Параллельные плоскости, признак и условия параллельности плоскостей

29 декабря 2023
8 минут
5 588

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В данной статье будут изучены вопросы параллельности плоскостей. Дадим определение плоскостям, которые параллельны между собой; обозначим признаки и достаточные условия параллельности; рассмотрим теорию на иллюстрациях и практических примерах.

Параллельные плоскости: основные сведения

Определение 1

Параллельные плоскости – плоскости, не имеющие общих точек.

Чтобы обозначить параллельность применяют такой символ: $∥$ . Если заданы две плоскости: $α$ и $β$ , являющиеся параллельными, краткая запись об этом будет выглядеть так: $α ‖ β$ .

На чертеже, как правило, плоскости, параллельные друг другу, отображаются как два равных параллелограмма, имеющих смещение относительно друг друга.

Параллельные плоскости: основные сведения

В речи параллельность можно обозначить так: плоскости $α$ и $β$ параллельны, а также – плоскость α параллельна плоскости $β$ или плоскость $β$ параллельна плоскости $α$ .

Параллельность плоскостей: признак и условия параллельности

В процессе решения геометрических задач зачастую возникает вопрос: а параллельны ли заданные плоскости между собой? Для получения ответа на этот вопрос используют признак параллельности, который также является достаточным условием параллельности плоскостей. Запишем его как теорему.

Теорема 1

Плоскости являются параллельными, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Доказательство этой теоремы приводится в программе геометрии за $10 - 11$ класс.

В практике для доказательства параллельности, в том числе, применяют две следующие теоремы.

Теорема 2

Если одна из параллельных плоскостей параллельна третьей плоскости, то другая плоскость или также параллельна этой плоскости, или совпадает с ней.

Теорема 3

Если две несовпадающие плоскости перпендикулярны некоторой прямой, то они параллельны.

На основе этих теорем и самого признака параллельности доказывается факт параллельности любых двух плоскостей.

Рассмотрим подробнее необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей $α$ и $β$ , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Допустим, что в некоторой прямоугольной системе координат задана плоскость α, которой соответствует общее уравнение $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0$ , а также задана плоскость $β$ , которую определяет общее уравнение вида $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0$ .

Теорема 4

Для параллельности заданных плоскостей $α$ и $β$ необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений $\{\begin{cases} A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0 \\ A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0 \end{cases}$ не имела решения (являлась несовместной).

Доказательство

Предположим, что заданные плоскости, определяемые уравнениями $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0$ и $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0$ являются параллельными, а значит не имеют общих точек. Таким образом, не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, координаты которой отвечали бы условиям одновременно обоих уравнений плоскостей, т.е. система $\{\begin{cases} A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0 \\ A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0 \end{cases}$ не имеет решения. Если указанная система не имеет решений, тогда не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, чьи координаты одновременно отвечали бы условиям обоих уравнений системы. Следовательно, плоскости, заданные уравнениями $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0$ и $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0$ не имеют ни одной общей точки, т.е. они параллельны.

Разберем использование необходимого и достаточного условия параллельности плоскостей.

Пример 1

Заданы две плоскости: $2 x + 3 y + z - 1 = 0$ и $\frac{2}{3} x + y + \frac{1}{3} z + 4 = 0$ . Необходимо определить, являются ли они параллельными.

Решение

Запишем систему уравнений из заданных условий:

$\{\begin{cases} 2 x + 3 y + z - 1 = 0 \\ \frac{2}{3} x + y + \frac{1}{3} z + 4 = 0 \end{cases}$

Проверим, возможно ли решить полученную систему линейных уравнений.

Ранг матрицы $(\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ \frac{2}{3} & 1 & \frac{1}{3} \end{matrix})$ равен одному, поскольку миноры второго порядка равны нулю. Ранг матрицы $(\begin{matrix} 2 & 3 & 1 & 1 \\ \frac{2}{3} & 1 & \frac{1}{3} & - 4 \end{matrix})$ равен двум, поскольку минор $|\begin{matrix} 2 & 1 \\ \frac{2}{3} & - 4 \end{matrix}|$ отличен от нуля. Таким образом, ранг основной матрицы системы уравнений меньше, чем ранг расширенной матрицы системы.

Совместно с этим, из теоремы Кронекера-Капелли следует: система уравнений $\{\begin{cases} 2 x + 3 y + z - 1 = 0 \\ \frac{2}{3} x + y + \frac{1}{3} z + 4 = 0 \end{cases}$ не имеет решений. Этим фактом доказывается, что плоскости $2 x + 3 y + z - 1 = 0$ и $\frac{2}{3} x + y + \frac{1}{3} z + 4 = 0$ являются параллельными.

