Расстояние от точки до прямой на плоскости и в пространстве: определение и примеры нахождения

15 марта 2023
19 минут
12 746

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Данная статья рассказывает о теме «расстояния от точки до прямой», рассматриваются определения расстояния от точки к прямой с иллюстрированными примерами методом координат. Каждый блок теории в конце имеет показанные примеры решения подобных задач.

Расстояние от точки до прямой – определение

Расстояние от точки до прямой находится через определение расстояния от точки до точки. Рассмотрим подробней.

Пусть имеется прямая $a$ и точка $М_{1}$ , не принадлежащая заданной прямой. Через нее проведем прямую $b$ , расположенную перпендикулярно относительно прямой $a$ . Точка пересечения прямых возьмем за $Н_{1}$ . Получим, что $М_{1} Н_{1}$ является перпендикуляром, который опустили из точки $М_{1}$ к прямой $a$ .

Определение 1

Расстоянием от точки $М_{1}$ к прямой $a$ называется расстояние между точками $М_{1}$ и $Н_{1}$ .

Бывают записи определения с фигурированием длины перпендикуляра.

Определение 2

Расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.

Определения эквивалентны. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Расстояние от точки до прямой – определение

Известно, что расстояние от точки до прямой является наименьшим из всех возможных. Рассмотрим это на примере.

Если взять точку $Q$ , лежащую на прямой $a$ , не совпадающую с точкой $М_{1}$ , тогда получим, что отрезок $М_{1} Q$ называется наклонной, опущенной из $М_{1}$ к прямой $a$ . Необходимо обозначить, что перпендикуляр из точки $М_{1}$ является меньше, чем любая другая наклонная, проведенная из точки к прямой.

Чтобы доказать это, рассмотрим треугольник $М_{1} Q_{1} Н_{1}$ , где $М_{1} Q_{1}$ является гипотенузой. Известно, что ее длина всегда больше длины любого из катетов. Значим, имеем, что $|M_{1} H_{1}| < |M_{1} Q|$ . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Расстояние от точки до прямой – определение

Расстояние от точки до прямой на плоскости – теория, примеры, решения

Исходные данные для нахождения от точки до прямой позволяют использовать несколько методов решения: через теорему Пифагора, определения синуса, косинуса, тангенса угла и другими. Большинство заданий такого типа решают в школе на уроках геометрии.

Когда при нахождении расстояния от точки до прямой можно ввести прямоугольную систему координат, то применяют метод координат. В данном пункте рассмотрим основных два метода нахождения искомого расстояния от заданной точки.

Первый способ подразумевает поиск расстояния как перпендикуляра, проведенного из $М_{1}$ к прямой $a$ . Во втором способе используется нормальное уравнение прямой а для нахождения искомого расстояния.

Если на плоскости имеется точка с координатами $M_{1} (x_{1}, y_{1})$ , расположенная в прямоугольной системе координат, прямая $a$ , а необходимо найти расстояние $|M_{1} H_{1}|$ , можно произвести вычисление двумя способами. Рассмотрим их.

Первый способ

Если имеются координаты точки $H_{1}$ , равные $(x_{2}, y_{2})$ , тогда расстояние от точки до прямой вычисляется по координатам из формулы $|M_{1} H_{1}| = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$ .

Теперь перейдем к нахождению координат точки $Н_{1}$ .

Известно, что прямая линия в $О х у$ соответствует уравнению прямой на плоскости. Возьмем способ задания прямой $a$ через написание общего уравнения прямой или уравнения с угловым коэффициентом. Составляем уравнение прямой, которая проходит через точку $М_{1}$ перпендикулярно заданной прямой $a$ . Прямую обозначим буковой $b$ . $Н_{1}$ является точкой пересечения прямых $a$ и $b$ , значит для определения координат необходимо воспользоваться статьей, в которой идет речь о координатах точек пересечения двух прямых.

