Угол между скрещивающимися прямыми : определение, примеры нахождения

26 октября 2023
8 минут
4 224

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В статье рассматриваются определения угла между скрещивающимися прямыми с приведением графических иллюстраций. При имеющихся координатах направляющих векторов заданных прямых научимся находить искомый угол. В заключительной части решим задачи на нахождение угла.

Угол между скрещивающимися прямыми – определение

Для нахождения искомого угла необходимо пройти несколько этапов.

Определение 1

Две прямые в трехмерном пространстве называются скрещивающимися в случае, если они не находятся в одной плоскости.

Из определения о скрещивающихся прямых следует, что они не являются параллельными или пересекающимися и не совпадают, тогда они находились бы в одной и той же плоскости.

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Угол между скрещивающимися прямыми – определение

В трехмерном пространстве имеются скрещивающиеся прямые $a$ и $b$ . Проведем прямые $а_{1}$ и $b_{1}$ параллельные скрещивающимся $a$ и $b$ . Точка М₁ является точкой пространства, через которую они проходят. Отсюда получаем, что а₁ и $b_{1}$ являются пересекающимися прямыми.

Обозначим угол между $a_{1}$ и $b_{1}$ равным значению $α$ . Построение прямых $a_{2}$ и $b_{2}$ параллельно скрещивающимися относительно $a$ и $b$ в точке $М_{2}$ отличной от $М_{1}$ приводит к тому, что значение угла между ними обозначим как $α$ . То есть угол между прямыми $a_{1}$ и $b_{1}$ равен углу между $a_{2}$ и $b_{2}$ . В этом можно убедиться, если про/извести параллельный перенос. Тогда точки $М_{1}$ и $М_{2}$ совпадают.

Определение 2

Углом между скрещивающимися прямыми называют угол, который образуется между двумя параллельными заданными скрещивающимися прямыми.

Отсюда следует, что угол не зависит от точки $M$ и ее выбора. Поэтому точка $M$ может быть любой. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Угол между скрещивающимися прямыми – определение

Нахождение угла между скрещивающимися прямыми

Угол между скрещивающимися прямыми определяется через угол пересекающихся прямых. Поиск угла сводится к его нахождению между пересекающимися прямыми пространства. Школьные методы решения основываются на необходимости построения на основе подобия фигур или теоремах косинуса, что позволит определить синус, косинус, тангенс угла прямоугольного треугольника.

Удобным способом решения считается нахождение угла методом координат. Рассмотрим его.

Трехмерное пространство имеет прямоугольную систему координат $О х у z$ . Имеется задача, в которой необходимой найти угол $α$ , образованный скрещивающимися прямыми $a$ и $b$ с заданными уравнениями прямых в пространстве.

Для решения необходимо взять произвольную точку в трехмерном пространстве и обозначить буквой $M$ , что дает понять, через нее проходят прямые $a_{1}$ и $b_{1}$ , которые параллельны скрещивающимся $a$ и $b$ . Угол $α$ , образованными прямыми $a$ и $b$ , из этого определения получится равным пересекающимся $a_{1}$ и $b_{1}$ _.

Для нахождения искомого угла между $a_{1}$ и $b_{1}$ необходимо использовать формулу для нахождения угла между пересекающимися прямыми, а для этого нужно знать значение координат направляющих векторов у прямых $a_{1}$ и $b_{1}$ _.

Для их получения необходимо применить определение направляющего вектора, которое говорит о том, что множества векторов совпадают. Направляющие векторы прямых обозначают $\vec{a} = (a_{x}, a_{y}, a_{z})$ и $\vec{b} = (b_{x}, b_{y}, b_{z})$ .

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ имеют координаты, определяющиеся из условия по уравнению или по координатам точек пересекающихся прямых. Тогда получаем, что угол между двумя скрещивающимися прямыми $a$ и $b$ вычисляется из формулы $α = a r c \cos \frac{|(\vec{a}, \vec{b})|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = a r c \cos \frac{|a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y} + a_{z} \cdot b_{z}|}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}} \cdot \sqrt{b_{x}^{2} + b_{y}^{2} + b_{z}^{2}}}$ , а $\vec{a} = (a_{x}, a_{y}, a_{z})$ и $\vec{b} = (b_{x}, b_{y}, b_{z})$ являются направляющими векторами прямых $a$ и $b$ .

