Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik
Параллельные прямая и плоскость, признак и условия параллельности прямой и плоскости
- 1 мая 2023
- 9 минут
- 6 671
Статья рассматривает понятия параллельность прямой и плоскости.Будут рассмотрены основные определения и приведены примеры. Рассмотрим признак параллельности прямой к плоскости с необходимыми и достаточными условиями параллельности, подробно решим примеры заданий.
Параллельные прямые и плоскость – основные сведения
Прямая и плоскость называются параллельными, если не имеют общих точек, то есть не пересекаются.
Параллельность обозначается «∥∥». Если в задании по условию прямая aa и плоскость αα параллельны, тогда обозначение имеет вид a∥αa∥α. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Считается, что прямая aa, параллельная плоскости αα и плоскость αα, параллельная прямой aa, равнозначные, то есть прямая и плоскость параллельны друг другу в любом случае.
Параллельность прямой и плоскости – признак и условия параллельности
Не всегда очевидно, что прямая и плоскость параллельны. Зачастую это нужно доказать. Необходимо использовать достаточное условие, которое даст гарантию на параллельность. Такой признак имеет название признака параллельности прямой и плоскости.Предварительно рекомендуется изучить определение параллельных прямых.
Если заданная прямая aa, не лежащая в плоскости αα, параллельна прямой bb, которая принадлежит плоскости αα, тогда прямая aa параллельна плоскости αα.
Рассмотрим теорему, используемую для установки параллельности прямой с плоскостью.
Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая лежит в этой плоскости либо параллельна ей.
Подробное доказательство рассмотрено в учебнике 10-1110−11 класса по геометрии. Необходимым и достаточным условием параллельности прямой с плоскостью возможно при наличии определения направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.
Для параллельности прямой aa, не принадлежащей плоскости αα, и данной плоскости необходимым и достаточным условием является перпендикулярность направляющего вектора прямой с нормальным вектором заданной плоскости.
Условие применимо, когда необходимо доказать параллельность в прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Рассмотрим подробное доказательство.
Допустим, прямая а в систему координат Оху задается каноническими уравнениями прямой в пространстве , которые имеют вид x-x1ax=y-y1ay=z-z1az или параметрическими уравнениями прямой в пространстве openx=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ, плоскостью α с общими уравнениями плоскости Ax+By+Cz+D=0.
Отсюда →a=(ax, ay, az) является направляющим вектором с координатами прямой а, →n=(A, B, C) - нормальным вектором заданной плоскости альфа.
Чтобы доказать перпендикулярность →n=(A, B, C) и →a=(ax, ay, az), нужно использовать понятие скалярного произведения. То есть при произведении (→a, →n)=ax·A+ay·B+az·C результат должен быть равен нулю из условия перпендикулярности векторов.
Значит, что необходимым и достаточным условием параллельности прямой и плоскости запишется так (→a, →n)=ax·A+ay·B+az·C. Отсюда →a=(ax, ay, az) является направляющим вектором прямой a с координатами, а →n=(A, B, C) - нормальным вектором плоскости α.
Определить, параллельны ли прямая openx=1+2·λy=-2+3·λz=2-4·λ с плоскостью x+6y+5z+4=0.
Решение
Получаем, что предоставленная прямая не принадлежит плоскости, так как координаты прямой M(1, -2, 2) не подходят. При подстановке получаем, что 1+6·(-2)+5·2+4=0⇔3=0.
Необходимо проверить на выполнимость необходимое и достаточное условие параллельности прямой и плоскости. Получим, что координаты направляющего вектора прямой openx=1+2·λy=-2+3·λz=2-4·λимеют значения →a=(2, 3, -4).
Нормальным вектором для плоскости x+6y+5z+4=0 считается →n=(1, 6, 5). Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов →a и →n. Получим, что (→a, →n)=2·1+3·6+(-4)·5=0.
Значит, перпендикулярность векторов →a и →n очевидна. Отсюда следует, что прямая с плоскостью являются параллельными.
Ответ: прямая с плоскостью параллельны.