Видно, что алгоритм нахождения расстояния от заданной точки $M_{1} (x_{1}, y_{1})$ до прямой $a$ проводится согласно пунктам:

Определение 3

нахождение общего уравнения прямой $a$ , имеющее вид $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0$ ,или уравнение с угловым коэффициентом, имеющее вид $y = k_{1} x + b_{1}$ ;
получение общего уравнения прямой $b$ , имеющее вид $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0$ или уравнение с угловым коэффициентом $y = k_{2} x + b_{2}$ , если прямая $b$ пересекает точку $М_{1}$ и является перпендикулярной к заданной прямой $a$ ;
определение координат $(x_{2}, y_{2})$ точки $Н_{1}$ _,являющейся точкой пересечения $a$ и $b$ , для этого производится решение системы линейных уравнений $\{\begin{cases} A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0 \\ A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0 \end{cases}$ или $\{\begin{cases} y = k_{1} x + b_{1} \\ y = k_{2} x + b_{2} \end{cases}$ ;
вычисление искомого расстояния от точки до прямой, используя формулу $|M_{1} H_{1}| = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$ .

Второй способ

Теорема способна помочь ответить на вопрос о нахождении расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости.

Теорема

Прямоугольная система координат имеет $О х у$ имеет точку $M_{1} (x_{1}, y_{1})$ , из которой проведена прямая а к плоскости, задаваемая нормальным уравнением плоскости, имеющее вид $\cos α \cdot x + \cos β \cdot y - p = 0$ , равно по модулю значению, получаемому в левой части нормального уравнения прямой, вычисляемому при $x = x_{1}, y = y_{1}$ , значит, что $|M_{1} H_{1}| = |\cos α \cdot x_{1} + \cos β \cdot y_{1} - p|$ .

Расстояние от точки до прямой на плоскости – теория, примеры, решения — Доказательство

Получаем, что для нахождения расстояния от точки $M_{1} (x_{1}, y_{1})$ к прямой $a$ на плоскости необходимо выполнить несколько действий:

Определение 4

получение нормального уравнения прямой $a$ $\cos α \cdot x + \cos β \cdot y - p = 0$ , при условии, что его нет в задании;
вычисление выражения $|\cos α \cdot x_{1} + \cos β \cdot y_{1} - p|$ , где полученное значение принимает $|M_{1} H_{1}|$ .

Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости

Применим данные методы на решении задач с нахождением расстояния от точки до плоскости.

Пример 1

Найти расстояние от точки с координатами $M_{1} (- 1, 2)$ к прямой $4 x - 3 y + 35 = 0$ .

Решение

Применим первый способ для решения.

Для этого необходимо найти общее уравнение прямой $b$ , которая проходит через заданную точку $M_{1} (- 1, 2)$ , перпендикулярно прямой $4 x - 3 y + 35 = 0$ . Из условия видно, что прямая $b$ является перпендикулярной прямой $a$ , тогда ее направляющий вектор имеет координаты, равные $(4, - 3)$ . Таким образом имеем возможность записать каноническое уравнение прямой $b$ на плоскости, так как имеются координаты точки $М_{1}$ , принадлежит прямой $b$ . Определим координаты направляющего вектора прямой $b$ . Получим, что $\frac{x - (- 1)}{4} = \frac{y - 2}{- 3} \Leftrightarrow \frac{x + 1}{4} = \frac{y - 2}{- 3}$ . Полученное каноническое уравнение необходимо преобразовать к общему. Тогда получаем, что

$\frac{x + 1}{4} = \frac{y - 2}{- 3} \Leftrightarrow - 3 \cdot (x + 1) = 4 \cdot (y - 2) \Leftrightarrow 3 x + 4 y - 5 = 0$

Произведем нахождение координат точек пересечения прямых, которое примем за обозначение $Н_{1}$ . Преобразования выглядят таким образом:

$\{\begin{cases} 4 x - 3 y + 35 = 0 \\ 3 x + 4 y - 5 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{3}{4} y - \frac{35}{4} \\ 3 x + 4 y - 5 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{3}{4} y - \frac{35}{4} \\ 3 \cdot (\frac{3}{4} y - \frac{35}{4}) + 4 y - 5 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{3}{4} y - \frac{35}{4} \\ y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{3}{4} \cdot 5 - \frac{35}{4} \\ y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 5 \\ y = 5 \end{cases}$

Из выше написанного имеем, что координаты точки $Н_{1}$ равны $(- 5; 5)$ .

Необходимо вычислить расстояние от точки $М_{1}$ к прямой $a$ . Имеем, что координаты точек $M_{1} (- 1, 2)$ и $H_{1} (- 5, 5)$ , тогда подставляем в формулу для нахождения расстояния и получаем, что

$|M_{1} H_{1}| = \sqrt{(- 5 - (- 1)^{2} + (5 - 2)^{2}} = \sqrt{25} = 5$

Второй способ решения.