Отметим, что, если бы мы применили для решения системы линейных уравнений метод Гаусса, это дало бы тот же результат.

Ответ: заданные плоскости параллельны.

Необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей возможно описать по-другому.

Теорема 5

Чтобы две несовпадающие плоскости $α$ и $β$ были параллельны друг другу необходимо и достаточно, чтобы нормальные векторы плоскостей $α$ и $β$ являлись коллинеарными.

Доказательство сформулированного условия базируется на определении нормального вектора плоскости.

Допустим, что $\vec{n_{1}} = (A_{1}, B_{1}, C_{1})$ и $\vec{n_{2}} = (A_{2}, B_{2}, C_{2})$ являются нормальными векторами плоскостей $α$ и $β$ соответственно. Запишем условие коллинеарности данных векторов:

$\vec{n_{1}} = t \cdot \overset{⇀}{n_{2}} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \begin{array}{l} A_{1} = t \cdot A_{2} \\ B_{1} = t \cdot B_{2} \end{array} \\ C_{1} = t \cdot C_{2} \end{cases}$ , где $t$ – некое действительное число.

Таким образом, чтобы несовпадающие плоскости $α$ и $β$ с заданными выше нормальными векторами были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы имело место действительное число $t$ , для которого верно равенство:

$\vec{n_{1}} = t \cdot \overset{⇀}{n_{2}} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \begin{array}{l} A_{1} = t \cdot A_{2} \\ B_{1} = t \cdot B_{2} \end{array} \\ C_{1} = t \cdot C_{2} \end{cases}$

Пример 2

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства заданы плоскости $α$ и $β$ . Плоскость $α$ проходит через точки: $A (0, 1, 0), B (- 3, 1, 1), C (- 2, 2, - 2)$ . Плоскость $β$ описывается уравнением $\frac{x}{12} + \frac{y}{\frac{3}{2}} + \frac{z}{4} = 1$ Необходимо доказать параллельность заданных плоскостей.

Решение

Удостоверимся, что заданные плоскости не совпадают. Действительно, так и есть, поскольку координаты точки $A$ не соответствуют уравнению плоскости $β$ .

Следующим шагом определим координаты нормальных векторов $\vec{n_{1}}$ и $\vec{n_{2}}$ , соответствующие плоскостям $α$ и $β$ . Также проверим условие коллинеарности этих векторов.

Вектор $\vec{n_{1}}$ можно задать, взяв векторное произведение векторов $\vec{A B}$ и $\vec{A C}$ . Их координаты соответственно: $(- 3, 0, 1)$ и $(- 2, 2, - 2)$ . Тогда:

$\vec{n_{1}} = [\vec{A B} \times \vec{A C}] = |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ - 3 & 0 & 1 \\ - 2 & 1 & - 2 \end{matrix}| = - \vec{i} - 8 \vec{j} - 3 \vec{k} \Leftrightarrow \vec{n_{1}} = (- 1, - 8, - 3)$

Для получения координат нормального вектора плоскости $\frac{x}{12} + \frac{y}{\frac{3}{2}} + \frac{z}{4} = 1$ приведем это уравнение к общему уравнению плоскости:

$\frac{x}{12} + \frac{y}{\frac{3}{2}} + \frac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{12} x + \frac{2}{3} y + \frac{1}{4} z - 1 = 0$

Таким образом: $\vec{n_{2}} = (\frac{1}{12}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4})$ .

Осуществим проверку, выполняется ли условие коллинеарности векторов $\vec{n_{1}} = (- 1, - 8, - 3)$ и $\vec{n_{2}} = (\frac{1}{12}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4})$

Так как $\{\begin{cases} \begin{array}{l} - 1 = t \cdot \frac{1}{12} \\ - 8 = t \cdot \frac{2}{3} \end{array} \\ - 3 = t \cdot \frac{1}{4} \end{cases} \Leftrightarrow t = - 12$ , то векторы $\vec{n_{1}}$ и $\vec{n_{2}}$ связаны равенством $\vec{n_{1}} = - 12 \cdot \vec{n_{2}}$ , т.е. являются коллинеарными.

Ответ: плоскости $α$ и $β$ не совпадают; их нормальные векторы коллинеарные. Таким образом, плоскости $α$ и $β$ параллельны.