Определить параллельность прямой АВ в координатной плоскости Оуz, когда даны координаты A(2, 3, 0), B(4, -1, -7).
Решение
По условию видно, что точка A(2, 3, 0) не лежит на оси Ох, так как значение x не равно 0.
Для плоскости Oxz вектор с координатами →i=(1, 0, 0) считается нормальным вектором данной плоскости. Обозначим направляющий вектор прямой AB как →AB. Теперь при помощи координат начала и конца рассчитаем координаты вектора AB. Получим, что →AB=(2, -4, -7). Необходимо выполнить проверку на выполнимость необходимого и достаточного условия векторов →AB=(2, -4, -7) и →i=(1, 0, 0), чтобы определить их перпендикулярность.
Запишем (→AB, →i)=2·1+(-4)·0+(-7)·0=2≠0.
Отсюда следует, что прямая АВ с координатной плоскостью Оyz не являются параллельными.
Ответ: не параллельны.
Не всегда заданное условие способствует легкому определению доказательства параллельности прямой и плоскости. Появляется необходимость в проверке принадлежности прямой a плоскости α. Существует еще одно достаточное условие, при помощи которого доказывается параллельность.
При заданной прямой a с помощью уравнения двух пересекающихся плоскостей openA1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0, плоскостью α - общим уравнением плоскости Ax+By+Cz+D=0.
Необходимым и достаточным условием для параллельности прямой a и плоскости α яляется отсутствие решений системы линейных уравнений, имеющей вид openA1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0Ax+By+Cz+D=0.
Из определения следует, что прямая a с плоскостью α не должна иметь общих точек, то есть не пересекаться, только в этом случае они будут считаться параллельными. Значит, система координат Охуz не должна иметь точек, принадлежащих ей и удовлетворяющих всем уравнениям:
openA1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0, а также уравнению плоскости Ax+By+Cz+D=0.
Следовательно, система уравнений, имеющая вид openA1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0Ax+By+Cz+D=0, называется несовместной.
Верно обратное: при отсутствии решений системы openA1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0Ax+By+Cz+D=0 не существует точек в Охуz, удовлетворяющих всем заданным уравнениям одновременно. Получаем, что нет такой точки с координатами, которая могла бы сразу быть решениями всех уравнений openA1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0 и уравнения Ax+By+Cz+D=0. Значит, имеем параллельность прямой и плоскости, так как отсутствуют их точки пересечения.
Система уравнений openA1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0Ax+By+Cz+D=0 не имеет решения, когда ранг основной матрицы меньше ранга расширенной. Это проверяется теоремой Кронекера-Капелли для решения линейных уравнений. Можно применять метод Гаусса для определения ее несовместимости.
Доказать , что прямая x-1=y+2-1=z3 параллельна плоскости 6x-5y+13z-23=0.
Решение
Для решения данного примера следует переходить от канонического уравнения прямой к виду уравнения двух пересекающихся плоскостей. Запишем это так:
x-1=y+2-1=z3⇔open-1·x=-1·(y+2)3·x=-1·z3·(y+2)=-1·z⇔openx-y-2=03x+z=0
Чтобы доказать параллельность заданной прямой openx-y-2=03x+z=0 с плоскостью 6x-5y+13z-23=0 , необходимо уравнения преобразовать в систему уравнений openx-y-2=03x+z=06x-5y+13z-23=0.
Видим, что она не решаема, значит прибегнем к методу Гаусса.
Расписав уравнения, получаем, что (1-10230106-51323)~(1-102031-60113-1113)~(1-102031-6000-913).
Отсюда делаем вывод, что система уравнений является несовместной, так как прямая и плоскость не пересекаются, то есть не имеют общих точек.
Делаем вывод, что прямая x-1=y+2-1=z3 и плоскость 6x-5y+13z-23=0 параллельны, так как было выполнено необходимое и достаточное условие для параллельности плоскости с заданной прямой.
Ответ: прямая и плоскость параллельны.
Сохранить статью удобным способом