Для того, чтобы решить другим способом, необходимо получить нормальное уравнение прямой. Вычисляем значение нормирующего множителя и умножаем обе части уравнения $4 x - 3 y + 35 = 0$ . Отсюда получим, что нормирующий множитель равен $- \frac{1}{\sqrt{4^{2} + (- 3)^{2}}} = - \frac{1}{5}$ , а нормальное уравнение будет вида $- \frac{1}{5} \cdot (4 x - 3 y + 35) = - \frac{1}{5} \cdot 0 \Leftrightarrow - \frac{4}{5} x + \frac{3}{5} y - 7 = 0$ .

По алгоритму вычисления необходимо получить нормальное уравнение прямой и вычислить его со значениями $x = - 1, y = 2$ . Тогда получаем, что

$- \frac{4}{5} \cdot (- 1) + \frac{3}{5} \cdot 2 - 7 = - 5$

Отсюда получаем, что расстояние от точки $M_{1} (- 1, 2)$ к заданной прямой $4 x - 3 y + 35 = 0$ имеет значение $|- 5| = 5$ .

Ответ: $5$ .

Видно, что в данном методе важно использование нормального уравнения прямой, так как такой способ является наиболее коротким. Но первый метод удобен тем, что последователен и логичен, хотя имеет больше пунктов вычисления.

Пример 2

На плоскости имеется прямоугольная система координат $О х у$ с точкой $M_{1} (8, 0)$ и прямой $y = \frac{1}{2} x + 1$ . Найти расстояние от заданной точки до прямой.

Решение

Решение первым способом подразумевает приведение заданного уравнения с угловым коэффициентом к уравнению общего вида. Для упрощения можно сделать иначе.

Если произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых имеют значение $- 1$ , значит угловой коэффициент прямой перпендикулярной заданной $y = \frac{1}{2} x + 1$ имеет значение $2$ . Теперь получим уравнение прямой, проходящее через точку с координатами $M_{1} (8, 0)$ . Имеем, что $y - 0 = - 2 \cdot (x - 8) \Leftrightarrow y = - 2 x + 16$ .

Переходим к нахождению координат точки $Н_{1}$ , то есть точкам пересечения $y = - 2 x + 16$ и $y = \frac{1}{2} x + 1$ . Составляем систему уравнений и получаем:

$\{\begin{cases} y = \frac{1}{2} x + 1 \\ y = - 2 x + 16 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = \frac{1}{2} x + 1 \\ \frac{1}{2} x + 1 = - 2 x + 16 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = \frac{1}{2} x + 1 \\ x = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = \frac{1}{2} \cdot 6 + 1 \\ x = 6 \end{cases} = \{\begin{cases} y = 4 \\ x = 6 \end{cases} \Rightarrow H_{1} (6, 4)$

Отсюда следует, что расстояние от точки с координатами $M_{1} (8, 0)$ к прямой $y = \frac{1}{2} x + 1$ равно расстоянию от точки начала и точки конца с координатами $M_{1} (8, 0)$ и $H_{1} (6, 4)$ . Вычислим и получим, что $|M_{1} H_{1}| = \sqrt{{(6 - 8)}^{2} + (4 - 0)^{2}} \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$ .

Решение вторым способом заключается в переходе от уравнения с коэффициентом к нормальному его виду. То есть получим $y = \frac{1}{2} x + 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} x - y + 1 = 0$ , тогда значение нормирующего множителя будет $- \frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + (- 1)^{2}}} = - \frac{2}{\sqrt{5}}$ . Отсюда следует, что нормальное уравнение прямой принимает вид $- \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot (\frac{1}{2} x - y + 1) = - \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{\sqrt{5}} x + \frac{2}{\sqrt{5}} y - \frac{2}{\sqrt{5}} = 0$ . Произведем вычисление от точки $M_{1} (8, 0)$ к прямой вида $- \frac{1}{\sqrt{5}} x + \frac{2}{\sqrt{5}} y - \frac{2}{\sqrt{5}} = 0$ . Получаем:

$|M_{1} H_{1}| = |- \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot 8 + \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot 0 - \frac{2}{\sqrt{5}}| = |- \frac{10}{\sqrt{5}}| = 2 \sqrt{5}$

Ответ: $2 \sqrt{5}$ .

