Уравнение прямой в отрезках: описание, примеры, решение задач

Продолжаем изучение раздела «Уравнение прямой на плоскости» и в этой статье разберем тему «Уравнение прямой в отрезках». Последовательно рассмотрим вид уравнения прямой в отрезках,  построение прямой линии, которая задается этим уравнением, переход от общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках. Все это будет сопровождаться примерами и разбором решения задач.

Уравнение прямой в отрезках – описание и примеры

Пусть на плоскости расположена прямоугольная  система координат $Oxy$.

Прямая линия на плоскости в декартовой системе координат $Oxy$ задается уравнением вида $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$, где $a$ и $b$ – это некоторые действительные числа, отличные от нуля, величины которых равны длинам отрезков, отсекаемых прямой линией на осях $Ox$ и $Oy$. Длины отрезков считаются от начала координат.

Как мы знаем, координаты любой из точек, принадлежащих прямой линии, заданной уравнением прямой, удовлетворяют уравнению этой прямой. Точки $\left(a, 0\right)$ и $\left(0, b\right)$ принадлежат данной прямой линии, так как $\frac{a}{a}+\frac{0}{b}=1\iff 1\equiv 1$ и $\frac{0}{a}+\frac{b}{b}=1\iff 1\equiv 1$. Точки $\left(a, 0\right)$ и $\left(b, 0\right)$ расположены на осях координат $Ox$ и $Oy$ и удалены от начала координат на $a$ и $b$ единиц. Направление, в котором нужно откладывать длину отрезка, определяется знаком, который стоит перед числами $a$ и $b$. Знак «$-$» обозначает, что длину отрезка необходимо откладывать в отрицательном направлении координатной оси.

Поясним все вышесказанное, расположив прямые относительно фиксированной декартовой системы координат $Oxy$ на схематическом чертеже. Уравнение прямой в отрезках $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ применяется для построения прямой линии в декартовой системе координат $Oxy$. Для этого нам необходимо отметить на осях точки $\left(a, 0\right)$ и $\left(b, 0\right)$, а затем соединить эти точки линией при помощи линейки.

На чертеже показаны случаи, когда числа $a$ и $b$ имеют различные знаки, и, следовательно, длины отрезков откладываются в разных направлениях координатных осей.

Рассмотрим пример.

Приведение общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках

Переход от заданного уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках облегчает нам решение различных задач. Имея полное общее уравнение прямой, мы можем получить уравнение прямой в отрезках.

Полное общее уравнение прямой линии на плоскости имеет вид $Ax+By+C=0$, где $А, В$ и $C$ не равны нулю. Мы переносим число $C$ в правую часть равенства, делим обе части полученного равенства на $–С$. При этом, коэффициенты при $x$ и $y$ мы отправляем в знаменатели:

$$\begin{gathered} Ax+By+C=0\iff Ax+By=-C\iff \\ \iff \frac{A}{-C}x+\frac{B}{-C}y=1\iff \frac{x}{-{\displaystyle \frac{C}{A}}}+\frac{y}{-{\displaystyle \frac{C}{B}}}=1 \end{gathered}$$

Для осуществления последнего перехода мы воспользовались равенством $\frac{p}{q}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{q}{p}}}, p\ne 0, q\ne 0$.

В результате, мы осуществили переход от общего уравнения прямой $Ax+By+C=0$ к уравнению прямой в отрезках $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$, где $a=-\frac{C}{A}, b=-\frac{C}{B}$.

Разберем следующий пример.

В тех случаях, когда прямая линия задана каноническим или параметрическим уравнением прямой на плоскости, то сначала мы переходим к общему уравнению прямой, а затем уже к уравнению прямой в отрезках.

Перейти от уравнения прямой в отрезках и общему уравнению прямой осуществляется просто: мы переносим единицу из правой части уравнения прямой в отрезках вида $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ в левую часть с противоположным знаком, выделяем коэффициенты перед неизвестными $x$ и $y$.

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\iff \frac{x}{a}+\frac{y}{b}-1=0\iff \frac{1}{a}·x+\frac{1}{b}·y-1=0$

Получаем общее уравнение прямой, от которого можно перейти к любому другому виду уравнения прямой на плоскости. Процесс перехода мы подробно разобрали в теме «Приведение общего уравнения прямой к другим видам уравнения прямой».