Общее уравнение плоскости : описание, примеры, решение задач

Содержание:

05 мая 2023
15 минут
4187

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В статье рассмотрим такой тип уравнений плоскости как общее уравнение, получим его вид и разберем на практических примерах. Рассмотрим частные случаи и понятие общего неполного уравнения плоскости.

Общее уравнение плоскости: основные сведения

Перед началом разбора темы вспомним, что такое уравнение плоскости в прямоугольной системе координат в трёхмерном пространстве. Пусть нам дана прямоугольная система координат $O x y z$ в трехмерном пространстве, уравнением плоскости в заданной системе координат будет такое уравнение с тремя неизвестными $x, y,$ и $z$ , которому отвечали бы координаты всех точек этой плоскости и не отвечали бы координаты никаких прочих точек. Иначе говоря, подставив в уравнение плоскости координаты некоторой точки этой плоскости, получаем тождество. Если же в уравнение подставить координаты какой-то другой точки, не принадлежащей заданной плоскости, равенство станет неверным.

Также вспомним определение прямой, перпендикулярной к плоскости: прямая является перпендикулярной к заданной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

Теорема 1

Любую плоскость, заданную в прямоугольной системе координат $O x y z$ трехмерного пространства, можно определить уравнением $A x + B y + C z + D = 0$ . В свою очередь, любое уравнение $A x + B y + C z + D = 0$ определяет некоторую плоскость в данной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. $A, B, C, D$ – некоторые действительные числа, и числа $A, B, C$ не равны одновременно нулю.

Доказательство

Теорема состоит из двух частей. Разберем доказательство каждой из них.

Первая часть теоремы гласит, что любую заданную плоскость возможно описать уравнением вида $A x + B y + C z + D = 0$ . Допустим, задана некоторая плоскость и точка $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ , через которую эта плоскость проходит. Нормальным вектором этой плоскости является $\vec{n} = (A, B, C)$ . Приведем доказательство, что указанную плоскость в прямоугольной системе координат $O x y z$ задает уравнение $A x + B y + C z + D = 0$ .

Возьмем произвольную точку заданной плоскости $M (x, y, z)$ .В таком случае векторы $\vec{n} = (A, B, C)$ и $\vec{M_{0} M} = (x - x_{0}, y - y_{0}, z - z_{0})$ будут перпендикулярны друг другу, а значит их скалярное произведение равно нулю:

$(\vec{n}, \vec{M_{0} M}) = A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = A x + B y + C z - (A x_{0} + B y_{0} + C z_{0})$

Примем $D = - (A x_{0} + B y_{0} + C z_{0})$ , тогда уравнение преобразуется в следующий вид: $A x + B y + C z + D = 0$ . Оно и будет задавать исходную плоскость. Первая часть теоремы доказана.

Во второй части теоремы утверждается, что любое уравнение вида $A x + B y + C z + D = 0$ задает некоторую плоскость в прямоугольной системе координат $O x y z$ трехмерного пространства. Докажем это.

В теореме также указано, что действительные числа $А, B, C$ одновременно не являются равными нулю. Тогда существует некоторая точка $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ , координаты которой отвечают уравнению $A x + B y + C z + D = 0$ , т.е. верным будет равенство $A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D = 0$ . Отнимем левую и правую части этого равенства от левой и правой частей уравнения $A x + B y + C z + D = 0$ . Получим уравнение вида

$A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) + D = 0$ , и оно эквивалентно уравнению $A x + B y + C z + D = 0$ . Докажем, что уравнение $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) + D = 0$ задает некоторую плоскость.

Уравнение $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) + D = 0$ являет собой условие, необходимое и достаточное для перпендикулярности векторов $\vec{n} = (A, B, C)$ и $\vec{M_{0} M} = (x - x_{0}, y - y_{0}, z - z_{0})$ . Опираясь на утверждение, указанное перед теоремой, возможно утверждать, что при справедливом равенстве $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) + D = 0$ множество точек $M (x, y, z)$ задает плоскость, у которой нормальный вектор $\vec{n} = (A, B, C)$ . При этом плоскость проходит через точку $M (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ . Иначе говоря, уравнение $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) + D = 0$ задает в прямоугольной системе координат $O x y z$ трехмерного пространства некоторую плоскость. Таким, образом, эквивалентное этому уравнению уравнение $A x + B y + C z + D = 0$ также определяет эту плоскость. Теорема доказана полностью.

