Второй замечательный предел: примеры нахождения, задачи и подробные решения

Найдите предел $\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{2}{x^2+1}\right)}^{\frac{x^2+1}{4}}$.

Решение

Подставим нужную формулу и выполним вычисления.

$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{2}{x^2+1}\right)}^{\frac{x^2+1}{4}}={\left(1-\frac{2}{{\infty }^2+1}\right)}^{\frac{{\infty }^2+1}{4}}={\left(1-0\right)}^{\infty }=open{1}^{\infty }>$

У нас в ответе получилась единица в степени бесконечность. Чтобы определиться с методом решения, используем таблицу неопределенностей. Выберем второй замечательный предел и произведем замену переменных.

$t=-\frac{x^2+1}{2}\iff \frac{x^2+1}{4}=-\frac{t}{2}$

Если $x\to \infty$, тогда $t\to -\infty$.

Посмотрим, что у нас получилось после замены:

$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{2}{x^2+1}\right)}^{\frac{x^2+1}{4}}=open{1}^{\infty }>=\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{-\frac{1}{2}t}=\underset{t\to \infty }{\lim }{\left({\left(1+\frac{1}{t}\right)}^t\right)}^{-\frac{1}{2}}=e^{-\frac{1}{2}}$

Ответ: $\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{2}{x^2+1}\right)}^{\frac{x^2+1}{4}}=e^{-\frac{1}{2}}$.

Вычислите предел $\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^x$.

Решение 

Подставим бесконечность и получим следующее.

$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^x=\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1-{\displaystyle \frac{1}{x}}}{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}\right)}^x={\left(\frac{1-0}{1+0}\right)}^{\infty }=open{1}^{\infty }>$

В ответе у нас опять получилось то же самое, что и в предыдущей задаче, следовательно, мы можем опять воспользоваться вторым замечательным пределом. Далее нам нужно выделить в основании степенной функции целую часть:

$\frac{x-1}{x+1}=\frac{x+1-2}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}-\frac{2}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$

После этого предел приобретает следующий вид:

$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^x=open{1}^{\infty }>=\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{2}{x+1}\right)}^x$

Заменяем переменные. Допустим, что $t=-\frac{x+1}{2}\Rightarrow 2t=-x-1\Rightarrow x=-2t-1$; если $x\to \infty$, то $t\to \infty$.

После этого записываем, что у нас получилось в исходном пределе:

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^x=open{1}^{\infty }>=\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{2}{x+1}\right)}^x=\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{-2t-1}= \\ =\underset{x\to \infty }{\lim }\left({\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{-2t}·{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{-1}\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{-2t}·\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{-1}= \\ =\underset{x\to \infty }{\lim }{\left({\left(1+\frac{1}{t}\right)}^t\right)}^{-2}·\left(1+\frac{1}{\infty }\right)=e^{-2}·(1+0{)}^{-1}=e^{-2} \end{gathered}$$

Чтобы выполнить данное преобразование, мы использовали основные свойства пределов и степеней.

Ответ: $\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^x=e^{-2}$.

Вычислите предел $\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{x^3+1}{x^3+2x^2-1}\right)}^{\frac{3x^4}{2x^3-5}}$.

Решение

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{x^3+1}{x^3+2x^2-1}\right)}^{\frac{3x^4}{2x^3-5}}=\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1+{\displaystyle \frac{1}{x^3}}}{1+{\displaystyle \frac{2}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x^3}}}\right)}^{\frac{3}{{\displaystyle \frac{2}{x}}-{\displaystyle \frac{5}{x^4}}}}= \\ ={\left(\frac{1+0}{1+0-0}\right)}^{\frac{3}{0-0}}=open{1}^{\infty }> \end{gathered}$$

После этого нам нужно выполнить преобразование функции для применения второго замечательного предела. У нас получилось следующее:

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{x^3+1}{x^3+2x^2-1}\right)}^{\frac{3x^4}{2x^3-5}}=open{1}^{\infty }>=\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{x^3-2x^2-1-2x^2+2}{x^3+2x^2-1}\right)}^{\frac{3x^4}{2x^3-5}}= \\ =\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{-2x^2+2}{x^3+2x^2-1}\right)}^{\frac{3x^4}{2x^3-5}} \end{gathered}$$

Далее нам нужно домножить показатель на $\frac{x^3+2x^2-1}{-2x^2+2}$, после чего разделить на то же выражение, используя свойства степеней.

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{-2x^2+2}{x^3+2x^2-1}\right)}^{\frac{3x^4}{2x^3-5}}=\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{-2x^2+2}{x^3+2x^2-1}\right)}^{\frac{x^3+2x^2-1}{-2x^2+2}\frac{-2x^2+2}{x^3+2x^2-1}\frac{3x^4}{2x^3-5}}= \\ =\underset{x\to \infty }{\lim }{\left({\left(1+\frac{-2x^2+2}{x^3+2x^2-1}\right)}^{\frac{x^3+2x^2-1}{-2x^2+2}}\right)}^{\frac{-2x^2+2}{x^3+2x^2-1}\frac{3x^4}{2x^3-5}} \end{gathered}$$

Поскольку сейчас у нас есть одинаковые показатели степени в числителе и знаменателе дроби (равные шести), то предел дроби на бесконечности будет равен отношению данных коэффициентов при старших степенях.

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }{\left({\left(1+\frac{-2x^2+2}{x^3+2x^2-1}\right)}^{\frac{x^3+2x^2-1}{-2x^2+2}}\right)}^{\frac{-2x^2+2}{x^3+2x^2-1}\frac{3x^4}{2x^3-5}}= \\ =\underset{x\to \infty }{\lim }{\left({\left(1+\frac{-2x^2+2}{x^3+2x^2-1}\right)}^{\frac{x^3+2x^2-1}{-2x^2+2}}\right)}^{-\frac{6}{2}}=\underset{x\to \infty }{\lim }{\left({\left(1+\frac{-2x^2+2}{x^3+2x^2-1}\right)}^{\frac{x^3+2x^2-1}{-2x^2+2}}\right)}^{-3} \end{gathered}$$

При замене $t=\frac{x^2+2x^2-1}{-2x^2+2}$ у нас получится второй замечательный предел. Значит, что:

$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left({\left(1+\frac{-2x^2+2}{x^3+2x^2-1}\right)}^{\frac{x^3+2x^2-1}{-2x^2+2}}\right)}^{-3}=\underset{x\to \infty }{\lim }{\left({\left(1+\frac{1}{t}\right)}^t\right)}^{-3}=e^{-3}$

Ответ:$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{x^3+1}{x^3+2x^2-1}\right)}^{\frac{3x^4}{2x^3-5}}=e^{-3}$.