Каноническое уравнение прямой на плоскости: теория, примеры, решение задач

Прямую линию в прямоугольной системе координат можно задать с помощью канонического уравнения. В этой статье мы расскажем, что это такое, приведем примеры, рассмотрим связи канонических уравнений с другими типами уравнений для этой прямой. В последнем пункте мы разберем несколько задач на закрепление темы.

Понятие канонического уравнения прямой

Допустим, что у нас есть декартова (прямоугольная) система координат, в которой задана прямая. Нам известны координаты произвольно взятой точки этой прямой $M_1(x_1, y_1)$, а также ее направляющего вектора $\overrightarrow{a}=(a_x, a_y)$. Попробуем составить уравнение, которое описывало бы эту прямую.

Возьмем плавающую точку $M(x, y)$. Тогда вектор $\overrightarrow{M_{1}M}$ можно считать направляющим для исходной прямой. Его координаты будут равны  $\left(x-x_1, y-y_{\mathrm{1 }}\right)$(если нужно, повторите материал о том, как правильно вычислять координаты вектора с помощью координат отдельных его точек).

Множество произвольно взятых точек $M(x, y)$ будут определять нужную нам прямую с направляющим вектором $\overrightarrow{a}=(a_x, a_y)$ только в одном случае – если векторы $\overrightarrow{M_{1}M}$ и $\overrightarrow{a}=(a_x, a_y)$ будут коллинеарны по отношению друг к другу. Посмотрите на картинку: 

Таким образом, мы можем сформулировать необходимое и достаточное коллинеарности этих двух векторов:

$\overrightarrow{M_{1}M}=\lambda ·\overrightarrow{a}, \lambda \in R$

Если преобразовать полученное равенство в координатную форму, то мы получим:

$\left\{\begin{array}{l}x-x_1=\lambda ·a_x\\ y-y_1=\lambda ·a_y\end{array}\right.$

При условии, что $a_x\ne 0$ и $a_y\ne 0$, получим:

$\left\{\begin{array}{l}x-x_1=\lambda ·a_x\\ y-y_1=\lambda ·a_y\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\lambda =\frac{x-x_1}{a_x}\\ \lambda =\frac{y-y_1}{a_y}\end{array}\right.\iff \frac{x-x_1}{a_x}=\frac{y-y_1}{a_y}$

Итог наших преобразований и будет каноническим уравнением прямой на плоскости. Запись вида $\frac{x-x_1}{a_x}=\frac{y-y_1}{a_y}$ также называют уравнением прямой в каноническом виде.

Таким образом, с помощью уравнения $\frac{x-x_1}{a_x}=\frac{y-y_1}{a_y}$ можно задать в прямоугольной системе координат на плоскости прямую, которая имеет направляющий вектор $\overrightarrow{a}=(a_x, a_y)$ и проходит через точку $M_1(x_1, y_1)$.

Примером уравнения подобного типа является, например, $\frac{x-2}{\sqrt{3}}=\frac{y-3}{1}$. Прямая, которая задана с его помощью, проходит через  $M_1(2, 3)$ и имеет направляющий вектор $\overrightarrow{a}=\left(\sqrt{3}, 1\right)$. Ее можно увидеть на рисунке:

Из определения канонического уравнения нужно сделать несколько важных выводов. Вот они:

Разберем важный пример задачи на нахождение канонического уравнения.

Канонические уравнения прямой на плоскости с $a_x$ или $a_y$, равными нулю

Если значение хотя бы одной переменной $a$ является нулевым, то уравнение плоскости используют в первоначальном виде. Сразу две переменные нулевыми не могут быть по определению, поскольку нулевой вектор не бывает направляющим. В таком случае мы можем считать запись $\frac{x-x_1}{a_x}=\frac{y-y_1}{a_y}$ условной и понимать ее как равенство $a_y(x-x_1)=a_x(y-y_1)$.

Разберем случаи канонических уравнений на плоскости с одним нулевым $a$ более подробно. Допустим, что $\frac{x-x_1}{0}=\frac{y-y_1}{a_y}$ при $a_x=0$, а исходная прямая будет проходить через $M_1(x_1, y_1)$. В таком случае она является параллельной оси ординат (если $x_1=0$, то она будет с ней совпадать). Докажем это утверждение.

Для этой прямой вектор $\overrightarrow{a}=(0, a_y)$ будет считаться направляющим. Этот вектор является коллинеарным по отношению к координатному вектору $\overrightarrow{j}=(0,1)$.

Если же нулевым является значение второго параметра, то есть $a_y=0$, то мы получаем равенство вида $\frac{x-x_1}{a_x}=\frac{y-y_1}{0}$. Это уравнение описывает прямую, проходящую через $M_1(x_1, y_1)$, которая расположена параллельно оси абсцисс. Это утверждение верно, поскольку $\overrightarrow{a}=(a_x, 0)$ является для этой прямой направляющим вектором, а он в свою очередь является коллинеарным по отношению к координатному вектору $\overrightarrow{i}=(1, 0)$.

Проиллюстрируем два частных случая канонического уравнения, описанные выше:

Преобразование канонического уравнения прямой в другие виды уравнений

Мы уже выяснили, что в прямоугольной системе координат на плоскости заданную прямую можно описать с помощью канонического уравнения. Оно удобно для решения многих задач, однако иногда лучше производить вычисления с помощью другого типа уравнений. Сейчас мы покажем, как преобразовать каноническое уравнение в другие виды, если это требуется по ходу решения.

