Второй замечательный предел: примеры нахождения, задачи и подробные решения

Содержание:

15 сентября 2023
4 минуты
3431

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Формула второго замечательного предела имеет вид $\lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} = e$ . Другая форма записи выглядит так: $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$ .

Когда мы говорим о втором замечательном пределе, то нам приходится иметь дело с неопределенностью вида $<1^{\infty}>$ , т.е. единицей в бесконечной степени.

Рассмотрим задачи, в которых нам пригодится умение вычислять второй замечательный предел.

Пример 1

Найдите предел $\lim_{x \to \infty} {(1 - \frac{2}{x^{2} + 1})}^{\frac{x^{2} + 1}{4}}$ .

Решение

Подставим нужную формулу и выполним вычисления.

$\lim_{x \to \infty} {(1 - \frac{2}{x^{2} + 1})}^{\frac{x^{2} + 1}{4}} = {(1 - \frac{2}{\infty^{2} + 1})}^{\frac{\infty^{2} + 1}{4}} = {(1 - 0)}^{\infty} = <1^{\infty}>$

У нас в ответе получилась единица в степени бесконечность. Чтобы определиться с методом решения, используем таблицу неопределенностей. Выберем второй замечательный предел и произведем замену переменных.

$t = - \frac{x^{2} + 1}{2} \Leftrightarrow \frac{x^{2} + 1}{4} = - \frac{t}{2}$

Если $x \to \infty$ , тогда $t \to - \infty$ .

Посмотрим, что у нас получилось после замены:

$\lim_{x \to \infty} {(1 - \frac{2}{x^{2} + 1})}^{\frac{x^{2} + 1}{4}} = <1^{\infty}> = \lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{t})}^{- \frac{1}{2} t} = \lim_{t \to \infty} {({(1 + \frac{1}{t})}^{t})}^{- \frac{1}{2}} = e^{- \frac{1}{2}}$

Ответ: $\lim_{x \to \infty} {(1 - \frac{2}{x^{2} + 1})}^{\frac{x^{2} + 1}{4}} = e^{- \frac{1}{2}}$ .

Пример 2

Вычислите предел $\lim_{x \to \infty} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{x}$ .

Решение

Подставим бесконечность и получим следующее.

$\lim_{x \to \infty} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{x} = \lim_{x \to \infty} {(\frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}})}^{x} = {(\frac{1 - 0}{1 + 0})}^{\infty} = <1^{\infty}>$

В ответе у нас опять получилось то же самое, что и в предыдущей задаче, следовательно, мы можем опять воспользоваться вторым замечательным пределом. Далее нам нужно выделить в основании степенной функции целую часть:

$\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{x + 1 - 2}{x + 1} = \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}$

После этого предел приобретает следующий вид:

$\lim_{x \to \infty} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{x} = <1^{\infty}> = \lim_{x \to \infty} {(1 - \frac{2}{x + 1})}^{x}$

Заменяем переменные. Допустим, что $t = - \frac{x + 1}{2} \Rightarrow 2 t = - x - 1 \Rightarrow x = - 2 t - 1$ ; если $x \to \infty$ , то $t \to \infty$ .

После этого записываем, что у нас получилось в исходном пределе:

$\lim_{x \to \infty} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{x} = <1^{\infty}> = \lim_{x \to \infty} {(1 - \frac{2}{x + 1})}^{x} = \lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{t})}^{- 2 t - 1} = = \lim_{x \to \infty} ({(1 + \frac{1}{t})}^{- 2 t} \cdot {(1 + \frac{1}{t})}^{- 1}) = \lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{t})}^{- 2 t} \cdot \lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{t})}^{- 1} = = \lim_{x \to \infty} {({(1 + \frac{1}{t})}^{t})}^{- 2} \cdot (1 + \frac{1}{\infty}) = e^{- 2} \cdot (1 + 0)^{- 1} = e^{- 2}$

Чтобы выполнить данное преобразование, мы использовали основные свойства пределов и степеней.

Ответ: $\lim_{x \to \infty} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{x} = e^{- 2}$ .

Пример 3

Вычислите предел $\lim_{x \to \infty} {(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} + 2 x^{2} - 1})}^{\frac{3 x^{4}}{2 x^{3} - 5}}$ .

