Пучок прямых, уравнение пучка прямых

29 октября 2023
12 минут
2 901

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В статье рассматриваются определения пучка прямых с центром в заданной точке плоскости. Разбирается подробное решение с применением определения, рассматриваются задачи на составление уравнения пучка прямых, нахождение координат.

Пучок прямых – это определение

Пучок прямых определяется на плоскости, но не в трехмерном пространстве. Аксиома геометрии говорит о том, что если имеются две несовпадающие точки, расположенные на плоскости, то через них можно провести только одну прямую. Если на плоскости $γ$ задается точка $М_{0}$ и $M_{1}$ , то через них можем провести прямую. Когда имеется еще одна точка $М_{2}$ , которая не лежит на прямой $М_{0} М_{1}$ , тогда можно провести прямую $М_{0} М_{2}$ . Если отметим точку $М_{3}$ , не принадлежащую ни одной из проведенных прямых, через нее также може провести прямую, проходящую через $М_{0}$ .

Отсюда следует, что в плоскости $γ$ можно провести множество прямых через заданную точку. Это и привело к определению пучка прямых.

Определение 1

Заданная плоскость $γ$ с множеством всех прямых, которые лежат в плоскости $γ$ и проходящие через точку $М_{0}$ называют пучком прямых с центром в точке $М_{0}$ .

Пучок прямых – это определение

Исходя из определения, имеем, что любые две прямые из этого пучка пересекутся в центре данного пучка прямых. Пучок определяется при условии, если указан центр данного пучка.

Уравнение пучка прямых – решение задач

Для решения задач применяется уравнение пучка прямых, то есть сам пучок рассматривается относительно систему координат $О х у$ на плоскости.

Когда имеем на плоскости прямоугольную систему координат $О х у$ с указанными пересекающимися прямыми $а_{1}$ и $а_{2}$ _,пучок задает эти прямые. За систему координат $О х у$ отвечает общее уравнение прямой, которое имеет вид $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0$ или $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0$ .

Введем обозначение пересечения прямых как точка $М_{0}$ с координатами $х_{0}$ и $y_{0}$ . Отсюда следует, что точка $М$ имеет координаты $M_{0} (x_{0}, y_{0})$ .

Чтобы определить вид используемого уравнения в пучках, рассмотрим на теореме.

Теорема

При заданных двух пересекающихся прямых $а_{1}$ и $а_{2}$ имеются прямые, которые входят в пучок прямых, образованных в системе координат $О х у$ . Их уравнения имеют вид $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0$ и $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0$ тогда и только тогда, когда уравнение прямой $α \cdot (A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0) + β \cdot (A_{2} x + B_{2} y + C_{2}) = 0$ соответствует ей,a $α$ и $β$ являются действительными числами, неравными нулю. Данное условие записывается так: $α^{2} + β^{2} \neq 0$ .

Доказательство

Начнем рассмотрение доказательства с рассмотрения прямой $a$ с указанного пучка, после чего докажем, что ее можно задавать при помощи уравнения $α \cdot (A_{1} x + B_{1} y + C_{1}) + β \cdot (A_{2} x + B_{2} y + C_{2}) = 0$ .

Центр пучка возьмем за точку с координатами $M_{0} = (x_{0}, y_{0})$ .

Отсюда получаем, что $\vec{n} = (A_{1}, B_{1})$ является нормальным вектором прямой $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0$ , тогда $\vec{n_{2}} = (A_{2}, B_{2})$ - нормальный вектор для прямой $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0$ . Получаем, что ${\vec{n}}_{1}$ и $\vec{n_{2}}$ - это неколлинеарные векторы, потому что у прямой $а_{1}$ и $а_{2}$ нет общих точек пересечения. Значит, необходимо разложить нормальный вектор $\vec{n}$ по двум неколлинеарным $\vec{n_{1}}$ и $\vec{n_{2}}$ . Разложение необходимо выполнять по формуле $\vec{n} = α \cdot \vec{n_{1}} + β \cdot \vec{n_{2}}$ . В итоге получаем, что $\vec{n} = (α \cdot A_{1} + β \cdot A_{2}, α \cdot B_{1} + β \cdot B_{2})$ .