Общее уравнение плоскости: основные сведения

Уравнение вида $A x + B y + C z + D = 0$ называют общим уравнением плоскости в прямоугольной системе координат $O x y z$ трехмерного пространства.

Допустим, задано некоторое общее уравнение плоскости $λ \cdot A x + λ \cdot B y + λ \cdot C z + λ \cdot D = 0$ , где $λ$ – некое действительное число, не равное нулю. Это уравнение также задает в прямоугольной системе координат некоторую плоскость, совпадающую с плоскостью, определяемую уравнением $A x + B y + C z + D = 0$ , поскольку описывает то же самое множество точек трехмерного пространства. Например, уравнения $x - 2 \cdot y + \sqrt{3} \cdot z - 7 = 0$ и $- 2 \cdot x + 4 \cdot y - 2 \sqrt{3} \cdot z + 14 = 0$ задают одну и ту же плоскость, поскольку им обоим отвечают координаты одних и тех же точек трехмерного пространства.

Раскроем чуть шире смысл теорем.

В пределах заданной системы координат плоскость и общее уравнение, ее определяющее, неразрывно связаны: каждой плоскости отвечает общее уравнение плоскости вида $A x + B y + C z + D = 0$ ( при конкретных значениях чисел $A, B, C, D$ ). В свою очередь, этому уравнению отвечает заданная плоскость в заданной прямоугольной системе координат.

Укажем пример как иллюстрацию этих утверждений.

Ниже приведен чертеж, на котором изображена плоскость в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Заданной плоскости отвечает общее уравнение вида $4 x + 5 y - 5 z + 20 = 0$ , и ему соответствуют координаты любой точки этой плоскости. В свою очередь, уравнение $4 x + 5 y - 5 z + 20 = 0$ описывает в заданной системе координат множество точек, которые составляют изображенную плоскость.

Общее уравнение плоскости: основные сведения

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку

Повторимся: точка $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ лежит на плоскости, заданной в прямоугольной системе координат трехмерного пространства уравнением $A x + B y + C z + D = 0$ в том случае, когда подставив координаты точки $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ в уравнение $A x + B y + C z + D = 0$ , мы получим тождество.

Пример 1

Заданы точки $M_{0} (1, - 1, - 3)$ и $N_{0} (0, 2, - 8)$ и плоскость, определяемая уравнением $2 x + 3 y - z - 2 = 0$ . Необходимо проверить, принадлежат ли заданные точки заданной плоскости.

Решение

Подставим координаты точки $М_{0}$ в исходной уравнение плоскости:

$2 \cdot 1 + 3 \cdot (- 1) - (- 3) - 2 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0$

Мы видим, что получено верное равенство, значит точка $M_{0} (1, - 1, - 3)$ принадлежит заданной плоскости.

Аналогично проверим точку $N_{0}$ . Подставим ее координаты в исходное уравнение:

$2 \cdot 0 + 3 \cdot 2 - (- 8) - 2 = 0 \Leftrightarrow 12 = 0$

Равенство неверно. Таким, образом, точка $N_{0} (0, 2, - 8)$ не принадлежит заданной плоскости.

Ответ: точка $М_{0}$ принадлежит заданной плоскости; точка $N_{0}$ – не принадлежит.

Приведенное выше доказательство теоремы об общем уравнении дает нам возможность использовать важный факт: вектор $\vec{n} = (A, B, C)$ - нормальный вектор для плоскости, определяемой уравнением $A x + B y + C z + D = 0$ . Так, если нам известен вид общего уравнения, то возможно записать координаты нормального вектора заданной плоскости.

Пример 2

В прямоугольной системе координат задана плоскость $\sqrt{2} x + 3 y - z + 5 = 0$ . Необходимо записать координаты всех нормальных векторов заданной плоскости.

Решение

Мы знаем, что заданные общим уравнением коэффициенты при переменных $x, y, z$ служат координатами нормального вектора заданной плоскости. Тогда, нормальный вектор $\vec{n}$ исходной плоскости имеет координаты $(\sqrt{2}, 3, - 1)$ . В свою очередь, множество нормальных векторов запишем так:

$λ \cdot \vec{n} = (λ \cdot \sqrt{2}, λ \cdot 3, - λ), λ \in R, λ \neq 0$

Ответ: $(λ \cdot \sqrt{2}, λ \cdot 3, - λ), λ \in R, λ \neq 0$

Разберем обратную задачу, когда требуется составить уравнение плоскости по заданным координатам нормального вектора.