Пример 3

Необходимо вычислить расстояние от точки с координатами $M_{1} (- 2, 4)$ к прямым $2 x - 3 = 0$ и $y + 1 = 0$ .

Решение

Получаем уравнение нормального вида прямой $2 x - 3 = 0$ :

$2 x - 3 = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot (2 x - 3) = \frac{1}{2} \cdot 0 \Leftrightarrow x - \frac{3}{2} = 0$

После чего переходим к вычислению расстояния от точки $M_{1} (- 2, 4)$ к прямой $x - \frac{3}{2} = 0$ . Получаем:

$|M_{1} H_{1}| = |- 2 - \frac{3}{2}| = 3 \frac{1}{2}$

Уравнение прямой $y + 1 = 0$ имеет нормирующий множитель со значением равным -1. Это означает, что уравнение примет вид $- y - 1 = 0$ . Переходим к вычислению расстояния от точки $M_{1} (- 2, 4)$ к прямой $- y - 1 = 0$ . Получим, что оно равняется $|- 4 - 1| = 5$ .

Ответ: $3 \frac{1}{2}$ и $5$ .

Подробно рассмотрим нахождение расстояния от заданной точки плоскости к координатным осям $О х$ и $О у$ .

В прямоугольной системе координат у оси $О у$ имеется уравнение прямой, которое является неполным имеет вида $х = 0$ , а $О х$ - $y = 0$ . Уравнения являются нормальными для осей координат, тогда необходимо найти расстояние от точки с координатами $M_{1} (x_{1}, y_{1})$ до прямых. Это производится, исходя из формул $|M_{1} H_{1}| = |x_{1}|$ и $|M_{1} H_{1}| = |y_{1}|$ . Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости

Пример 4

Найти расстояние от точки $M_{1} (6, - \sqrt{7})$ до координатных прямых, расположенных в плоскости $О х у$ .

Решение

Так как уравнение $у = 0$ относится к прямой $О х$ , можно найти расстояние от $M_{1}$ с заданными координатами, до этой прямой, используя формулу. Получаем, что $|6| = 6$ .

Так как уравнение $х = 0$ относится к прямой $О у$ , то можно найти расстояние от $М_{1}$ к этой прямой по формуле. Тогда получим, что $|- \sqrt{7}| = \sqrt{7}$ .

Ответ: расстояние от $М 1$ к $О х$ имеет значение $6$ , а от $М_{1}$ к $О у$ имеет значение $\sqrt{7}$ .

Расстояние от точки до прямой в пространстве – теория, примеры, решения

Когда в трехмерном пространстве имеем точку с координатами $M_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ , необходимо найти расстояние от точки $A$ до прямой $a$ .

Рассмотрим два способа, которые позволяют производить вычисление расстояние от точки до прямой $a$ , расположенной в пространстве. Первый случай рассматривает расстояние от точки $М_{1}$ к прямой, где точка на прямой называется $Н_{1}$ и является основанием перпендикуляра, проведенного из точки $М_{1}$ на прямую $a$ . Второй случай говорит о том, что точки этой плоскости необходимо искать в качестве высоты параллелограмма.

Первый способ

Из определения имеем, что расстояние от точки $М_{1}$ _,расположенной на прямой а, является длиной перпендикуляра $М_{1} Н_{1}$ _,тогда получим, что при найденных координатах точки $Н_{1}$ , тогда найдем расстояние между $M_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ и $H_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ , исходя из формулы $|M_{1} H_{1}| = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}$ .

Получаем, что все решение идет к тому, чтобы найти координаты основания перпендикуляра, проведенного из $М_{1}$ на прямую $a$ . Это производится следующим образом: $Н_{1}$ является точкой, где пересекаются прямая $a$ с плоскостью, которая проходит через заданную точку.

Расстояние от точки до прямой в пространстве – теория, примеры, решения

Значит, алгоритм определения расстояния от точки $M_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ к прямой $a$ пространства подразумевает несколько пунктов:

Определение 5

составление уравнение плоскости $χ$ в качестве уравнения плоскости, проходящего через заданную точку, находящуюся перпендикулярно прямой;
определение координат $(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ , принадлежавших точке $Н_{1}$ , которая является точкой пересечения прямой $a$ и плоскости $χ$ ;
вычисление расстояния от точки до прямой при помощи формулы $|M_{1} H_{1}| = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}$ .