После вычислений получаем координаты нормального вектора прямой $a$ , равные $\vec{n} = (α \cdot A_{1} + β \cdot A_{2}, α \cdot B_{1} + β \cdot B_{2})$ . Координаты точки, пересекающиеся с прямой $a$ в точке $M_{0} (x_{0}, y_{0})$ , записываются при помощи общего уравнения прямой $a$ . Тогда получаем выражение вида:

$(α \cdot A_{1} + β \cdot A_{2}) \cdot (x - x_{0}) + (α \cdot B_{1} + β \cdot B_{2}) \cdot (y - y_{0}) = 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow α \cdot (A_{1} x + B_{1} y - A_{1} x_{0} + B_{1} y_{0}) + β \cdot (A_{2} x + B_{2} y - A_{2} x_{0} - B_{2} y_{0}) = 0$

По $- A_{1} x_{0} - B_{1} y_{0} = C_{1}$ и $- A_{2} x_{0} - B_{2} y_{0} = C_{2}$ получим общее уравнение прямой $a$ , имеющее вид $α \cdot (A_{1} x + B_{1} y + C_{1}) + β \cdot (A_{2} x + B_{2} y + C_{2}) = 0$ . Вышесказанная необходимость доказана.

Осталось найти доказательства достаточности.

Значит, нужно произвести доказательство выражения $α \cdot (A_{1} x + B_{1} y + C_{1}) + β \cdot (A_{2} x + B_{2} y + C_{2}) = 0$ , где имеем $α$ и $β$ некоторыми действительными числами неравными нулю, существует уравнение из пучка прямых с точкой пересечения $M_{0} (x_{0}, y_{0})$ . Такое уравнение определено при помощи двух пересекающихся прямых $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0$ и $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0$ .

Запишем уравнение $α \cdot (A_{1} x + B_{1} y + C_{1}) + β \cdot (A_{2} x + B_{2} y + C_{2}) = 0$ в виде $(α \cdot A_{1} + β \cdot A_{2}) \cdot x + (α \cdot B_{1} + β \cdot B_{2}) \cdot y + α \cdot C_{1} + β \cdot C_{2} = 0$ .

Уравнение будет считаться общим, если выполняется условие, когда $α \cdot A_{1} + β \cdot A_{2}$ и $α \cdot B_{1} + β \cdot B_{2}$ отличны от нуля. Иначе мы получили выражение вида $α \cdot A_{1} + β \cdot A_{2} = 0 \Leftrightarrow A_{1} = - \frac{β}{α} \cdot A_{2}$ и $α \cdot B_{1} + β \cdot B_{2} = 0 \Leftrightarrow B_{1} = - \frac{β}{α} \cdot B_{2}$ или $α \cdot A_{1} + β \cdot A_{2} = 0 \Leftrightarrow A_{2} = - \frac{α}{β} \cdot A_{1}$ и $α \cdot B_{1} + β \cdot B_{2} = 0 \Leftrightarrow B_{2} = - \frac{α}{β} \cdot B_{1}$ . Это значило бы, что векторы не коллинеарны.

Это невозможно в данном случае, так как $\vec{n_{1}}$ и $\vec{n_{2}}$ - это нормальные векторы прямых $а_{1}$ и $а_{2}$ , которые пересекаются.

Имеем, что уравнение $α \cdot (A_{1} x + B_{1} y + C_{1}) + β \cdot (A_{2} x + B_{2} y + C_{2}) = 0$ является общим уравнением прямой. Далее необходимо произвести доказательство удовлетворения координат точки при их пересечении, то есть координаты точки $M_{0} (x_{0}, y_{0})$ . Докажем, справедливо ли равенство $α \cdot (A_{1} x + B_{1} y + C_{1}) + β \cdot (A_{2} x + B_{2} y + C_{2}) = 0$ .