Очевидным фактом является то, что нормальный вектор $\vec{n} = (A, B, C)$ является нормальным вектором бесконечного множества параллельных плоскостей. Поэтому для обозначения конкретной плоскости введем дополнительное условие: зададим некоторую точку $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ , принадлежащую плоскости. Так, задавая в условии нормальный вектор и некоторую точку плоскости, мы ее зафиксировали.

Общее уравнение плоскости с нормальным вектором $\vec{n} = (A, B, C)$ будет выглядеть так: $A x + B y + C z + D = 0$ . По условию задачи точка $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ принадлежит заданной плоскости, т.е. ее координаты отвечают уравнению плоскости, а значит верно равенство: $A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D = 0$

Вычитая соответственно правые и левые части исходного уравнения и уравнения $A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D = 0$ , получим уравнение вида $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$ . Оно и будет уравнением плоскости, проходящей через точку $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ и имеющей нормальный вектор $\vec{n} = (A, B, C)$ .

Возможно получить это уравнение другим способом.

Очевидным фактом является то, что все точки $М (x, y, z)$ трехмерного пространства задают данную плоскость тогда и только тогда, когда векторы $\vec{n} = (A, B, C)$ и $\vec{M_{0} M} = (x - x_{0}, y - y_{0}, z - z_{0})$ перпендикулярны или, иначе говоря, когда скалярное произведение этих векторов равно нулю:

$(\vec{n}, \vec{M_{0} M}) = A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$

Пример 3

Задана точка $М_{0} (- 1, 2, - 3)$ , через которую в прямоугольной системе координат проходит плоскость, а также задан нормальный вектор этой плоскости $\vec{n} = (3, 7, - 5)$ . Необходимо записать уравнение заданной плоскости.

Решение

Рассмотрим два способа решения.

Исходные условия позволяют получить следующие данные:

$x_{0} = - 1, y_{0} = 2, z_{0} = - 3, A = 3, B = 7, C = - 5$

Подставим их в общее уравнение плоскости, проходящей через точку, т.е. в $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$

И получим:

$3 (x - (- 1)) + 7 (y - 2) - 5 (z - (- 3)) = 0 \Leftrightarrow 3 x + 7 y - 5 z - 26 = 0$

Допустим, $М (x, y, z)$ – некоторая точки заданной плоскости. Определим координаты вектора $\vec{M_{0} M}$ по координатам точек начала и конца:

$\vec{M_{0} M} = (x - x_{0}, y - y_{0}, z - z_{0}) = (x + 1, y - 2, z + 3)$

Чтобы получить искомое общее уравнение плоскости, необходимо также воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов и тогда:

$(\vec{n}, \vec{M_{0} M}) = 0 \Leftrightarrow 3 (x + 1) + 7 (y - 2) - 5 (z + 3) = 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow 3 x + 7 y - 5 z - 26 = 0$

Ответ: $3 x + 7 y - 5 z - 26 = 0$

Неполное общее уравнение плоскости

Выше мы говорили о том, что, когда все числа $А, B, C, D$ отличны от нуля, общее уравнение плоскости $A x + B y + C z + D = 0$ называют полным. В ином случае общее уравнение плоскости является неполным.

Разберем все возможные варианты общих неполных уравнений в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

В случае, когда $D = 0$ , мы получаем общее неполное уравнение плоскости: $A x + B y + C z + D = 0 \Leftrightarrow A x + B y + C z = 0$

Такая плоскость в прямоугольной системе координат проходит через начало координат. В самом деле, если подставим в полученное неполное уравнение плоскости координаты точки $О (0, 0, 0)$ , то придем к тождеству:

$A \cdot 0 + B \cdot 0 + C \cdot 0 = 0 \Leftrightarrow 0 \equiv 0$

Неполное общее уравнение плоскости

Если $А = 0, В \neq 0, С \neq 0,$ или $А \neq 0, В = 0, С \neq 0$ , или $А \neq 0, В \neq 0, С = 0,$ то общие уравнения плоскостей имеют вид соответственно: $B y + C z + D = 0,$ или $A x + C z + D = 0$ , или $A x + B y + D = 0$ . Такие плоскости параллельны координатным осям $О x, O y, O z$ соответственно. Когда $D = 0$ , плоскости проходят через эти координатные оси соответственно. Также заметим, что неполные общие уравнения плоскостей $B y + C z + D = 0$ , $A x + C z + D = 0$ и $A x + B y + D = 0$ задают плоскости, которые перпендикулярны плоскостям $O y z, O x z, O z y$ соответственно.

