Параллельные прямая и плоскость, признак и условия параллельности прямой и плоскости

1 мая 2023
9 минут
6 006

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Статья рассматривает понятия параллельность прямой и плоскости. Будут рассмотрены основные определения и приведены примеры. Рассмотрим признак параллельности прямой к плоскости с необходимыми и достаточными условиями параллельности, подробно решим примеры заданий.

Параллельные прямые и плоскость – основные сведения

Определение 1

Прямая и плоскость называются параллельными, если не имеют общих точек, то есть не пересекаются.

Параллельность обозначается « $∥$ ». Если в задании по условию прямая $a$ и плоскость $α$ параллельны, тогда обозначение имеет вид $a ∥ α$ . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Параллельные прямые и плоскость – основные сведения

Считается, что прямая $a$ , параллельная плоскости $α$ и плоскость $α$ , параллельная прямой $a$ , равнозначные, то есть прямая и плоскость параллельны друг другу в любом случае.

Параллельность прямой и плоскости – признак и условия параллельности

Не всегда очевидно, что прямая и плоскость параллельны. Зачастую это нужно доказать. Необходимо использовать достаточное условие, которое даст гарантию на параллельность. Такой признак имеет название признака параллельности прямой и плоскости. Предварительно рекомендуется изучить определение параллельных прямых.

Теорема 1

Если заданная прямая $a$ , не лежащая в плоскости $α$ , параллельна прямой $b$ , которая принадлежит плоскости $α$ , тогда прямая $a$ параллельна плоскости $α$ .

Рассмотрим теорему, используемую для установки параллельности прямой с плоскостью.

Теорема 2

Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая лежит в этой плоскости либо параллельна ей.

Подробное доказательство рассмотрено в учебнике $10 - 11$ класса по геометрии. Необходимым и достаточным условием параллельности прямой с плоскостью возможно при наличии определения направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

Теорема 3

Для параллельности прямой $a$ , не принадлежащей плоскости $α$ , и данной плоскости необходимым и достаточным условием является перпендикулярность направляющего вектора прямой с нормальным вектором заданной плоскости.

Условие применимо, когда необходимо доказать параллельность в прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Рассмотрим подробное доказательство.

Доказательство

Допустим, прямая а в систему координат $О х у$ задается каноническими уравнениями прямой в пространстве , которые имеют вид $\frac{x - x_{1}}{a_{x}} = \frac{y - y_{1}}{a_{y}} = \frac{z - z_{1}}{a_{z}}$ или параметрическими уравнениями прямой в пространстве $\{\begin{cases} \begin{array}{l} x = x_{1} + a_{x} \cdot λ \\ y = y_{1} + a_{y} \cdot λ \end{array} \\ z = z_{1} + a_{z} \cdot λ \end{cases}$ , плоскостью $α$ с общими уравнениями плоскости $A x + B y + C z + D = 0$ .

Отсюда $\vec{a} = (a_{x}, a_{y}, a_{z})$ является направляющим вектором с координатами прямой а, $\vec{n} = (A, B, C)$ - нормальным вектором заданной плоскости альфа.

Чтобы доказать перпендикулярность $\vec{n} = (A, B, C)$ и $\vec{a} = (a_{x}, a_{y}, a_{z})$ , нужно использовать понятие скалярного произведения. То есть при произведении $(\vec{a}, \vec{n}) = a_{x} \cdot A + a_{y} \cdot B + a_{z} \cdot C$ результат должен быть равен нулю из условия перпендикулярности векторов.

Значит, что необходимым и достаточным условием параллельности прямой и плоскости запишется так $(\vec{a}, \vec{n}) = a_{x} \cdot A + a_{y} \cdot B + a_{z} \cdot C$ . Отсюда $\vec{a} = (a_{x}, a_{y}, a_{z})$ является направляющим вектором прямой $a$ с координатами, а $\vec{n} = (A, B, C)$ - нормальным вектором плоскости $α$ .

Пример 1

Определить, параллельны ли прямая $\{\begin{cases} \begin{array}{l} x = 1 + 2 \cdot λ \\ y = - 2 + 3 \cdot λ \end{array} \\ z = 2 - 4 \cdot λ \end{cases}$ с плоскостью $x + 6 y + 5 z + 4 = 0$ .

Решение

Получаем, что предоставленная прямая не принадлежит плоскости, так как координаты прямой $M (1, - 2, 2)$ не подходят. При подстановке получаем, что $1 + 6 \cdot (- 2) + 5 \cdot 2 + 4 = 0 \Leftrightarrow 3 = 0$ .

Необходимо проверить на выполнимость необходимое и достаточное условие параллельности прямой и плоскости. Получим, что координаты направляющего вектора прямой $\{\begin{cases} \begin{array}{l} x = 1 + 2 \cdot λ \\ y = - 2 + 3 \cdot λ \end{array} \\ z = 2 - 4 \cdot λ \end{cases}$ имеют значения $\vec{a} = (2, 3, - 4)$ .

Нормальным вектором для плоскости $x + 6 y + 5 z + 4 = 0$ считается $\vec{n} = (1, 6, 5)$ . Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов $\vec{a}$ и $\vec{n}$ . Получим, что $(\vec{a}, \vec{n}) = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 6 + (- 4) \cdot 5 = 0$ .

Значит, перпендикулярность векторов $\vec{a}$ и $\vec{n}$ очевидна. Отсюда следует, что прямая с плоскостью являются параллельными.

Ответ: прямая с плоскостью параллельны.

Пример 2

Определить параллельность прямой $А В$ в координатной плоскости $О у z$ , когда даны координаты $A (2, 3, 0), B (4, - 1, - 7)$ .

