Уравнение прямой с угловым коэффициентом: теория, примеры, решение задач

19 февраля 2023
12 минут
19 489

Содержание:

Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой
Уравнение с угловым коэффициентом
Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку
Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнений прямой и обратно

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Продолжение темы уравнение прямой на плоскости основывается на изучении прямой линии из уроков алгебры. Данная статья дает обобщенную информацию по теме уравнения прямой с угловым коэффициентом. Рассмотрим определения, получим само уравнение, выявим связь с другими видами уравнений. Все будет рассмотрено на примерах решений задач.

Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой

Перед записью такого уравнения необходимо дать определение угла наклона прямой к оси $О х$ $О х$ с их угловым коэффициентом. Допустим, что задана декартова система координат $О х$ $О х$ на плоскости.

Определение 1

Угол наклона прямой к оси $О х$ $О х$ , расположенный в декартовой системе координат $О х у$ $О х у$ на плоскости, это угол, который отсчитывается от положительного направления $О х$ $О х$ к прямой против часовой стрелки.

Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой

Когда прямая параллельна $О х$ $О х$ или происходит совпадение в ней, угол наклона равен $0$ $0$ . Тогда угол наклона заданной прямой $α$ $α$ определен на промежутке $[0, π)$ $[0, π)$ .

Определение 2

Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона заданной прямой.

Стандартное обозначение буквой $k$ $k$ . Из определения получим, что $k = t g α$ $k = t g α$ . Когда прямая параллельна Ох, говорят, что угловой коэффициент не существует, так как он обращается в бесконечность.

Угловой коэффициент положительный, когда график функции возрастает и наоборот. На рисунке показаны различные вариации расположения прямого угла относительно системы координат со значением коэффициента.

Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой

Для нахождения данного угла необходимо применить определение об угловом коэффициенте и произвести вычисление тангенса угла наклона в плоскости.

Пример 1

Посчитать угловой коэффициент прямой при угле наклона равном $120 °$ $120 °$ .

Решение

Из условия имеем, что $α = 120 °$ $α = 120 °$ . По определению необходимо вычислить угловой коэффициент. Найдем его из формулы $k = t g α = 120 = - \sqrt{3}$ $k = t g α = 120 = - \sqrt{3}$ .

Ответ: $k = - \sqrt{3}$ $k = - \sqrt{3}$ .

Если известен угловой коэффициент, а необходимо найти угол наклона к оси абсцисс, тогда следует учитывать значение углового коэффициента. Если $k > 0$ $k > 0$ , тогда угол прямой острый и находится по формуле $α = a r c t g k$ $α = a r c t g k$ . Если $k < 0$ $k < 0$ , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле $α = π - a r c t g | k |$ $α = π - a r c t g |k|$ .

Пример 2

Определить угол наклона заданной прямой к $О х$ $О х$ при угловом коэффициенте равном $3$ $3$ .

Решение

Из условия имеем, что угловой коэффициент положительный, а это значит, что угол наклона к $О х$ $О х$ меньше $90$ $90$ градусов. Вычисления производятся по формуле $α = a r c t g k = a r c t g 3$ $α = a r c t g k = a r c t g 3$ .

Ответ: $α = a r c t g 3$ $α = a r c t g 3$ .

Пример 3

Найти угол наклона прямой к оси $О х$ $О х$ , если угловой коэффициент = $- \frac{1}{\sqrt{3}}$ $- \frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Решение

Если принять за обозначение углового коэффициента букву $k$ $k$ , тогда $α$ $α$ является углом наклона к заданной прямой по положительному направлению $О х$ $О х$ . Отсюда $k = - \frac{1}{\sqrt{3}} < 0$ $k = - \frac{1}{\sqrt{3}} < 0$ , тогда необходимо применить формулу $α = π - a r c t g | k |$ $α = π - a r c t g |k|$ При подстановке получим выражение:

$α = π - a r c t g ∣ ∣ - \frac{1}{\sqrt{3}} ∣ ∣ = π - a r c t g \frac{1}{\sqrt{3}} = π - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}$ $α = π - a r c t g |- \frac{1}{\sqrt{3}}| = π - a r c t g \frac{1}{\sqrt{3}} = π - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}$ .

Ответ: $\frac{5 π}{6}$ $\frac{5 π}{6}$ .

Уравнение с угловым коэффициентом

Уравнение вида $y = k \cdot x + b$ $y = k \cdot x + b$ , где $k$ $k$ является угловым коэффициентом, а $b$ $b$ некоторым действительным числом, называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Уравнение характерно для любой прямой, непараллельной оси $О у$ $О у$ .

