Уравнение плоскости, виды уравнения плоскости

6 августа 2023
7 минут
6 832

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В предыдущем разделе, посвященном плоскости в пространстве, мы рассмотрели вопрос с позиции геометрии. Теперь же перейдем к описанию плоскости с помощью уравнений. Взгляд на плоскость со стороны алгебры предполагает рассмотрение основных видов уравнения плоскости в прямоугольной системе координат $O х у z$ трехмерного пространства.

Определение уравнения плоскости

Определение 1

Плоскость – это геометрическая фигура, состоящая из отдельных точек. Каждой точке в трехмерном пространстве соответствуют координаты, которые задаются тремя числами. Уравнение плоскости устанавливает зависимость между координатами всех точек.

Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат 0хуz имеет вид уравнения с тремя переменными $х, у$ и $z$ . Удовлетворяют уравнению координаты любой точки, лежащей в пределах заданной плоскости, не удовлетворяют координаты любых других точек, которые лежат вне заданной плоскости.

Подстановка в уравнение плоскости координат точки данной плоскости, обращает уравнение в тождество. При подстановке координат точки, лежащей вне плоскости, уравнение превращается в неверное равенство.

Уравнение плоскости может иметь несколько видов. В зависимости от специфики решаемых задач уравнение плоскости может быть записано по-разному.

Общее уравнение плоскости

Сформулируем теорему, а затем запишем уравнение плоскости.

Теорема 1

Всякая плоскость в прямоугольной системе координат $O x y z$ в трехмерном пространстве может быть задана уравнением вида $A x + B y + C z + D = 0$ , где $А, В, С$ и $D$ – некоторые действительные числа, которые одновременно не равны нулю. Всякое уравнение, имеющее вид $A x + B y + C z + D = 0$ , определяет плоскость в трехмерном пространстве

Уравнение, имеющее вид $A x + B y + C z + D = 0$ носит название общего уравнения плоскости. Если не придавать числам $А, В, С$ и $D$ конкретных значений, то мы получаем уравнение плоскости в общем виде.

Важно понимать, что уравнение $λ \cdot A x + λ \cdot B y + λ \cdot C z + λ \cdot D = 0$ , будет точно так же определять плоскость. В уравнении $λ$ - это некоторое отличное от нуля действительное число. Это значит, что равенства $A x + B y + C z + D = 0$ и $λ \cdot A x + λ \cdot B y + λ \cdot C z + λ \cdot D = 0$ равнозначны.

Пример 1

Общим уравнениям плоскости $x - 2 \cdot y + \sqrt{3} \cdot z - 7 = 0$ и $- 2 \cdot x + 4 \cdot y - 2 \sqrt{3} \cdot z + 14 = 0$ удовлетворяют координаты одних и тех же точек, расположенных в трехмерном пространстве. Это значит, что они задают одну и ту же плоскость.

Дадим пояснения к рассмотренной выше теореме. Плоскость и ее уравнение неразделимы, так как каждому уравнению $A x + B y + C z + D = 0$ соответствует плоскость в заданной прямоугольной системе координат, а каждой плоскости, расположенной в трехмерном пространстве, соответствует ее уравнение вида $A x + B y + C z + D = 0$ .

Уравнение плоскости $A x + B y + C z + D = 0$ может быть полным и неполным. Все коэффициенты $А, B, С$ и $D$ в полном уравнении отличны от нуля. В противном случае, общее уравнение плоскости считается неполным.

Плоскости, которые задаются неполными уравнениями, могут быть параллельны координатным осям, проходить через оси координат, совпадать с координатными плоскостями или располагаться параллельно им, проходить через начало координат.

Пример 2

Рассмотрим положение в пространстве плоскости, заданной уравнением $4 \cdot y - 5 \cdot z + 1 = 0$ .

Она параллельна оси абсцисс и располагается перпендикулярно по отношению к плоскости $O y z$ . Уравнение $z = 0$ определяет координатную плоскость $O y z$ , а общее уравнение плоскости вида $3 \cdot x - y + 2 \cdot z = 0$ соответствует плоскости, которая проходит через начало координат.

Важное уточнение: коэффициенты $А, В$ и $С$ в общем уравнении плоскости представляют собой координаты нормального вектора плоскости.

Когда говорят об уравнении плоскости, то подразумевают общее уравнение плоскости. Все виды уравнений плоскости, которые мы разберем в следующем разделе статьи, получают из общего уравнения плоскости.

Нормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости – это общее уравнение плоскости вида $A x + B y + C z + D = 0$ , которое удовлетворяет следующим условиям: длина вектора $\vec{n} = (A, B, C)$ равна единице, т.е. $|\vec{n}| = \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}} = 1$ , а $D \leq 0$ .

Также запись нормального уравнения плоскости может иметь следующий вид $\cos α \cdot x + \cos β \cdot y + \cos γ \cdot z - p = 0$ , где $p$ – это неотрицательное число, которое равно расстоянию от начала координат до плоскости, а $\cos α, \cos β, \cos γ$ - это направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины.

$\vec{n} = (\cos α, \cos β, \cos γ), |\vec{n}| = \sqrt{\cos^{2} α + \cos^{2} β + \cos^{2} γ} = 1$

То есть, согласно нормальному уравнению плоскости, плоскость в прямоугольной системе координат $O х у z$ удалена от начала координат на расстояние $p$ в положительном направлении нормального вектора этой плоскости $\vec{n} = (\cos α, \cos β, \cos γ)$ . Если $p$ равно нулю, то плоскость проходит через начало координат.

Пример 3

Плоскость задана общим уравнением плоскости вида $- \frac{1}{4} \cdot x - \frac{3}{4} \cdot y + \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot z - 7 = 0$ . $D = - 7 \leq 0$ , нормальный вектор этой плоскости $\vec{n} = (- \frac{1}{4}, - \frac{3}{4}, \frac{\sqrt{6}}{4})$ имеет длину, равную единице, так как $|\vec{n}| = \sqrt{{(- \frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{3}{4})}^{2} + (\frac{\sqrt{6}}{4})} = 1$ . Соответственно, это общее уравнение плоскости является нормальным уравнением плоскости.

Для более детального изучения нормального уравнения плоскости мы рекомендуем перейти в соответствующий раздел. В теме приведены разборы задач и характерные примеры, а также способы приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду.

Уравнение плоскости в отрезках

Плоскость отсекает на координатных осях $O х, O у$ и $O z$ отрезки определенной длины. Длины отрезков задаются отличными от нуля действительными числами $a, b$ и $с$ . Уравнение плоскости в отрезках имеет вид $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ . Знак чисел $а, b$ и $с$ показывает, в каком направлении от нулевого значения следует откладывать отрезки на координатных осях.

Более подробно информация об уравнении плоскости в отрезках, приведении уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости размещена в отдельной статье. Там же приведен ряд решений задач и примеров по теме.