Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой

26 марта 2023
8 минут
7 185

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Данная статья дает представление о том, как составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку трехмерного пространства перпендикулярно к заданной прямой. Разберем приведенный алгоритм на примере решения типовых задач.

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой

Пусть задано трехмерное пространство и прямоугольная система координат $O x y z$ в нем. Заданы также точка $М_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1}),$ прямая $a$ и плоскость $α$ , проходящая через точку $М_{1}$ перпендикулярно прямой $a$ . Необходимо записать уравнение плоскости $α$ .

Прежде чем приступить к решению этой задачи, вспомним теорему геометрии из программы $10 - 11$ классов, которая гласит:

Определение 1

Через заданную точку трехмерного пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к заданной прямой.

Теперь рассмотрим, как же найти уравнение этой единственной плоскости, проходящей через исходную точку и перпендикулярной данной прямой.

Возможно записать общее уравнение плоскости, если известны координаты точки, принадлежащей этой плоскости, а также координаты нормального вектора плоскости.

Условием задачи нам заданы координаты $x_{1}, y_{1}, z_{1}$ точки $М_{1}$ , через которую проходит плоскость $α$ . Если мы определим координаты нормального вектора плоскости $α$ , то получим возможность записать искомое уравнение.

Нормальным вектором плоскости $α$ , так как он ненулевой и лежит на прямой $a$ , перпендикулярной плоскости $α$ , будет являться любой направляющий вектор прямой $a$ . Так, задача нахождения координат нормального вектора плоскости $α$ преобразовывается в задачу определения координат направляющего вектора прямой $a$ .

Определение координат направляющего вектора прямой $a$ может осуществляться разными методами: зависит от варианта задания прямой $a$ в исходных условиях. К примеру, если прямая $a$ в условии задачи задана каноническими уравнениями вида

$\frac{x - x_{1}}{a_{x}} = \frac{y - y_{1}}{a_{y}} = \frac{z - z_{1}}{a_{z}}$

или параметрическими уравнениями вида:

$\{\begin{cases} \begin{array}{l} x = x_{1} + a_{x} \cdot λ \\ y = y_{1} + a_{y} \cdot λ \end{array} \\ z = z_{1} + a_{z} \cdot λ \end{cases}$

то направляющий вектор прямой будет иметь координаты $а_{x}, а_{y}$ и $а_{z}$ . В случае, когда прямая $a$ представлена двумя точками $М_{2} (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ и $М_{3} (x_{3}, y_{3}, z_{3})$ , то координаты направляющего вектора буду определяться как (x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

Определение 2

Алгоритм для нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой:

- определяем координаты направляющего вектора прямой $a$ : $\vec{a} = (а_{x}, а_{y}, а_{z})$ ;

- определяем координаты нормального вектора плоскости $α$ как координаты направляющего вектора прямой $a$ :

$\vec{n} = (A, B, C),$ где $A = a_{x}, B = a_{y}, C = a_{z}$ ;

- записываем уравнение плоскости, проходящей через точку $М_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ и имеющей нормальный вектор $\vec{n} = (A, B, C)$ в виде $A (x - x_{1}) + B (y - y_{1}) + C (z - z_{1}) = 0$ . Это и будет являться требуемым уравнением плоскости, которая проходит через заданную точку пространства и перпендикулярна к данной прямой.

Полученное общее уравнение плоскости: $A (x - x_{1}) + B (y - y_{1}) + C (z - z_{1}) = 0$ дает возможность получить уравнение плоскости в отрезках или нормальное уравнение плоскости.

Решим несколько примеров, используя полученный выше алгоритм.

Пример 1

Задана точка $М_{1} (3, - 4, 5)$ , через которую проходит плоскость, и эта плоскость перпендикулярна координатной прямой $О z$ .

Решение

направляющим вектором координатной прямой $O z$ будет координатный вектор $\overset{⇀}{k} = (0, 0, 1)$ . Следовательно, нормальный вектор плоскости имеет координаты $(0, 0, 1)$ . Запишем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку $М_{1} (3, - 4, 5)$ , нормальный вектор которой имеет координаты $(0, 0, 1)$ :

$A (x - x_{1}) + B (y - y_{1}) + C (z - z_{1}) = 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow 0 \cdot (x - 3) + 0 \cdot (y - (- 4)) + 1 \cdot (z - 5) = 0 \Leftrightarrow z - 5 = 0$

Ответ: $z - 5 = 0$ .

Рассмотрим еще один способ решить данную задачу:

Пример 2

Плоскость, которая перпендикулярна прямой $O z$ будет задана неполным общим уравнением плоскости вида $С z + D = 0, C \neq 0$ . Определим значения $C$ и $D$ : такие, при которых плоскость проходит через заданную точку. Подставим координаты этой точки в уравнение $С z + D = 0$ , получим: $С \cdot 5 + D = 0$ . Т.е. числа, $C$ и $D$ связаны соотношением $- \frac{D}{C} = 5$ . Приняв $С = 1$ , получим $D = - 5$ .