Если подробно рассмотреть прямую на плоскости в фиксированной системе координат, которая задана уравнением с угловым коэффициентом, который имеет вид $y = k \cdot x + b$ $y = k \cdot x + b$ . В данном случае значит, что уравнению соответствуют координаты любой точки прямой. Если подставить координаты точки $М$ $М$ , $M_{1} (x_{1}, y_{1})$ $M_{1} (x_{1}, y_{1})$ , в уравнение $y = k \cdot x + b$ $y = k \cdot x + b$ , тогда в этом случае прямая будет проходить через эту точку, иначе точка не принадлежит прямой.

Пример 4

Задана прямая с угловым коэффициентом $y = \frac{1}{3} x - 1$ $y = \frac{1}{3} x - 1$ . Вычислить, принадлежат ли точки $M_{1} (3, 0)$ $M_{1} (3, 0)$ и $M_{2} (2, - 2)$ $M_{2} (2, - 2)$ заданной прямой.

Решение

Необходимо подставить координаты точки $M_{1} (3, 0)$ $M_{1} (3, 0)$ в заданное уравнение, тогда получим $0 = \frac{1}{3} \cdot 3 - 1 \Leftrightarrow 0 = 0$ $0 = \frac{1}{3} \cdot 3 - 1 \Leftrightarrow 0 = 0$ . Равенство верно, значит точка принадлежит прямой.

Если подставим координаты точки $M_{2} (2, - 2)$ $M_{2} (2, - 2)$ , тогда получим неверное равенство вида $- 2 = \frac{1}{3} \cdot 2 - 1 \Leftrightarrow - 2 = - \frac{1}{3}$ $- 2 = \frac{1}{3} \cdot 2 - 1 \Leftrightarrow - 2 = - \frac{1}{3}$ . Можно сделать вывод, что точка $М_{2}$ $М_{2}$ не принадлежит прямой.

Ответ: $М_{1}$ $М_{1}$ принадлежит прямой, а $М_{2}$ $М_{2}$ нет.

Известно, что прямая определена уравнением $y = k \cdot x + b$ $y = k \cdot x + b$ , проходящим через $M_{1} (0, b)$ $M_{1} (0, b)$ , при подстановке получили равенство вида $b = k \cdot 0 + b \Leftrightarrow b = b$ $b = k \cdot 0 + b \Leftrightarrow b = b$ . Отсюда можно сделать вывод, что уравнение прямой с угловым коэффициентом $y = k \cdot x + b$ $y = k \cdot x + b$ на плоскости определяет прямую, которая проходит через точку $(0, b)$ $(0, b)$ . Она образует угол $α$ $α$ с положительным направлением оси $О х$ $О х$ , где $k = t g α$ $k = t g α$ .

Рассмотрим на примере прямую, определенную при помощи углового коэффициента, заданного по виду $y = \sqrt{3} \cdot x - 1$ $y = \sqrt{3} \cdot x - 1$ . Получим, что прямая пройдет через точку с координатой $(0, - 1)$ $(0, - 1)$ с наклоном в $α = a r c t g \sqrt{3} = \frac{π}{3}$ $α = a r c t g \sqrt{3} = \frac{π}{3}$ радиан по положительному направлению оси $О х$ $О х$ . Отсюда видно, что коэффициент равен $\sqrt{3}$ $\sqrt{3}$ .

Уравнение с угловым коэффициентом

Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку

Необходимо решить задачу, где необходимо получить уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящим через точку $M_{1} (x_{1}, y_{1})$ $M_{1} (x_{1}, y_{1})$ .

Равенство $y_{1} = k \cdot x + b$ $y_{1} = k \cdot x + b$ можно считать справедливым, так как прямая проходит через точку $M_{1} (x_{1}, y_{1})$ $M_{1} (x_{1}, y_{1})$ . Чтобы убрать число b, необходимо из левой и правой частей вычесть уравнение с угловым коэффициентом. Из этого следует, что $y - y_{1} = k \cdot (x - x_{1})$ $y - y_{1} = k \cdot (x - x_{1})$ . Данное равенство называют уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом k, проходящая через координаты точки $M_{1} (x_{1}, y_{1})$ $M_{1} (x_{1}, y_{1})$ .

Пример 5

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку $М_{1}$ $М_{1}$ с координатами $(4, - 1)$ $(4, - 1)$ , с угловым коэффициентом равным $- 2$ $- 2$ .