$M_{0} (x_{0}, y_{0})$ является точкой пересечения прямых, значит, ее координаты должны удовлетворять уравнениям обеих пересекающихся прямых.

Когда $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0$ и $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0$ справедливы, отсюда следует, что $α \cdot (A_{1} x + B_{1} y + C_{1}) + β \cdot (A_{2} x + B_{2} y + C_{2}) = α \cdot 0 + β \cdot 0 = 0$ .

Что и требовалось доказать.

Можем сделать вывод, что уравнение, которое имеет вид $α \cdot (A_{1} x + B_{1} y + C_{1}) + β \cdot (A_{2} x + B_{2} y + C_{2}) = 0$ и есть уравнение пучка.

Значения $α$ и $β$ необходимы для того, чтобы определять прямые, находящиеся в данном пучке, с уравнениями $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0$ и $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0$ .

Необходимо, чтобы как минимум один из параметров был не равен нулю, тогда можно упростить выражение. При условии, что $α \neq 0$ получаем выражение вида $(A_{1} x + B_{1} y + C_{1}) + λ \cdot (A_{2} x + B_{2} y + C_{2}) = 0$ с $λ = \frac{α}{β}$ .

При $β \neq 0$ выражение принимает вид $μ \cdot (A_{1} x + B_{1} y + C_{1}) + (A_{2} x + B_{2} y + C_{2}) = 0$ с $μ = \frac{α}{β}$ .

Они не являются эквивалентными уравнению пучка прямых, относящихся к виду $α \cdot (A_{1} x + B_{1} y + C_{1}) + β \cdot (A_{2} x + B_{2} y + C_{2}) = 0$ . Уравнение $(A_{1} x + B_{1} y + C_{1}) + λ \cdot (A_{2} x + B_{2} y + C_{2}) = 0$ при любых значениях $λ$ не даст возможности получить уравнение вида $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0$ .

Уравнение $μ \cdot (A_{1} x + B_{1} y + C_{1}) + (A_{2} x + B_{2} y + C_{2}) = 0$ при любых значениях $μ$ не даст в результате $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0$ .

Подробно рассмотрим на решении примеров.

Пример 1

Написать уравнение прямой пучка с заданным центром в точке $M_{0} (- 1, 4)$ , $k = 3$ .

Решение

Необходимо составить уравнение прямой, которая будет проходить через заданную точку с координатами $M_{0} (- 1, 4)$ с угловым коэффициентом равным $3$ . Тогда запишем уравнение прямой с угловым коэффициентом и получим $y - 4 = 3 \cdot (x - (- 1)) \Leftrightarrow y = 3 x + 7$ .

Ответ: $y = 3 x + 7$ .

Пример 2

Найти координаты центра пучка прямых в $О х у$ , если известны два уравнения пересекающихся прямых $\frac{x - 4}{2} = \frac{y + 3}{0}$ и $\frac{x}{\frac{2}{3}} + \frac{y}{- 1} = 1$ .

Решение

Чтобы найти координаты центра пучка, необходимо найти точки пересечения $\frac{x - 4}{2} = \frac{y + 3}{0}$ и $\frac{x}{\frac{2}{3}} + \frac{y}{- 1} = 1$ .

Получим, что каноническое уравнение прямой на плоскости $\frac{x - 4}{2} = \frac{y + 3}{0}$ эквивалентно $\frac{x}{\frac{2}{3}} + \frac{y}{- 1} = 1$ , а уравнение в отрезках $\frac{x}{\frac{2}{3}} + \frac{y}{- 1} = 1$ общему уравнению прямой $\frac{3}{2} x - y - 1 = 0$ .

Теперь составляем систему уравнений, включающую в себя уравнения прямых.