Использование формулы для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми а и b дает выражение вида $\cos α = \frac{|(\vec{a}, \vec{b})|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{|a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y} + a_{z} \cdot b_{z}|}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}} \cdot \sqrt{b_{x}^{2} + b_{y}^{2} + b_{z}^{2}}}$ .

При помощи основного тригонометрического тождества можно найти синус угла между этими прямыми при известном косинусе из формулы $\sin α = \sqrt{1 - \cos^{2} α}$ .

Пример 1

Найти угол между скрещивающимися прямыми $a$ и $b$ , которые заданы уравнениями $\frac{x}{2} = \frac{y - 4}{0} = \frac{z + 1}{- 3}$ и $\{\begin{cases} \begin{array}{l} x = 1 + λ \\ y = 1 - λ \end{array} \\ z = - 3 + 4 \cdot λ \end{cases}, λ \in R$ и определяются в системе координат $О х у z$ .

Решение

Для определения координат необходимо использовать каноническое уравнение прямой в плоскости. необходимо обратить внимание на знаменатель дробей. Отсюда видно, что $\vec{a} = (2, 0, - 3)$ является направляющим вектором прямой $\frac{x}{2} = \frac{y - 4}{0} = \frac{z + 1}{- 3}$ . При наличии параметрического уравнения можно определить координаты направляющего вектора, так как она равняются коэффициентам, тогда получаем, что $\vec{b} = (1, - 1, 4)$ является направляющим вектором для прямой вида $\{\begin{cases} \begin{array}{l} x = 1 + λ \\ y = 1 - λ \end{array} \\ z = - 3 + 4 \cdot λ \end{cases}, λ \in R$ .

Отсюда получаем, что имеются все необходимые формулы и данные для того, чтобы произвести вычисление угла между скрещивающимися прямыми. Имеем, что

$α = a r c \cos \frac{|a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y} + a_{z} \cdot b_{z}|}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}} \cdot \sqrt{b_{x}^{2} + b_{y}^{2} + b_{z}^{2}}} = a r c \cos \frac{|2 \cdot 1 + 0 \cdot (- 1) + (- 3) \cdot 4|}{\sqrt{2^{2} + 0^{2} + (- 3)^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + (- 1)^{2} + 4^{2}}} = = a r c \cos \frac{10}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{18}} = a r c \cos \frac{10}{3 \sqrt{26}}$

Ответ: угол между скрещивающимися прямыми равен $a r c \cos \frac{10}{3 \sqrt{26}}$ .

Пример 2

Найти значение синуса и косинуса угла между скрещивающимися прямыми, где имеются ребра $A D$ и $В С$ , принадлежащие пирамиде $A B C D$ , с известными вершинами с координатами $A (0, 0, - 1), B (5, 7, - 5), C (3, 7, - 5), D (1, 3, 1)$ .

Решение

$\vec{A D}$ и $\vec{B C}$ являются векторами соответствующих сторон заданной фигуры. Необходимо вычислить координаты с помощью имеющихся данных начала и конца.

Получаем, что $\vec{A D} = (1 - 0, 3 - 0, 1 - (- 1)) \Leftrightarrow \vec{A D} = (1, 3, 2) \vec{B C} = (3 - 5, 7 - 7, - 5 - (- 3)) \Leftrightarrow \vec{B C} = (- 2, 0, - 2)$

Из формулы $\cos α = a r c \cos \frac{|(\vec{A D}, \vec{B C})|}{|\vec{A D}| \cdot |\vec{B C}|}$ находим косинус угла между заданными скрещивающимися прямыми. Получаем выражение вида

$\cos α = \frac{|1 \cdot (- 2) + 3 \cdot 0 + 2 \cdot (- 2)|}{\sqrt{1^{2} + 3^{2} + 2^{2}} \cdot \sqrt{(- 2)^{2} + 0^{2} + (- 2)^{2}}} = \frac{6}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{8}} = \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Перейдем к вычислению синуса угла между этими прямыми. Подставляем значения и получаем, что $\sin α = \sqrt{1 - \cos^{2} α} = \sqrt{1 - {(\frac{3}{2 \sqrt{7}})}^{2}} = \frac{\sqrt{19}}{2 \sqrt{7}}$ .

Ответ: $\sin α = \frac{\sqrt{19}}{2 \sqrt{7}}, \cos α = \frac{3}{2 \sqrt{7}}$ .

В заключительном этапе рассмотрим задачу, в которой нужно найти угол между скрещивающимися прямыми с самостоятельно введенной системой координат.

Нахождение угла между скрещивающимися прямыми — Пример 3