Решение

По условию имеем, что $x_{1} = 4, y_{1} = - 1, k = - 2$ $x_{1} = 4, y_{1} = - 1, k = - 2$ . Отсюда уравнение прямой запишется таким образом $y - y_{1} = k \cdot (x - x_{1}) \Leftrightarrow y - (- 1) = - 2 \cdot (x - 4) \Leftrightarrow y = - 2 x + 7$ $y - y_{1} = k \cdot (x - x_{1}) \Leftrightarrow y - (- 1) = - 2 \cdot (x - 4) \Leftrightarrow y = - 2 x + 7$ .

Ответ: $y = - 2 x + 7$ $y = - 2 x + 7$ .

Пример 6

Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом, которое проходит через точку $М_{1}$ $М_{1}$ с координатами $(3, 5)$ $(3, 5)$ , параллельную прямой $y = 2 x - 2$ $y = 2 x - 2$ .

Решение

По условию имеем, что параллельные прямые имеют совпадающие углы наклона, отсюда значит, что угловые коэффициенты являются равными. Чтобы найти угловой коэффициент из данного уравнения, необходимо вспомнить его основную формулу $y = 2 x - 2$ $y = 2 x - 2$ , отсюда следует, что $k = 2$ $k = 2$ . Составляем уравнение с угловым коэффициентом и получаем:

$y - y_{1} = k \cdot (x - x_{1}) \Leftrightarrow y - 5 = 2 \cdot (x - 3) \Leftrightarrow y = 2 x - 1$ $y - y_{1} = k \cdot (x - x_{1}) \Leftrightarrow y - 5 = 2 \cdot (x - 3) \Leftrightarrow y = 2 x - 1$

Ответ: $y = 2 x - 1$ $y = 2 x - 1$ .

Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнений прямой и обратно

Такое уравнение не всегда применимо для решения задач, так как имеет не совсем удобную запись. Для этого необходимо представлять в другом виде. Например, уравнение вида $y = k \cdot x + b$ $y = k \cdot x + b$ не позволяет записать координаты направляющего вектора прямой или координаты нормального вектора. Для этого нужно научиться представлять уравнениями другого вида.

Можем получить каноническое уравнение прямой на плоскости, используя уравнение прямой с угловым коэффициентом. Получаем $\frac{x - x_{1}}{a_{x}} = \frac{y - y_{1}}{a_{y}}$ $\frac{x - x_{1}}{a_{x}} = \frac{y - y_{1}}{a_{y}}$ . Необходимо слагаемое $b$ $b$ перенести в левую часть и поделить на выражение полученного неравенства. Тогда получим уравнение вида $y = k \cdot x + b \Leftrightarrow y - b = k \cdot x \Leftrightarrow \frac{k \cdot x}{k} = \frac{y - b}{k} \Leftrightarrow \frac{x}{1} = \frac{y - b}{k}$ $y = k \cdot x + b \Leftrightarrow y - b = k \cdot x \Leftrightarrow \frac{k \cdot x}{k} = \frac{y - b}{k} \Leftrightarrow \frac{x}{1} = \frac{y - b}{k}$ .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом стало каноническим уравнением данной прямой.

Пример 7

Привести уравнение прямой с угловым коэффициентом $y = - 3 x + 12$ $y = - 3 x + 12$ к каноническому виду.

Решение

Вычислим и представим в виде канонического уравнения прямой. Получим уравнение вида:

$y = - 3 x + 12 \Leftrightarrow - 3 x = y - 12 \Leftrightarrow \frac{- 3 x}{- 3} = \frac{y - 12}{- 3} \Leftrightarrow \frac{x}{1} = \frac{y - 12}{- 3}$ $y = - 3 x + 12 \Leftrightarrow - 3 x = y - 12 \Leftrightarrow \frac{- 3 x}{- 3} = \frac{y - 12}{- 3} \Leftrightarrow \frac{x}{1} = \frac{y - 12}{- 3}$

Ответ: $\frac{x}{1} = \frac{y - 12}{- 3}$ $\frac{x}{1} = \frac{y - 12}{- 3}$ .

Общее уравнение прямой проще всего получить из $y = k \cdot x + b$ $y = k \cdot x + b$ , но для этого необходимо произвести преобразования: $y = k \cdot x + b \Leftrightarrow k \cdot x - y + b = 0$ $y = k \cdot x + b \Leftrightarrow k \cdot x - y + b = 0$ . Производится переход из общего уравнения прямой к уравнениям другого вида.

Пример 8

Дано уравнение прямой вида $y = \frac{1}{7} x - 2$ $y = \frac{1}{7} x - 2$ . Выяснить, является ли вектор с координатами $\to a = (- 1, 7)$ $\vec{a} = (- 1, 7)$ нормальным вектором прямой?

