Расстояние между двумя параллельными плоскостями: определение и примеры нахождения

8 июня 2023
9 минут
6 023

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Материал данной статьи позволяет получить навык определения расстояния между двумя параллельными плоскостями при помощи метода координат. Дадим определение расстояния между параллельными плоскостями, получим формулу для его расчета и рассмотрим теорию на практических примерах.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями: определение

Определение 1

Расстояние между параллельными плоскостями – это расстояние от произвольной точки одной из рассматриваемых параллельных плоскостей до другой плоскости.

Пусть заданы две параллельные плоскости $ϒ_{1}$ и $ϒ_{2}$ . Из произвольной точки $М_{1}$ плоскости $ϒ_{1}$ опустим перпендикуляр $М_{1} Н_{1}$ на другую плоскость $ϒ_{2}$ . Длина перпендикуляра $М_{1} Н_{1}$ и будет являться расстоянием между заданными плоскостями.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями: определение

Указанное определение расстояния между параллельными плоскостями имеет взаимосвязь со следующей теоремой.

Теорема

Если две плоскости параллельны, то все точки одной из параллельных плоскостей находятся на одном и том же расстоянии от другой плоскости.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями: определение — Доказательство

Заметим также, что расстояние между параллельными плоскостями – наименьшее из расстояний между произвольными точками этих плоскостей.

Нахождение расстояния между параллельными плоскостями

По программе $10 - 11$ классов расстояние между параллельными плоскостями определяется построением перпендикуляра из любой точки одной плоскости, опущенного к другой плоскости; после чего находится длина этого перпендикуляра (при помощи теоремы Пифагора, признаков равенства, или подобия треугольников, или определения синуса, косинуса, тангенса угла).

В случае, когда уже задана или есть возможность задать прямоугольную систему координат, то мы имеем возможность определить расстояние между параллельными плоскостями при помощи метода координат.

Пусть задано трехмерное пространство, а в нем - прямоугольная система координат и две параллельные плоскости $ϒ_{1}$ и $ϒ_{2}$ . Найдем расстояние между этими плоскостями, опираясь, в том числе, на определение расстояния между плоскостями, данное выше.

В исходных данных - плоскости $ϒ_{1}$ и $ϒ_{2}$ , и мы можем определить координаты $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ некой точки $M_{1}$ , принадлежащей одной из заданных плоскостей: пусть это будет плоскость $ϒ_{1}$ . Также получим нормальное уравнение плоскости $ϒ_{2}$ : $\cos α \cdot x + \cos β \cdot y + \cos λ \cdot z - p = 0$ . В таком случае, искомое расстояние $| М_{1} Н_{1} |$ будет равно расстоянию от точки $М_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ до плоскости $ϒ_{2}$ (ей соответствует нормальное уравнение $\cos α \cdot x + \cos β \cdot y + \cos γ \cdot z - p = 0$ ). Тогда нужное расстояние вычислим по формуле: $|M_{1} H_{1}| = |\cos α \cdot x_{1} + \cos β \cdot y_{1} + \cos γ \cdot z_{1} - p|$ . Вывод данной формулы можно изучить в теме вычисления расстояния от точки до плоскости.

Резюмируем. Для того,чтобы определить расстояние между двумя параллельными плоскостями, необходимо:

Определение 2

- найти координаты $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ некой точки $М_{1}$ , принадлежащей одной из исходных плоскостей;

- определить нормальное уравнение другой плоскости в виде $\cos α \cdot x + \cos β \cdot y + \cos γ \cdot z - p = 0$ ;

- произвести расчет требуемого расстояние, используя формулу: $|M_{1} H_{1}| = |\cos α \cdot x_{1} + \cos β \cdot y_{1} + \cos γ \cdot z_{1} - p|$ .

Если в прямоугольной системе координат плоскость $ϒ_{1}$ задается общим уравнением плоскости $A \cdot x + B \cdot y + C \cdot z + D_{1} = 0$ , а плоскость $ϒ_{2}$ – общим уравнением $A \cdot x + B \cdot y + C \cdot z + D_{2} = 0$ , тогда расстояние между параллельными плоскостями необходимо вычислять по формуле:

$|M_{1} H_{1}| = \frac{|D_{2} - D_{1}|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$

Покажем, как данная формула получена.

Пусть точка $М_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ принадлежит плоскости $ϒ_{1}$ . В таком случае координаты этой точки будут отвечать уравнению плоскости $A \cdot x + B \cdot y + C \cdot z + D_{1} = 0$ , или верным будет равенство: $A \cdot x_{1} + B \cdot y_{1} + C \cdot z_{1} + D_{1} = 0$ . Отсюда получим: $A \cdot x_{1} + B \cdot y_{1} + C \cdot z_{1} + D_{1} = 0$ . Полученное равенство нам еще пригодится.