Второй способ

Из условия имеем прямую $a$ , тогда можем определить направляющий вектор $\vec{a} = (a_{x}, a_{y}, a_{z})$ с координатами $(x_{3}, y_{3}, z_{3})$ и определенной точки $М_{3}$ _,принадлежащей прямой $a$ . При наличии координат точек $M_{1} (x_{1}, y_{1})$ и $M_{3} (x_{3}, y_{3}, z_{3})$ можно произвести вычисление $\vec{M_{3} M_{1}}$ :

$\vec{M_{3} M_{1}} = (x_{1} - x_{3}, y_{1} - y_{3}, z_{1} - z_{3})$

Следует отложить векторы $\vec{a} = (a_{x}, a_{y}, a_{z})$ и $\vec{M_{3} M_{1}} = (x_{1} - x_{3}, y_{1} - y_{3}, z_{1} - z_{3})$ из точки $М_{3}$ , соединим и получим фигуру параллелограмма. $М_{1} Н_{1}$ является высотой параллелограмма.

Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Расстояние от точки до прямой в пространстве – теория, примеры, решения

Имеем, что высота $М_{1} Н_{1}$ является искомым расстоянием, тогда необходимо найти его по формуле. То есть ищем $|M_{1} H_{1}|$ .

Обозначим площадь параллелограмма за букву $S$ , находится по формуле, используя вектор $\vec{a} = (a_{x}, a_{y}, a_{z})$ и $\vec{M_{3} M_{1}} = (x_{1} - x_{3} . y_{1} - y_{3}, z_{1} - z_{3})$ . Формула площади имеет вид $S = |[\vec{a} \times \vec{M_{3} M_{1}}]|$ . Также площадь фигуры равняется произведению длин его сторон на высоту, получим, что $S = |\vec{a}| \cdot |M_{1} H_{1}|$ с $|\vec{a}| = \sqrt{{a_{x}}^{2} + {a_{y}}^{2} + {a_{z}}^{2}}$ , являющимся длиной вектора $\vec{a} = (a_{x}, a_{y}, a_{z})$ , являющейся равной стороне параллелограмма. Значит, $|M_{1} H_{1}|$ является расстоянием от точки до прямой. Ее нахождение производится по формуле $|M_{1} H_{1}| = \frac{|[\vec{a} \times \vec{M_{3} M_{1}}]|}{|\vec{a}|}$ .

Для нахождения расстояния от точки с координатами $M_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ до прямой $a$ в пространстве, необходимо выполнить несколько пунктов алгоритма:

Определение 6

определение направляющего вектора прямой $a$ - $\vec{a} = (a_{x}, a_{y}, a_{z})$ ;
вычисление длины направляющего вектора $|\vec{a}| = \sqrt{{a_{x}}^{2} + {a_{y}}^{2} + {a_{z}}^{2}}$ ;
получение координат $(x_{3}, y_{3}, z_{3})$ , принадлежавших точке М₃, находящейся на прямой а;
вычисление координат вектора $\vec{M_{3} M_{1}}$ ;
нахождение векторного произведения векторов $\vec{a} (a_{x}, a_{y}, a_{z})$ и $\vec{M_{3} M_{1}} = (x_{1} - x_{3}, y_{1} - y_{3}, z_{1} - z_{3})$ в качестве $[\vec{a} \times \vec{M_{3} M_{1}}] = |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ x_{1} - x_{3} & y_{1} - y_{3} & z_{1} - z_{3} \end{matrix}|$ для получения длины по формуле $|[\vec{a} \times \vec{M_{3} M_{1}}]|$ ;
вычисление расстояния от точки до прямой $|M_{1} H_{1}| = \frac{|[\vec{a} \times \vec{M_{3} M_{1}}]|}{|\vec{a}|}$ .

Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой в пространстве

Пример 5

Найти расстояние от точки с координатами $M_{1} (2, - 4, - 1)$ к прямой $\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 5}{5}$ .