Неполное общее уравнение плоскости

При $А = 0, В = 0, С \neq 0$ , или $А = 0, В \neq 0, С = 0,$ или $А \neq 0, В = 0, С = 0$ получим общие неполные уравнения плоскостей: $C z + D = 0 \Leftrightarrow z + \frac{D}{C} = 0 \Leftrightarrow z = - \frac{D}{C} \Leftrightarrow z = λ, λ \in R$ или $B y + D = 0 \Leftrightarrow y + \frac{D}{B} = 0 \Leftrightarrow y = - \frac{D}{B} \Leftrightarrow y = λ, λ \in R$ или $A x + D = 0 \Leftrightarrow x + \frac{D}{A} = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{D}{A} \Leftrightarrow x = λ, λ \in R$ соответственно.

Эти уравнения определяют плоскости, которые параллельны координатным плоскостям $O x y, O x z, O y z$ соответственно и проходят через точки $(0, 0, - \frac{D}{C}), (0, - \frac{D}{B}, 0)$ и $(- \frac{D}{A}, 0, 0)$ соответственно. При $D = 0$ уравнения самих координатных плоскостей $O x y, O x z, O y z$ выглядят так: $z = 0, y = 0, x = 0$

соответственно.

Неполное общее уравнение плоскости

Пример 4

Задана плоскость, параллельная координатной плоскости $O y z$ и проходящая через точку $М_{0} (7, - 2, 3)$ . Необходимо составить общее уравнение заданной плоскости.

Решение

Условием задачи определено, что заданная плоскость параллельна координатной плоскости $O y z$ , а, следовательно, может быть задана общим неполным уравнением плоскости $A x + D = 0, A \neq 0 \Leftrightarrow x + \frac{D}{A} = 0$ . Поскольку точка $M_{0} (7, - 2, 3)$ лежит на плоскости по условию задачи, то очевидно, что координаты этой точки должны отвечать уравнению плоскости $x + \frac{D}{A} = 0$ , иначе говоря, должно быть верным равенство $7 + \frac{D}{A} = 0$ . Преобразуем: $\frac{D}{A} = - 7$ , тогда требуемое уравнение имеет вид: $x - 7 = 0$ .

Задачу возможно решить еще одним способом.

Вновь обратим внимание на заданную условием задачи параллельность данной плоскости координатной плоскости $O y z$ . Из этого условия понятно, что возможно в качестве нормального вектора заданной плоскости использовать нормальный вектор плоскости $O y z$ : $\vec{i} = (1, 0, 0)$ . Так, нам известны и точка, принадлежащая плоскости (задана условием задачи) и ее нормальный вектор. Таким образом, становится возможно записать общее уравнение заданной плоскости:

$A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow 1 \cdot (x - 7) + 0 \cdot (y + 2) + 0 \cdot (z - 3) = 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow x - 7 = 0$

Ответ: $x - 7 = 0$

Пример 5

Задана плоскость, перпендикулярная плоскости $O x y$ и проходящая через начало координат и точку $М_{0} (- 3, 1, 2)$ .

Решение

Плоскость, которая перпендикулярна координатной плоскости $O x y$ определяется общим неполным уравнением плоскости $A x + B y + D = 0 (А \neq 0, В \neq 0)$ . Условием задачи дано, что плоскость проходит через начало координат, тогда $D = 0$ и уравнение плоскости принимает вид $A x + B y = 0 \Leftrightarrow x + \frac{B}{A} y = 0$ .

Найдем значение $\frac{B}{A}$ . В исходных данных фигурирует точка $М_{0} (- 3, 1, 2)$ , координаты которой должны отвечать уравнению плоскости. Подставим координаты, получим верное равенство: $- 3 + \frac{B}{A} \cdot 1 = 0$ , откуда определяем $\frac{B}{A} = 3$ .

Так, мы имеем все данные, чтобы записать требуемое общее уравнение плоскости: $x + 3 y = 0$ .

Ответ: $x + 3 y = 0$ .

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.