Подставим эти значения в уравнение $С z + D = 0$ и получим требуемое уравнение плоскости, перпендикулярной к прямой $O z$ и проходящей через точку $М_{1} (3, - 4, 5)$ .

Оно будет иметь вид: $z - 5 = 0$ .

Ответ: $z - 5 = 0$ .

Пример 3

Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой $\frac{x}{- 3} = \frac{y + 1}{- 7} = \frac{z + \sqrt{5}}{2}$

Решение

Опираясь на условия задачи, можно утверждать, что за нормальный вектор $\vec{n}$ заданной плоскости можно принять направляющий вектор заданной прямой. Таким, образом: $\vec{n} = (- 3, - 7, 2)$ . Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку $О (0, 0, 0)$ и имеющей нормальный вектор $\vec{n} = (- 3, - 7, 2)$ :

$- 3 \cdot (x - 0) - 7 \cdot (y - 0) + 2 \cdot (z - 0) = 0 \Leftrightarrow - 3 x - 7 y + 2 z = 0$

Мы получили требуемое уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к заданной прямой.

Ответ: $- 3 x - 7 y + 2 z = 0$

Пример 4

Задана прямоугольная система координат $O x y z$ в трехмерном пространстве, в ней – две точки $А (2, - 1, - 2)$ и $B (3, - 2, 4)$ . Плоскость $α$ проходит через точку $A$ перпендикулярно прямой $А В$ . Необходимо составить уравнение плоскости $α$ в отрезках.

Решение

Плоскость $α$ перпендикулярна к прямой $А В$ , тогда вектор $\vec{А В}$ будет нормальным вектором плоскости $α$ . Координаты этого вектора определяются как разности соответствующих координат точек $В (3, - 2, 4)$ и $А (2, - 1, - 2)$ :

$\vec{A B} = (3 - 2, - 2 - (- 1), 4 - (- 2)) \Leftrightarrow \vec{A B} = (1, - 1, 6)$

Общее уравнение плоскости будет записано в следующем виде:

$1 \cdot (x - 2) - 1 \cdot (y - (- 1) + 6 \cdot (z - (- 2)) = 0 \Leftrightarrow x - y + 6 z + 9 = 0$

Теперь составим искомое уравнение плоскости в отрезках:

$x - y + 6 z + 9 = 0 \Leftrightarrow x - y + 6 z = - 9 \Leftrightarrow \frac{x}{- 9} + \frac{y}{9} + \frac{z}{- \frac{3}{2}} = 1$

Ответ: $\frac{x}{- 9} + \frac{y}{9} + \frac{z}{- \frac{3}{2}} = 1$

Также нужно отметить, что встречаются задачи, требование которых – написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной к двум заданным плоскостям. В общем, решение этой задачи в том, чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой, т.к. две пересекающиеся плоскости задают прямую линию.

Пример 5

Задана прямоугольная система координат $O x y z$ , в ней – точка $М_{1} (2, 0, - 5)$ . Заданы также уравнения двух плоскостей $3 x + 2 y + 1 = 0$ и $x + 2 z - 1 = 0$ , которые пересекаются по прямой $a$ . Необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через точку $М_{1}$ перпендикулярно к прямой $a$ .

Решение

Определим координаты направляющего вектора прямой $a$ . Он перпендикулярен как нормальному вектору $\vec{n_{1}} (3, 2, 0)$ плоскости $\vec{n} (1, 0, 2)$ , так и нормальному вектору $3 x + 2 y + 1 = 0$ плоскости $x + 2 z - 1 = 0$ .

Тогда направляющим вектором $\vec{α}$ прямой $a$ возьмем векторное произведение векторов $\vec{n_{1}}$ и $\vec{n_{2}}$ :

$\vec{a} = [\vec{n_{1}} \times \vec{n_{2}}] = |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix}| = 4 \cdot \vec{i} - 6 \cdot \vec{j} - 2 \cdot \vec{k} \Rightarrow \vec{a} = (4, - 6, - 2)$

Таким образом, вектор $\vec{n} = (4, - 6, - 2)$ будет нормальным вектором плоскости, перпендикулярной к прямой $a$ . Запишем искомое уравнение плоскости:

$4 \cdot (x - 2) - 6 \cdot (y - 0) - 2 \cdot (z - (- 5)) = 0 \Leftrightarrow 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow 2 x - 3 y - z - 9 = 0$

Ответ: $2 x - 3 y - z - 9 = 0$