Получим, что

$\{\begin{cases} y + 3 = 0 \\ \frac{3}{2} x - y - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = - 3 \\ \frac{3}{2} x - (- 3) - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = - 3 \\ x = - \frac{4}{3} \end{cases}$

Получим, что $(- \frac{4}{3}, - 3)$ - это координаты центральной точки, где пересекаются все прямые.

Ответ: $(- \frac{4}{3}, - 3)$ .

Пример 3

Произвести составление уравнения пучка прямых в $О х у$ , которое задано при помощи прямых $3 x - 2 y + 1 = 0$ и $\{\begin{cases} x = - 2 + 2 \cdot λ \\ y = 5 \cdot λ \end{cases}$ , имеющих общую точку пересечения.

Решение

Для начала необходимо получить общее уравнение прямой. Оно определено параметрическим уравнением $\{\begin{cases} x = - 2 + 2 \cdot λ \\ y = 5 \cdot λ \end{cases}$ .

Отсюда следует, что

$\{\begin{cases} x = - 2 + 2 \cdot λ \\ y = 5 \cdot λ \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} λ = \frac{x + 2}{2} \\ λ = \frac{y}{5} \end{cases} \Leftrightarrow \frac{x + 2}{2} = \frac{y}{5} \Leftrightarrow \Leftrightarrow 5 \cdot (x + 2) = 2 \cdot y \Leftrightarrow 5 x - 2 y + 10 = 0$

Произведем запись уравнения пучка прямых и получим $α \cdot (3 x - 2 y + 1) + β \cdot (5 x - 2 y + 10) = 0$ , а $α$ и $β$ являются действительными числами, где обязательным условием считается $α^{2} + β^{2} \neq 0$ .

Ответ: $α \cdot (3 x - 2 y + 1) + β \cdot (5 x - 2 y + 10) = 0$ .

Пример 4

Написать уравнение прямой, проходящей через точку $M_{1} (2, - 1)$ и принадлежащей пучку прямых с уравнением $α \cdot (5 x + y - 19) + β \cdot (2 x - 3 y + 6) = 0$ .

Решение

Задача решается двумя способами.

Первый способ начинается с определения $М_{0}$ , являющейся центром пересечения. Тогда нужно найти точки пересечения уравнений $5 x + y - 19 = 0$ и $2 x - 3 y + 6 = 0$ , а их результат и будет являться координатами для $M_{0}$ .

Определяем координаты, решив получившуюся систему:

$\{\begin{cases} 5 x + y - 19 = 0 \\ 2 x - 3 y + 6 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 19 - 5 x \\ 2 x - 3 \cdot (19 - 5 x) + 6 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 19 - 5 x \\ x = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 19 - 5 \cdot 3 \\ x = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 4 \\ x = 3 \end{cases}$

Значит точка $М_{0}$ имеет координаты $(3, 4)$ . Это записывается как $M_{0} (3, 4)$ . Чтобы получить искомое уравнение , которое проходит через точки с координатами $M_{0} (3, 4)$ и $M_{1} (2, - 1)$ . В итоге получаем:

$\frac{x - 3}{2 - 3} = \frac{y - 4}{- 1 - 4} \Leftrightarrow \frac{x - 3}{- 1} = \frac{y - 4}{- 5} \Leftrightarrow \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 4}{5}$

Второй способ начинается с того, что необходимо определить параметры $α$ и $β$ , чтобы уравнение $α \cdot (5 x + y - 19) + β \cdot (2 x - 3 y + 6) = 0$ было уравнением прямой, которая проходит через $M_{1} (2, - 1)$ . Для этого найдем координаты $М_{1}$ и получим, что

$α \cdot (5 \cdot 2 + (- 1) - 19) + β \cdot (2 \cdot 2 - 3 \cdot (- 1) + 6) = 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow - 10 \cdot α + 13 \cdot β = 0 \Leftrightarrow α = \frac{13 \cdot β}{10}$

Принимаем значение $β = 10$ , при желании можно выбирать любое другое такое значение $β$ , которое дает несложное вычисление $α$ . Получаем $α = \frac{13 \cdot β}{10} = \frac{13 \cdot 10}{10} = 13$ .