Плоскость $ϒ_{2}$ будет описываться нормальным уравнением плоскости $\frac{A \cdot x + B \cdot y + C \cdot z + D_{2}}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} = 0$ или $- \frac{A \cdot x + B \cdot y + C \cdot z + D_{2}}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} = 0$ (в зависимости от знака числа $D_{2}$ ). Однако при любом значение $D_{2}$ расстояние $| М_{1} Н_{1} |$ возможно рассчитать, используя формулу:

$|M_{1} H_{1}| = |\frac{A \cdot x_{1} + B \cdot y_{1} + C \cdot z_{1} + D_{2}}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}| = \frac{|A \cdot x_{1} + B \cdot y_{1} + C \cdot z_{1} + D_{2}|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$

Теперь задействуем полученное ранее равенство $A \cdot x_{1} + B \cdot y_{1} + C \cdot z_{1} = - D_{1}$ и преобразуем формулу:

$|M_{1} H_{1}| = \frac{|- D_{1} + D_{2}|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} = \frac{|D_{2} - D_{1}|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$

Пример 1

Даны две параллельные плоскости $ϒ_{1}$ и $ϒ_{2}$ , описываемые уравнениями $\frac{x}{\frac{1}{6}} + \frac{y}{- \frac{1}{4}} + \frac{z}{\frac{1}{4 \sqrt{3}}} = 1$ и $3 x - 2 y + 2 \sqrt{3} z - 20 = 0$ соответственно. Необходимо определить расстояние между заданными плоскостями.

Решение

Решим задачу двумя способами.

Уравнение плоскости в отрезках, которое задано в условии задачи, дает возможность определить координаты точки $М_{1}$ , принадлежащей плоскости, описываемой этим уравнением. Как точку $М_{1}$ используем точку пересечения плоскости $ϒ_{1}$ и оси $O x$ . Таким образом, имеем: $M_{1} (\frac{1}{6}, 0, 0)$ .

Преобразуем общее уравнение плоскости $ϒ_{2}$ в нормальный вид:

$3 x - 2 y + 2 \sqrt{3} z - 20 = 0 \Leftrightarrow \frac{3 x - 2 y + 2 \sqrt{3} z - 20}{\sqrt{3^{2} + (- 2)^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}} = 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow \frac{3}{5} x - \frac{2}{5} y + \frac{2 \sqrt{3}}{5} z - 4 = 0$

Вычислим расстояние $| М_{1} Н_{1} |$ от точки $M_{1} (\frac{1}{6}, 0, 0)$ до плоскости $\frac{3}{5} x - \frac{2}{5} y + \frac{2 \sqrt{3}}{5} z - 4 = 0$ :

$|M_{1} H_{1}| = |\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{6} - \frac{2}{5} \cdot 0 + \frac{2 \sqrt{3}}{5} \cdot 0 - 4| = |\frac{1}{10} - 4| = 3 \frac{9}{10}$

Так мы получили искомое расстояние между исходными параллельными плоскостями.

Преобразуем уравнение плоскости в отрезках в общее уравнение плоскости:

$\frac{x}{\frac{1}{6}} + \frac{y}{- \frac{1}{4}} + \frac{z}{\frac{1}{4 \sqrt{3}}} = 1 \Leftrightarrow 6 x - 4 y + 4 \sqrt{3} z - 1 = 0$

Приравняем коэффициенты при переменных $x, y, z$ в общих уравнениях плоскостей; с этой целью умножим обе части крайнего равенства на $2$ :

$3 x - 2 y + 2 \sqrt{3} z - 20 = 0 \Leftrightarrow 6 x - 4 y + 4 \sqrt{3} z - 40 = 0$

Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между параллельными плоскостями:

$|M_{1} H_{1}| = \frac{|D_{2} - D_{1}|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} = \frac{|- 40 - (- 1)|}{\sqrt{6^{2} + (- 4)^{2} + (4 \sqrt{3})^{2}}} = \frac{39}{\sqrt{100}} = 3 \frac{9}{10}$ .

Ответ: $3 \frac{9}{10}$ .

Пример 2

Даны две параллельные плоскости, описываемые уравнениями: $6 x + 4 y - 12 z + 3 = 0$ и $3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0$ . Необходимо найти расстояние между этими плоскостями.

Решение

Удобнее будет использовать второй способ решения подобных задач. Умножим обе части второго уравнения на $2$ , и коэффициенты в уравнениях плоскостей станут равны: $6 x + 4 y - 12 z + 3 = 0$ и $6 x + 4 y - 12 z - 4 = 0$ . Теперь можно использовать формулу:

$|M_{1} H_{1}| = \frac{|- 4 - 3|}{\sqrt{6^{2} + 4^{2} + (- 12)^{2}}} = \frac{7}{\sqrt{196}} = \frac{1}{2}$

Однако попробуем найти ответ и первым способом: допустим, точка $M_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ принадлежит плоскости $6 x + 4 y - 12 z + 3 = 0$ . Соответственно, координаты этой точки отвечают уравнению плоскости, и верным будет равенство:

$6 x_{1} + 4 y_{1} - 12 z_{1} + 3 = 0$

Пусть $y_{1} = 0, z_{1} = 0$ , тогда $x_{1}$ : $6 x_{1} + 4 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 3 = 0 \Leftrightarrow x_{1} = - \frac{1}{2}$

Таким образом, точка получает точные координаты: $M_{1} (- \frac{1}{2}, 0, 0)$ .

Преобразуем общее уравнение плоскости $3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0$ в нормальный вид:

$3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0 \Leftrightarrow \frac{3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0}{\sqrt{3^{2} + 2^{2} + (- 6)}} = 0 \Leftrightarrow \frac{3}{7} x + \frac{2}{7} y - \frac{6}{7} z - \frac{2}{7} = 0$

В таком случае, требуемое расстояние между плоскостями равно: $|\frac{3}{7} \cdot (- \frac{1}{2}) + \frac{2}{7} \cdot 0 - \frac{6}{7} \cdot 0 - \frac{6}{7} \cdot 0 - \frac{2}{7}| = |- \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$ .