Решение

По условию видно, что точка $A (2, 3, 0)$ не лежит на оси $О х$ , так как значение $x$ не равно $0$ .

Для плоскости $O x z$ вектор с координатами $\vec{i} = (1, 0, 0)$ считается нормальным вектором данной плоскости. Обозначим направляющий вектор прямой $A B$ как $\vec{A B}$ . Теперь при помощи координат начала и конца рассчитаем координаты вектора $A B$ . Получим, что $\vec{A B} = (2, - 4, - 7)$ . Необходимо выполнить проверку на выполнимость необходимого и достаточного условия векторов $\vec{A B} = (2, - 4, - 7)$ и $\vec{i} = (1, 0, 0)$ , чтобы определить их перпендикулярность.

Запишем $(\vec{A B}, \vec{i}) = 2 \cdot 1 + (- 4) \cdot 0 + (- 7) \cdot 0 = 2 \neq 0$ .

Отсюда следует, что прямая $А В$ с координатной плоскостью $О y z$ не являются параллельными.

Ответ: не параллельны.

Не всегда заданное условие способствует легкому определению доказательства параллельности прямой и плоскости. Появляется необходимость в проверке принадлежности прямой $a$ плоскости $α$ . Существует еще одно достаточное условие, при помощи которого доказывается параллельность.

При заданной прямой $a$ с помощью уравнения двух пересекающихся плоскостей $\{\begin{cases} A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0 \\ A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0 \end{cases}$ , плоскостью $α$ - общим уравнением плоскости $A x + B y + C z + D = 0$ .

Теорема 4

Необходимым и достаточным условием для параллельности прямой $a$ и плоскости $α$ яляется отсутствие решений системы линейных уравнений, имеющей вид $\{\begin{cases} \begin{array}{l} A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0 \\ A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0 \end{array} \\ A x + B y + C z + D = 0 \end{cases}$ .

Доказательство

Из определения следует, что прямая $a$ с плоскостью $α$ не должна иметь общих точек, то есть не пересекаться, только в этом случае они будут считаться параллельными. Значит, система координат $О х у z$ не должна иметь точек, принадлежащих ей и удовлетворяющих всем уравнениям:

$\{\begin{cases} A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0 \\ A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0 \end{cases}$ , а также уравнению плоскости $A x + B y + C z + D = 0$ .

Следовательно, система уравнений, имеющая вид $\{\begin{cases} \begin{array}{l} A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0 \\ A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0 \end{array} \\ A x + B y + C z + D = 0 \end{cases}$ , называется несовместной.

Верно обратное: при отсутствии решений системы $\{\begin{cases} \begin{array}{l} A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0 \\ A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0 \end{array} \\ A x + B y + C z + D = 0 \end{cases}$ не существует точек в $О х у z$ , удовлетворяющих всем заданным уравнениям одновременно. Получаем, что нет такой точки с координатами, которая могла бы сразу быть решениями всех уравнений $\{\begin{cases} A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0 \\ A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0 \end{cases}$ и уравнения $A x + B y + C z + D = 0$ . Значит, имеем параллельность прямой и плоскости, так как отсутствуют их точки пересечения.

Система уравнений $\{\begin{cases} \begin{array}{l} A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0 \\ A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0 \end{array} \\ A x + B y + C z + D = 0 \end{cases}$ не имеет решения, когда ранг основной матрицы меньше ранга расширенной. Это проверяется теоремой Кронекера-Капелли для решения линейных уравнений. Можно применять метод Гаусса для определения ее несовместимости.

Пример 3

Доказать , что прямая $\frac{x}{- 1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z}{3}$ параллельна плоскости $6 x - 5 y + \frac{1}{3} z - \frac{2}{3} = 0$ .

Решение

Для решения данного примера следует переходить от канонического уравнения прямой к виду уравнения двух пересекающихся плоскостей. Запишем это так:

$\frac{x}{- 1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z}{3} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \begin{array}{l} - 1 \cdot x = - 1 \cdot (y + 2) \\ 3 \cdot x = - 1 \cdot z \end{array} \\ 3 \cdot (y + 2) = - 1 \cdot z \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - y - 2 = 0 \\ 3 x + z = 0 \end{cases}$

Чтобы доказать параллельность заданной прямой $\{\begin{cases} x - y - 2 = 0 \\ 3 x + z = 0 \end{cases}$ с плоскостью $6 x - 5 y + \frac{1}{3} z - \frac{2}{3} = 0$ , необходимо уравнения преобразовать в систему уравнений $\{\begin{cases} x - y - 2 = 0 \\ \begin{array}{l} 3 x + z = 0 \\ 6 x - 5 y + \frac{1}{3} z - \frac{2}{3} = 0 \end{array} \end{cases}$ .

Видим, что она не решаема, значит прибегнем к методу Гаусса.

Расписав уравнения, получаем, что $(\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 5 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{matrix}) ~ (\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 1 & - 6 \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & - 11 \frac{1}{3} \end{matrix}) ~ (\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 1 & - 6 \\ 0 & 0 & 0 & - 9 \frac{1}{3} \end{matrix})$ .

Отсюда делаем вывод, что система уравнений является несовместной, так как прямая и плоскость не пересекаются, то есть не имеют общих точек.

Делаем вывод, что прямая $\frac{x}{- 1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z}{3}$ и плоскость $6 x - 5 y + \frac{1}{3} z - \frac{2}{3} = 0$ параллельны, так как было выполнено необходимое и достаточное условие для параллельности плоскости с заданной прямой.

Ответ: прямая и плоскость параллельны.