathered}$$

Ответ: $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\ln (1+\alpha (x\left)\right)}{\alpha \left(x\right)}=1$

Вычислить предел функции $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos \left(4x^2\right)}{16x^4}$.

Решение

Производится подстановка значений

Полученная неопределенность говорит о том, что функция бесконечно малая и для ее разрешения необходимо обратиться к таблице эквивалентных бесконечно малых. Тогда получаем, что функция $1-\cos \left(\alpha \left(x\right)\right)$ является эквивалентной $\frac{{\left(\alpha \left(x\right)\right)}^2}{2}$, тогда имеем, что $1-\cos \left(4x^2\right)$ является эквивалентной $\frac{{\left(4x^2\right)}^2}{2}$.

После того, как была произведена замена бесконечно малой функции на ее эквивалентную, предел запишется так:

Без таблицы эквивалентных бесконечно малых не имели бы возможность воспользоваться правилом Лопиталя. Получаем, что

Можно было произвести преобразование функции с применением тригонометрических формул с применением первого замечательного предела. Запишем, что

Ответ: $\frac{1}{2}$.