Решение

Для решения необходимо перейти к другому виду данного уравнения, для этого запишем:

$y = \frac{1}{7} x - 2 \Leftrightarrow \frac{1}{7} x - y - 2 = 0$ $y = \frac{1}{7} x - 2 \Leftrightarrow \frac{1}{7} x - y - 2 = 0$

Коэффициенты перед переменными являются координатами нормального вектора прямой. Запишем это так $\to n = (\frac{1}{7}, - 1)$ $\vec{n} = (\frac{1}{7}, - 1)$ , отсюда $\frac{1}{7} x - y - 2 = 0$ $\frac{1}{7} x - y - 2 = 0$ . Понятно, что вектор $\to a = (- 1, 7)$ $\vec{a} = (- 1, 7)$ коллинеарен вектору $\to n = (\frac{1}{7}, - 1)$ $\vec{n} = (\frac{1}{7}, - 1)$ , так как имеем справедливое соотношение $\to a = - 7 \cdot \to n$ $\vec{a} = - 7 \cdot \vec{n}$ . Отсюда следует, что исходный вектор $\to a = (- 1, 7)$ $\vec{a} = (- 1, 7)$ - нормальный вектор прямой $\frac{1}{7} x - y - 2 = 0$ $\frac{1}{7} x - y - 2 = 0$ , значит, считается нормальным вектором для прямой $y = \frac{1}{7} x - 2$ $y = \frac{1}{7} x - 2$ .

Ответ: Является

Решим задачу обратную данной.

Необходимо перейти от общего вида уравнения $A x + B y + C = 0$ $A x + B y + C = 0$ , где $B \neq 0$ $B \neq 0$ , к уравнению с угловым коэффициентом. для этого решаем уравнение относительно у. Получим $A x + B y + C = 0 \Leftrightarrow - \frac{A}{B} \cdot x - \frac{C}{B}$ $A x + B y + C = 0 \Leftrightarrow - \frac{A}{B} \cdot x - \frac{C}{B}$ .

Результат и является уравннием с угловым коэффициентом, который равняется $- \frac{A}{B}$ $- \frac{A}{B}$ .

Пример 9

Задано уравнение прямой вида $\frac{2}{3} x - 4 y + 1 = 0$ $\frac{2}{3} x - 4 y + 1 = 0$ . Получить уравнение данной прямой с угловым коэффициентом.

Решение

Исходя из условия, необходимо решить относительно у, тогда получим уравнение вида:

$\frac{2}{3} x - 4 y + 1 = 0 \Leftrightarrow 4 y = \frac{2}{3} x + 1 \Leftrightarrow y = \frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} x + 1) \Leftrightarrow y = \frac{1}{6} x + \frac{1}{4}$ $\frac{2}{3} x - 4 y + 1 = 0 \Leftrightarrow 4 y = \frac{2}{3} x + 1 \Leftrightarrow y = \frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} x + 1) \Leftrightarrow y = \frac{1}{6} x + \frac{1}{4}$ .

Ответ: $y = \frac{1}{6} x + \frac{1}{4}$ $y = \frac{1}{6} x + \frac{1}{4}$ .

Аналогичным образом решается уравнение вида $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ , которое называют уравнение прямой в отрезках, или каноническое вида $\frac{x - x_{1}}{a_{x}} = \frac{y - y_{1}}{a_{y}}$ $\frac{x - x_{1}}{a_{x}} = \frac{y - y_{1}}{a_{y}}$ . Нужно решить его относительно у, только тогда получим уравнение с угловым коэффициентом:

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \Leftrightarrow \frac{y}{b} = 1 - \frac{x}{a} \Leftrightarrow y = - \frac{b}{a} \cdot x + b$ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \Leftrightarrow \frac{y}{b} = 1 - \frac{x}{a} \Leftrightarrow y = - \frac{b}{a} \cdot x + b$ .

Каноническое уравнение можно привести к виду с угловым коэффициентом. Для этого:

$\frac{x - x_{1}}{a_{x}} = \frac{y - y_{1}}{a_{y}} \Leftrightarrow a_{y} \cdot (x - x_{1}) = a_{x} \cdot (y - y_{1}) \Leftrightarrow \Leftrightarrow a_{x} \cdot y = a_{y} \cdot x - a_{y} \cdot x_{1} + a_{x} \cdot y_{1} \Leftrightarrow y = \frac{a_{y}}{a_{x}} \cdot x - \frac{a_{y}}{a_{x}} \cdot x_{1} + y_{1}$ $\frac{x - x_{1}}{a_{x}} = \frac{y - y_{1}}{a_{y}} \Leftrightarrow a_{y} \cdot (x - x_{1}) = a_{x} \cdot (y - y_{1}) \Leftrightarrow \Leftrightarrow a_{x} \cdot y = a_{y} \cdot x - a_{y} \cdot x_{1} + a_{x} \cdot y_{1} \Leftrightarrow y = \frac{a_{y}}{a_{x}} \cdot x - \frac{a_{y}}{a_{x}} \cdot x_{1} + y_{1}$

Пример 10

Имеется прямая, заданная уравнением $\frac{x}{2} + \frac{y}{- 3} = 1$ $\frac{x}{2} + \frac{y}{- 3} = 1$ . Привести к виду уравнения с угловым коэффициентом.