Решение

Первый способ начинается с записи уравнения плоскости $χ$ , проходящей через $М_{1}$ и перпендикулярно заданной точке. Получаем выражение вида:

$2 \cdot (x - 2) - 1 \cdot (y - (- 4)) + 5 \cdot (z - (- 1)) = 0 \Leftrightarrow 2 x - y + 5 z - 3 = 0$

Нужно найти координаты точки $H_{1}$ , являющейся точкой пересечения с плоскостью $χ$ к заданной по условию прямой. Следует переходить от канонического вида к пересекающемуся. Тогда получаем систему уравнений вида:

$\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 5}{5} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \begin{array}{l} - 1 \cdot (x + 1) = 2 \cdot y \\ 5 \cdot (x + 1) = 2 \cdot (z + 5) \end{array} \\ 5 \cdot y = - 1 \cdot (z + 5) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \begin{array}{l} x + 2 y + 1 = 0 \\ 5 x - 2 z - 5 = 0 \end{array} \\ 5 y + z + 5 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 2 y + 1 = 0 \\ 5 x - 2 z - 5 = 0 \end{cases}$

Необходимо вычислить систему $\{\begin{cases} \begin{array}{l} x + 2 y + 1 = 0 \\ 5 x - 2 z - 5 = 0 \end{array} \\ 2 x - y + 5 z - 3 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \begin{array}{l} x + 2 y = - 1 \\ 5 x - 2 z = 5 \end{array} \\ 2 x - y + 5 z = 3 \end{cases}$ по методу Крамера, тогда получаем, что:

$∆ = |\begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 5 & 0 & - 2 \\ 2 & - 1 & 5 \end{matrix}| = - 60 ∆_{x} = |\begin{matrix} - 1 & 2 & 0 \\ 5 & 0 & - 2 \\ 3 & - 1 & 5 \end{matrix}| = - 60 \Leftrightarrow x = \frac{∆_{x}}{∆} = \frac{- 60}{- 60} = 1 ∆_{y} = |\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 5 & 5 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \end{matrix}| = 60 \Rightarrow y = \frac{∆_{y}}{∆} = \frac{60}{- 60} = - 1 ∆_{z} = |\begin{matrix} 1 & 2 & - 1 \\ 5 & 0 & 5 \\ 2 & - 1 & 3 \end{matrix}| = 0 \Rightarrow z = \frac{∆_{z}}{∆} = \frac{0}{- 60} = 0$

Отсюда имеем, что $H_{1} (1, - 1, 0)$ .

Необходимо рассчитать расстояние между точками с координатами $M_{1} (2, - 4, - 1)$ и $H_{1} (1, - 1, 0)$ по формуле:

$|M_{1} H_{1}| = \sqrt{{(1 - 2)}^{2} + {(- 1 - (- 4))}^{2} + {(0 - (- 1))}^{2}} = \sqrt{11}$

Второй способ необходимо начать с поиска координат в каноническом уравнении. Для этого необходимо обратит внимание на знаменатели дроби. Тогда $\vec{a} = (2, - 1, 5)$ является направляющим вектором прямой $\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 5}{5}$ . Необходимо вычислить длину по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{2^{2} + (- 1)^{2} + 5^{2}} = \sqrt{30}$ .

Понятно, что прямая $\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 5}{5}$ пересекает точку $M_{3} (- 1, 0, - 5)$ , отсюда имеем, что вектор с началом координат $M_{3} (- 1, 0, - 5)$ и его концом в точке $M_{1} (2, - 4, - 1)$ является $\vec{M_{3} M_{1}} = (3, - 4, 4)$ . Находим векторное произведение $\vec{a} = (2, - 1, 5)$ и $\vec{M_{3} M_{1}} = (3, - 4, 4)$ .

Мы получаем выражение вида $[\vec{a} \times \vec{M_{3} M_{1}}] = |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & - 1 & 5 \\ 3 & - 4 & 4 \end{matrix}| = - 4 \cdot \vec{i} + 15 \cdot \vec{j} - 8 \cdot \vec{k} + 20 \cdot \vec{i} - 8 \cdot \vec{j} = 16 \cdot \vec{i} + 7 \cdot \vec{j} - 5 \cdot \vec{k}$

получаем, что длина векторного произведения равняется $|[\vec{a} \times \vec{M_{3} M_{1}}]| = \sqrt{16^{2} + 7^{2} + {(- 5)}^{2}} = \sqrt{330}$ .

Имеются все данные для использования формулы вычисления расстояния от точки для прямлой, поэтому применим ее и получим:

$|M_{1} H_{1}| = \frac{|[\vec{a} \times \vec{M_{3} M_{1}}]|}{|\vec{a}|} = \frac{\sqrt{330}}{\sqrt{30}} = \sqrt{11}$

Ответ: $\sqrt{11}$ .