Стандартной форме записи канонического уравнения $\frac{x-x_1}{a_x}=\frac{y-y_1}{a_y}$ можно поставить в соответствие систему параметрических уравнений на плоскости $\left\{\begin{array}{l}x=x_1+a_x·\lambda \\ y=y_1+a_y·\lambda \end{array}\right.$. Чтобы преобразовать один вид уравнения в другой, нам надо приравнять правую и левую часть исходного равенства к параметру $\lambda$. После этого надо выполнить разрешение получившихся равенств относительно переменных $x$ и $y$:

$$\begin{gathered} \frac{x-x_1}{a_x}=\frac{y-y_1}{a_y}\iff \frac{{\displaystyle x-x_1}}{{\displaystyle a_x}}=\frac{{\displaystyle y-y_1}}{{\displaystyle a_y}}=\lambda \iff \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{x-x_1}{a_x}=\lambda \\ \frac{y-y_1}{a_y}=\lambda \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=x_1+a_x·\lambda \\ y=y_1+a_y·\lambda \end{array}\right. \end{gathered}$$

Покажем на примере, как именно выполняется это действие с конкретными числами.

Из канонического уравнения можно получить не только параметрические, но и общие уравнения прямой. Вспомним понятие пропорции: запись $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ можно представить в виде $a·d=b·c$ с сохранением смысла. Значит, что $\frac{x-x_1}{a_x}=\frac{y-y_1}{a_y}\iff a_y(x-x_1)=a_x(y-y_1)\iff a_{y}x-a_{x}y-a_y{x}_1+a_x{y}_1=0$.

Это и есть общее уравнение прямой. Это станет более очевидно, если мы добавим в него значения параметров $a_y=A, -a_x=B, -a_y{x}_1+a_x{y}_1=C$.

Также из канонического уравнения мы можем получить уравнение прямой в отрезках, прямой с угловым коэффициентом или нормальное уравнение прямой, но это действие выполняется в два шага: первым делом мы получаем общее уравнение прямой, а вторым – преобразуем его в уравнение указанного типа. Разберем пример такой задачи.

Достаточно легко решить и задачу, обратную этой, т.е. привести уравнение прямой на плоскости обратно к каноническому. Допустим, у нас есть общее уравнение прямой в стандартной формулировке – $Ax+By+C=0$. При условии $A\ne 0$ мы можем перенести $By$ вправо с противоположным знаком. Получим $Ax+C=-By$. Теперь выносим $A$ за скобки и преобразуем равенство так:

$A\left(x+\frac{C}{A}\right)=-By$

Получившееся уравнение мы записываем в виде пропорции: $\frac{x+{\displaystyle \frac{C}{A}}}{-B}=\frac{y}{A}$.

У нас получилось нужное нам каноническое уравнение прямой на плоскости.

А как сделать преобразование, если $B\ne 0$? Переносим все слагаемые, кроме $Ax$, вправо с противоположными знаками. Получаем, что $Ax=-By-C$. Выносим $-B$ за скобки:

$Ax=-B\left(y+\frac{C}{B}\right)$

Формируем пропорцию: $\frac{x}{-B}=\frac{y+{\displaystyle \frac{C}{B}}}{A}$

Таким же образом мы поступаем, если нам нужно привести к каноническому виду уравнение прямой в отрезках и уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Наиболее простая задача – переход от параметрических уравнений к каноническим. Нужно просто выразить параметр $\lambda$ в системе уравнений $\left\{\begin{array}{l}x=x_1+a_x·\lambda \\ y=y_1+a_y·\lambda \end{array}\right.$ и приравнять обе части равенств. Схема решения выглядит так:

$\left\{\begin{array}{l}x=x_1+a_x·\lambda \\ y=y_1+a_y·\lambda \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\lambda =\frac{x-x_1}{a_x}\\ \lambda =\frac{y-y_1}{a_y}\end{array}\right.\iff \frac{x-x_1}{a_x}=\frac{y-y_1}{a_y}$

Если значение одного из параметров $a$ будет нулевым, мы поступаем точно таким же образом.

Как решать задачи на составление канонических уравнений

В первую очередь канонические уравнения используются для тех задач, где нужно выяснить, принадлежит ли некоторая точка заданной прямой или нет. Вспомним, что в случае, если точка лежит на прямой, ее координаты будут удовлетворять уравнению этой прямой.

Далее мы посмотрим, какие еще типичные задачи на нахождение канонического уравнения можно встретить. Возьмем примеры с разными условиями.

Наиболее простыми являются задачи на нахождение канонического уравнения прямой на плоскости, в которых уже заданы координаты некой точки, лежащей на прямой. В первой части материала мы уже приводили пример решения такой задачи.

Чуть сложнее будет найти нужное уравнение, если нам предварительно нужно будет вычислить координаты направляющего вектора исходной прямой. Чаще всего встречаются задачи, в которой нужная прямая проходит через две точки с известными координатами.

Посмотрим, как нужно составлять канонические уравнения прямой на плоскости в том случае, если направляющий вектор этой прямой нужно вычислять исходя из параллельных или перпендикулярных ей прямых.