Решение

$\lim_{x \to \infty} {(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} + 2 x^{2} - 1})}^{\frac{3 x^{4}}{2 x^{3} - 5}} = \lim_{x \to \infty} {(\frac{1 + \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}}})}^{\frac{3}{\frac{2}{x} - \frac{5}{x^{4}}}} = = {(\frac{1 + 0}{1 + 0 - 0})}^{\frac{3}{0 - 0}} = <1^{\infty}>$

После этого нам нужно выполнить преобразование функции для применения второго замечательного предела. У нас получилось следующее:

$\lim_{x \to \infty} {(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} + 2 x^{2} - 1})}^{\frac{3 x^{4}}{2 x^{3} - 5}} = <1^{\infty}> = \lim_{x \to \infty} {(\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 1 - 2 x^{2} + 2}{x^{3} + 2 x^{2} - 1})}^{\frac{3 x^{4}}{2 x^{3} - 5}} = = \lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{- 2 x^{2} + 2}{x^{3} + 2 x^{2} - 1})}^{\frac{3 x^{4}}{2 x^{3} - 5}}$

Далее нам нужно домножить показатель на $\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 1}{- 2 x^{2} + 2}$ , после чего разделить на то же выражение, используя свойства степеней.

$\lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{- 2 x^{2} + 2}{x^{3} + 2 x^{2} - 1})}^{\frac{3 x^{4}}{2 x^{3} - 5}} = \lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{- 2 x^{2} + 2}{x^{3} + 2 x^{2} - 1})}^{\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 1}{- 2 x^{2} + 2} \frac{- 2 x^{2} + 2}{x^{3} + 2 x^{2} - 1} \frac{3 x^{4}}{2 x^{3} - 5}} = = \lim_{x \to \infty} {({(1 + \frac{- 2 x^{2} + 2}{x^{3} + 2 x^{2} - 1})}^{\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 1}{- 2 x^{2} + 2}})}^{\frac{- 2 x^{2} + 2}{x^{3} + 2 x^{2} - 1} \frac{3 x^{4}}{2 x^{3} - 5}}$

Поскольку сейчас у нас есть одинаковые показатели степени в числителе и знаменателе дроби (равные шести), то предел дроби на бесконечности будет равен отношению данных коэффициентов при старших степенях.

$\lim_{x \to \infty} {({(1 + \frac{- 2 x^{2} + 2}{x^{3} + 2 x^{2} - 1})}^{\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 1}{- 2 x^{2} + 2}})}^{\frac{- 2 x^{2} + 2}{x^{3} + 2 x^{2} - 1} \frac{3 x^{4}}{2 x^{3} - 5}} = = \lim_{x \to \infty} {({(1 + \frac{- 2 x^{2} + 2}{x^{3} + 2 x^{2} - 1})}^{\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 1}{- 2 x^{2} + 2}})}^{- \frac{6}{2}} = \lim_{x \to \infty} {({(1 + \frac{- 2 x^{2} + 2}{x^{3} + 2 x^{2} - 1})}^{\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 1}{- 2 x^{2} + 2}})}^{- 3}$

При замене $t = \frac{x^{2} + 2 x^{2} - 1}{- 2 x^{2} + 2}$ у нас получится второй замечательный предел. Значит, что:

$\lim_{x \to \infty} {({(1 + \frac{- 2 x^{2} + 2}{x^{3} + 2 x^{2} - 1})}^{\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 1}{- 2 x^{2} + 2}})}^{- 3} = \lim_{x \to \infty} {({(1 + \frac{1}{t})}^{t})}^{- 3} = e^{- 3}$

Ответ: $\lim_{x \to \infty} {(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} + 2 x^{2} - 1})}^{\frac{3 x^{4}}{2 x^{3} - 5}} = e^{- 3}$ .

Выводы

Неопределенность $<1^{\infty}>$ , т.е. единица в бесконечной степени, является степенной неопределенностью, следовательно, ее можно раскрыть, используя правила нахождения пределов показательно степенных функций.

Советуем также изучить материалы, посвященные пределам, основным определениям и задачам на их нахождение.