Решение.

Исходя из условия, необходимо преобразовать, тогда получим уравнение вида _formula_. Обе части уравнения следует умножить на $- 3$ $- 3$ для того, чтобы получить необходимо уравнение с угловым коэффициентом. Преобразуя, получим:

$\frac{y}{- 3} = 1 - \frac{x}{2} \Leftrightarrow - 3 \cdot \frac{y}{- 3} = - 3 \cdot (1 - \frac{x}{2}) \Leftrightarrow y = \frac{3}{2} x - 3$ $\frac{y}{- 3} = 1 - \frac{x}{2} \Leftrightarrow - 3 \cdot \frac{y}{- 3} = - 3 \cdot (1 - \frac{x}{2}) \Leftrightarrow y = \frac{3}{2} x - 3$ .

Ответ: $y = \frac{3}{2} x - 3$ $y = \frac{3}{2} x - 3$ .

Пример 11

Уравнение прямой вида $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{5}$ $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{5}$ привести к виду с угловым коэффициентом.

Решение

Необходимо выражение $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{5}$ $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{5}$ вычислить как пропорцию. Получим, что $5 \cdot (x - 2) = 2 \cdot (y + 1)$ $5 \cdot (x - 2) = 2 \cdot (y + 1)$ . Теперь необходимо полностью его разрешить, для этого:

$5 \cdot (x - 2) = 2 \cdot (y + 1) \Leftrightarrow 5 x - 10 = 2 y + 2 \Leftrightarrow 2 y = 5 x - 12 \Leftrightarrow y = \frac{5}{2} x$ $5 \cdot (x - 2) = 2 \cdot (y + 1) \Leftrightarrow 5 x - 10 = 2 y + 2 \Leftrightarrow 2 y = 5 x - 12 \Leftrightarrow y = \frac{5}{2} x$

Ответ: $y = \frac{5}{2} x - 6$ $y = \frac{5}{2} x - 6$ .

Для решения таких заданий следует приводит параметрические уравнения прямой вида ${\begin{matrix} x = x_{1} + a_{x} \cdot λ y = y_{1} + a_{y} \cdot λ \end{matrix}$ $\{\begin{cases} x = x_{1} + a_{x} \cdot λ \\ y = y_{1} + a_{y} \cdot λ \end{cases}$ к каноническому уравнению прямой, только после этого можно переходить к уравнению с угловым коэффициентом.

Пример 12

Найти угловой коэффициент прямой, если она задана параметрическими уравнениями ${\begin{matrix} x = λ y = - 1 + 2 \cdot λ \end{matrix}$ $\{\begin{cases} x = λ \\ y = - 1 + 2 \cdot λ \end{cases}$ .

Решение

Необходимо выполнить переход от параметрического вида к угловому коэффициенту. Для этого найдем каноническое уравнение из заданного параметрического:

${\begin{matrix} x = λ y = - 1 + 2 \cdot λ \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} λ = x λ = \frac{y + 1}{2} \end{matrix} \Leftrightarrow \frac{x}{1} = \frac{y + 1}{2}$ $\{\begin{cases} x = λ \\ y = - 1 + 2 \cdot λ \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} λ = x \\ λ = \frac{y + 1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \frac{x}{1} = \frac{y + 1}{2}$ .

Теперь необходимо разрешить данное равенство относительно $y$ $y$ , чтобы получить уравнение прямой с угловым коэффициентом. для этого запишем таким образом:

$\frac{x}{1} = \frac{y + 1}{2} \Leftrightarrow 2 \cdot x = 1 \cdot (y + 1) \Leftrightarrow y = 2 x - 1$ $\frac{x}{1} = \frac{y + 1}{2} \Leftrightarrow 2 \cdot x = 1 \cdot (y + 1) \Leftrightarrow y = 2 x - 1$

Отсюда следует, что угловой коэффициент прямой равен $2$ $2$ . Это записывается как $k = 2$ $k = 2$ .

Ответ: $k = 2$ $k = 2$ .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter