Нормальное (нормированное) уравнение прямой: описание, примеры, решение задач

В данной статье рассмотрим нормальное уравнение прямой на заданной плоскости. Получим нормальное уравнение, покажем не примере, дадим определение нормирующего множителя и разберем приведение общего уравнения к нормальному виду. Заключительной части посвятим основному приложению нормального уравнения прямой, то есть нахождение расстояние от точки до прямой на плоскости.

Нормальное уравнение прямой – описание и пример

Рассмотрим выведение нормального уравнения.

Фиксируем на плоскости систему координат $Оху$, где задаем прямую с точкой, через которую она проходит с нормальным вектором прямой. Нормальному вектору прямой дадим обозначение $\overrightarrow{n}$. Его начало обозначено точкой $O$. координатами являются $\cos \alpha$ и $\cos \beta$, углы которых расположены между вектором $\overrightarrow{n}$ и положительными осями $Оx$ и $Oy$. Это запишется так: $\overrightarrow{n}=(\cos \alpha , \cos \beta )$. Прямая проходит через точку $A$ с расстоянием равным $p$, где $p\ge 0$ от начальной точки $O$ при положительном направлении вектора $\overrightarrow{n}$. Если $р=0$, тогда $A$ считается совпадающей с точкой координат. Отсюда имеем, что $\left|OA\right|=p$. Получаем уравнение, при помощи которого  задается прямая.

Имеем, что точка с координатами $M (x, y)$ расположена на прямой тогда и только тогда, когда числовая проекция вектора  $\overrightarrow{OM}$ по направлению вектора $\overrightarrow{n}$ равняется $p$, значит при выполнении условия $n{p}_{\overrightarrow{n}}\overrightarrow{OM}=p$.

$\overrightarrow{OM}$ является радиус-вектором точки с координатами $M (x, y)$, значит $\overrightarrow{OM}=(x, y)$.

Применив определение скалярного произведения векторов, получим равенство вида: $\left(\overrightarrow{n}, \overrightarrow{OM}\right)=\left|\overrightarrow{n}\right|·n{p}_{\overrightarrow{n}}\overrightarrow{OM}=1·n{p}_{\overrightarrow{n}}\overrightarrow{OM}=n{p}_{\overrightarrow{n}}\overrightarrow{OM}=p$

Тогда это же произведение будет иметь вид в координатной форме: $\left(\overrightarrow{n}, \overrightarrow{OM}\right)=\cos \alpha ·x+\cos \beta ·y$

Отсюда $\cos \alpha ·x+\cos \beta ·y=p$ или $\cos \alpha ·x+\cos \beta ·y-p=0$. Было выведено нормальное уравнение прямой.

Понятно, что такое уравнение представляет собой общее уравнение прямой $Ax+By+C=0$, где $A$ и $B$ имеют значения, при которых длина вектора $\overrightarrow{n}=(A, B)$ равна $1$, а $C$ является неотрицательным числом.

Теперь рассмотрим его геометрический смысл. Нормальное уравнение прямой вида $\cos \alpha ·x+\cos \beta ·y-p=0$ задает в системе координат $Оху$ на плоскости прямую с наличием нормального вектора единичной длины $\overrightarrow{n}=(\cos \alpha , \cos \beta )$, которая располагается на расстоянии равном $p$ от начала координат по положительному направлению вектора $\overrightarrow{n}$.

Если дано уравнение прямой вида $-\frac{1}{2}·x+\frac{\sqrt{3}}{2}·y-3=0$, то на плоскости задается прямая, у которой нормальный вектор  с координатами $\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Удаление прямой от начала координат идет по направлению, совпадающему с направлением нормального вектора $\overrightarrow{n}=\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду

Часто решение задач подразумевает использование нормального уравнения прямой, но само оно не дается в нормальном виде, поэтому необходимо для начала приводить к нормальному виду, после чего выполнять необходимые вычисления.

Нормальное уравнение получают из общего уравнения прямой. Когда на плоскости задается другим уравнением, то необходимо привести его к общему виду, после чего возможно приведение к нормальному. Если рассмотреть на примере, то это будет выглядеть так.

Для приведения общего уравнения прямой $Ax+Bx+C=0$ к нормальному  необходимо обе части умножить на нормирующий множитель, который  имеет значение $\pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2}}$. Его знак определяется при помощи противоположности знака слагаемого $C$. При $С=0$ знак выбирается произвольно.

Нахождение расстояния от точки до прямой на плоскости

В данном пункте рассмотрим важное приложение нормального уравнения прямой – нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости.

Расстояние от точки $M_0(x_0, y_0)$ до прямой  с нормальным уравнением $\cos \alpha ·x+\cos \beta ·y-p=0$ задается буквой $p$. Вычисление расстояния р производится по формуле $p=\left|\cos \alpha ·x_0+\cos \beta ·y_0-p\right|$. Для того, чтобы найти расстояние от точки до прямой, нужно сделать подстановку координат этой точки в левую часть уравнения и работать с абсолютной величиной полученного значения. С подробным выводом формулы можно ознакомиться  в статье нахождения расстояния от точки до прямой. Имеется альтернативный способ его вычисления.