При подстановке значений $α = 13$ и $β = 10$ в заданное уравнение пучка, преобразуем:

$13 \cdot (5 x + y - 19) + 10 \cdot (2 x - 3 y + 6) = 0 \Leftrightarrow 85 x - 17 y - 187 = 0 \Leftrightarrow 5 x - y - 11 = 0$

Необходимо проверить эквивалентность получившихся уравнений.

$\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 4}{5} \Leftrightarrow 5 \cdot (x - 3) = 1 \cdot (y - 4) \Leftrightarrow 5 x - y - 11 = 0$

Отсюда следует, что все решено верно.

Ответ: $5 x - y - 11 = 0$ .

Пример 5

Определить принадлежность прямой $3 x - y + 5 = 0$ пучку прямых $α \cdot (x - 2 y + 4) + β \cdot (x - y + 4) = 0$ .

Решение

Решение производится двумя способами.

Первый способ решения начинается с нахождения центров координаты заданного уравнения пучка и их проверки:

$\{\begin{cases} x - 2 y + 4 = 0 \\ x - y + 4 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 y - 4 \\ x - y + 4 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 y - 4 \\ 2 y - 4 - y + 4 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 y - 4 \\ y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \cdot 0 - 4 \\ y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 4 \\ y = 0 \end{cases} 3 \cdot (- 4) - 0 + 5 = 0 \Leftrightarrow - 7 = 0$

Получим, что подстановка координат центра в уравнение прямой $3 x - y + 5 = 0$ дает неверное равенство. Делаем вывод, что прямая не пересекает центр пучков, значит, и не принадлежит ему.

Второй способ начинается с раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых $α \cdot (x - 2 y + 4) + β \cdot (x - y + 4) = 0 \Leftrightarrow (2 α + β) \cdot y + 4 α + 4 β = 0$ .

Когда прямая $3 x - y + 5 = 0$ принадлежит пучку прямых, тогда имеются такие значения $α$ и $β$ , что два уравнения $(α + β) \cdot x - (2 α + β) \cdot y + 4 α + 4 β = 0$ и $3 x - y + 5 = 0$ являются эквивалентными.

Тогда получаем систему, состоящую из трех равнений $\{\begin{cases} \begin{array}{l} α + β = 3 \\ 2 α + β = 1 \end{array} \\ 4 α + 4 β = 5 \end{cases}$ .

Для ее преобразования необходимо приравнять коэффициенты перед переменными $x$ и $y$ и свободные членов имеющихся уравнений $(α + β) \cdot x - (2 α + β) \cdot y + 4 α + 4 β = 0$ и $3 x - y + 5 = 0$ , чтобы получать результат решения.

Для проверки необходимо применить теорему Кронекера-Капелли.

Для этого необходимо записать основную и расширенную матрицы для составленной системы уравнений. Получим, что $A = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 4 & 4 \end{matrix})$ и $T = (\begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 4 & 4 & 5 \end{matrix})$ .

Требуется посчитать ранг матрицы $A$ . Он равен $2$ , потому что $|\begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix}| = - 1 \neq 0$ .

Результат нахождения ранга расширенной матрицы равняется $3$ , потому как $|\begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 4 & 4 & 5 \end{matrix}| = 7 \neq 0$ .

Отсюда имеем, что система уравнений $\{\begin{cases} \begin{array}{l} α + β = 3 \\ 2 α + β = 1 \end{array} \\ 4 α + 4 β = 5 \end{cases}$ не определена, то есть имеет решений. Так как решения отсутствуют, прямая не проходит через центр прямой имеющихся пучков прямых.

Ответ: нет, прямая $3 x - y + 5 = 0$ не принадлежит заданному пучку прямых, записанных уравнением вида $α \cdot (x - 2 y + 4) + β \cdot (x - y + 4) = 0$ .